Конспект урока по теме «Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами в курсе алгебры в 7,8 классе»

МАОУ СОШ с УИОП № 3 г. Березники Пермский край

Тема «Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами

в курсе алгебры в 7,8 классе»

Разработала: Архипова Н.В. учитель математики высшая квалификационная категория.

г. Березники

2014 г.

В последние годы задачи с параметрами постоянно встречаются не только на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, но и в контрольных и экзаменационных работах (ЕГЭ).

Уравнения с параметрами – один из наиболее труднейших разделов математики. Это объясняется тем, что при решении таких задач приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, при каждом из которых методы решения задачи часто существенно отличаются друг от друга. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильных решаемых уравнений, неравенств с учетом области определения выражений, которые входят в уравнения и неравенства, а также учитывать выполнимость операций.

Решить уравнение с параметрами:

Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

ЛИНЕЙНЫЕ РАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ.

Уравнения видаax=b, где х – переменная, a и b – некоторые числа, называются линейным.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнение может иметь один корень, бесконечно много корней и может не иметь корней.

1. если а≠0, - единственный корень,

2. если а = 0, b ≠ 0, получим 0*x = b – это уравнение не имеет корней,

3. если а = 0, b = 0, получим 0*х = 0 – это уравнение имеет множество корней.

Рассмотрим на решении линейных уравнений возможность получения различных ответов.

5х + 3*(3х + 7)=35

5х + 9х + 21 = 35

14х = 14

Ответ: х = 1 – один корень.

28 – 20х = 2х + 25 – 16х – 12 – 6х

28 – 20х = -20х + 13

0х = -15

Ответ: нет корней.

10 – 4х + 3 = 9х – 2 – 6х + 9 – 7х +6

13 – 4х = 13 – 4х

0х = 0

Ответ: х – любое число.

Перейдем непосредственно к разбору решений линейных уравнений с параметрами.

Алгоритм решения.

Привести уравнение к виду ax = b.

Исследование.

Решить уравнение:

ах = 10

а) а = 0, то 0*х = 10

Ответ: корней нет.

б) а ≠ 0, то

Ответ: 1. при а ≠ 0 единственное решение ….

2.при а = 0 – корней нет.

(а – 2) * х = 5

Если уравнение имеет вид:

а) а=2, то 0 * х = 5 – нет корней

б) а ≠ 2, то

Ответ: при а ≠ 2 единственное решение

при а = 2 нет корней.

2а*(а – 4)*х = а – 4

2а*(а – 4) = 0

а=0, то 0х = -4 нет корней;

а=4, то 0х = 0 – множество корней;

а≠0, а≠4, то х = а – 4/2а(а – 4) = 1/2а

Ответ: 1) при а=0, нет корней,

2) при а=4, х – любое,

3) при а≠0, а≠4, то х = 1/2а.

А=2, то 0х = 0, х – любое;

Если а=-2, то 0х=-4 – нет корней;

а≠ ±2, то х = а² = а – 6/а² – 4 = а + 3/а +2

Ответ: при а≠ ±2 х = а + 3/а + 2,

при а= - 2 нет корней,

при а = 2х – любое.

b*(b-1)*x = b² + b – 2

b(b-1)=0

b=0, то 0х= - 2 нет корней;

b=1, то 0х = 0 – х – любое;

b≠0,b≠1, то

Ответ: при b=0 нет корней;

приb=1 х – любое.

Решить самостоятельно.

px=10

ax+7=8

bx-a=bx

3-bx=14

ax+3=3

2ax-4=0

ax-3=2x+5

3x+4=ax-8

px-3=3x-p

k-5x=-5+kx

(a-1)x+2=a+1

ax+2x+3=1-x

a²(x-5)=25(x-a)

(3x-a)²+(4x+1)²=(5x-1)²

(2x+b)*(8x-2)=(4x+1)²+a

(2x-2)*(18x+1)=(6x-1)²+a

(a²-1)x=2a²-a+3

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

Рассмотрим систему

если , то система имеет единственное решение,

если , то система имеет бесконечное множество решений,

если , то система решений не имеет.

Примеры решений

При каких а система имеет единственное решение.

Ответ: при а≠-1

При каких а система имеет бесконечно много решений.

а)

(a+3)(a+6)=(a+8)(a+2)

a²+9a+18=a²+10a+16

a=2

Ответ: при а=2.

б)

Ответ: при а =

При каких а система не имеет решения

9a²=4

Проверяем.

Удовлетворяет при

Не удовлетворяет при

При всех значениях параметра а решить систему уравнений

Решение.

Если 1-а²≠0, т.е. а≠±1, то данная система равносильна

Если а=1, то система имеет вид

Если а=-1, то система равносильна уравнениюx=1+y

Ответ: при а≠±1 (1+а²; -а)

Примеры для самостоятельного решения.

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ

Уравнение видаax²+bx+c=0, где a,b,c – числа, причем а≠0 называется квадратным уравнением.

а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.

Например:

а) 2х² – 3х + 0,7 = 0

б) -0,9 х² + 8 – 2 1/6х=0

Найтиa,b,c?

Решим уравнение ax²+bx+c=0

а) если а=0, то уравнение имеет вид bx+c=0. Тогда x=-c|b

б) если а≠0, то уравнение имеет:

1) 2 различных корня х₁≠х₂, если Д>0,

2) 2 равных корня х₁=х₂, если Д=0

3) не имеет корней, если Д<0.

Рассмотрим примеры.

При каких значениях уравнение имеет 2 корня?

2х²+6х+b=0

Уравнение квадратное.

Найдем Д=36-4*2*b=36-8b. По условию задачи уравнение имеет 2 корня, значит Д>0.

Решим неравенство 36-8b>0

-8b>-36

b<4,5.

Ответ: при b<4,5.

При каких значениях имеет один корень?

3х²-6х+2v=0

Уравнение квадратное. Д=36-4*3*2v=36-24v.

Так как уравнение имеет один корень, то Д=0.

36-24v=0

24v=36

V=1,5.

При каких t уравнение не имеет корней?

2x²-15x+t=0

Уравнение квадратное. Д=225-4*2t=225-8t

По условию Д<0, то

225-8t<0

-8t<-225

t>281/8.

Ответ: при t>281/8/

При каких значениях а квадратное уравнение ах²+х+2=0 имеет два корня? Из чисел -1/3; 1/3; -1/10; 1/10; выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

Решение.

ах² +х+2=0.

При а=0 получим линейное уравнение х+2=0, х=-2 – единственный корень данного уравнения.

Поэтому а≠0. Найдем Д=1-4*а*2=1-8а. По условию задачи уравнение имеет два корня, значит Д>0.

1-8а>0 при а<1/8.

Условиям а<1/8 и а≠0; -1/3; -1/10; 1/10.

Решите уравнение ax²+2x+1=0

Решение.

а) если, а=0, т о получим линейное уравнение 2х+1=0, х=- ½ - единственный корень.

б) если а≠0, то уравнение является квадратным.

Д=4-4*а=4(1-а).

Если Д>0, т.е. 1-а>0, a<1, уравнение имеет 2 различных корня.

Х₁=2а=а, х₂=а.

Если Д=0, то 1-а=0, а=1, уравнение имеет два равных корня х₁=х₂=-1/1=-1.

Если Д<0, т.е. 1-а<0,a>1 уравнение не имеет корней.

Ответ: при а=0 х=-1/2, при а=1 х₁=х₂=-1,

При а>1 нет корней,

При а<1, а≠0 х₁=(-1+ )/а, х₂=(-1- )/а

Найти все значения а, при которых квадратное уравнение (а+1)х²+2(а+1)х+а-2=0 имеет:
а) 2 различных корня;

б) 2 равных корня,

в) не имеет корней.

Решение.

Так как по условию задачи уравнение квадратичное, то а+1≠0, а≠-1.

Д/4=(а+1)²-(+1)*(а-2)=(а+1)*(а+1-а+2)=3*(а+1)

а) если Д/4>0, то х₁≠х₂. Тогда 3*(а+1)>0, a<-1.

б) х₁=х₂ если Д=0, т.е. 3*(а+1)=0, а=-1, но по условию уравнение квадратное и а≠-1.

в) уравнение не имеет корней, если Д<0, 3*(а+1)<0, a<-1.

Ответ: при а >-1 уравнение имеет два различных корня; при а<-1 нет корней; квадратное уравнение равных корней не имеет.

При каких значениях а уравнение х²=2х+а=0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х²+7х+6=0?

Решение:

Найдем корни уравнения 2х²+7х+6=0.

Д=1, х₁=-2, х₂=-1,5.

Если х=-2 общий корень уравнений, то (-2)²+2*(-2)+а=0, а=0.

Если х=-1,5 общий корень уравнений, то (-1,5)²+2*(-1,5)+а=0, а=3/4.

Ответ: при а=0 или а=3/4.

ах²-6х+9=0.а=? уравнение имеет одно решение.

Если, а=0, то -6х+9=0, х=1,5 – корень уравнения.

Если, а≠0, то уравнение квадратное.

Д=36-4*а*9=36-36а. По условию задачи уравнение имеет одно решение, значит Д=0. 36-36а=0, а=1.

Ответ: при а=0 или а=1.

(а+4)х²+6х-1=0а=? уравнение имеет одно решение.

Если, а+4=0, а=-4, то 6х-1=0, х=1/6 корень уравнения.

Если, а≠4, то уравнение является квадратным.

Д=9+ф+4=13+а. Из условия задачи следует, что Д=0. Значит 13+а=0, а=-13.

Ответ: при а=-4 или а=-13 уравнение имеет одно решение.

(а-1)х²+2(а-1)х+а+5=0. Исследовать решение уравнения в зависимости от а.

Так как уравнение квадратное, то а-1≠0, а≠1.

Д=(а-1)²-(а-1)(а+5)=(а-1)(а-1-а-5)=-6(а-1)

а) Если, Д>0, т.е. -6(а-1)>0, а-1<0, a<1 уравнение имеет 2 различных корня.

б) Если, Д=0, т.е. -6(а-1)=0, а=1 – не удовлетворяет условию.

А=1, х₁=х₂

в) Если, Д<0, то уравнение не имеет корней.

-6(а-1)<0,

а-1>0?

a>1.

Ответ: при а <1 уравнение имеет 2 различных корня, при а >1 нет корней, квадратное уравнение равных корней не имеет.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения x²+3x+(k²-7k+12)=0 равно нулю?

При каких значениях k сумма корней квадратного уравненияx²+(k²+4k-5)x-k=0 равна нулю?

В уравнении х²-4х-а=0 сумма квадратов корней равна 16. Найдите а.

В уравнении х²-2х-а=0 квадрат разности корней равен 16. Найдите а.

При каких значениях а сумма корней уравнения х²-2а(х-1)-1=0 равна сумме его корней?

При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравненияx²+(2-m)x-m-3=0 наименьшая?

При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравненияx²+(m-1)x-m²-1,5=0 наибольшая?

Найдите сумму квадратов всех корней уравненияx²-3|x|+1=0.

При каких значениях p и q корни уравнения x²+px+q=0 равны 2p и q/2?

При каких значениях параметра а один из корней квадратного уравнения (а²-5а+3)х²+(3а-1)+2=0 в два раза больше другого?

Известно, что корни уравнения х²-5х+а=0 на 1 меньше корней уравнения х²-7х+3а-6=0. Найдите а и корни каждого уравнения.

Известно, что корни уравнения х²-13х+b=0 равны соответственно квадратам корней уравнения х²+ах+6=0. Найдите a и b и корни каждого из уравнений.

При каких значениях параметра с уравнение 5х²-4х+с=0:

Имеет действительные различные корни;

Имеет один корень;

Не имеет действительных корней;

Имеет хотя бы один общий корень с уравнением х²+13х-30=0?
Здесь и далее фраза «квадратное уравнение имеет один корень» означает наличие у уравнения корня двойной квадратности.

При каких значениях параметра b уравнение x²+bx+4=0:

Имеет один из корней, равный 3;

Имеет действительные различные корни;

Имеет один корень;

Не имеет действительных корней?

При каких значениях параметра b корни уравнения 4x²+(3b²-5|b|+2)x-3=0 равны по модулю?

Найдите наибольшее целое значение k, при котором уравнение
x²-x-k=0 не имеет действительных корней.

Найдите наименьшее целое значение а, при котором уравнение
х²-2(а+2)х+12+а²=0 имеет два различных действительных корня.

При каком значении а уравнение ах²-(а+1)х+2а-1=0 имеет один корень?

При каком значении а уравнение (а+2)х²+2(а+2)+2=0 имеет один корень?

При каких значениях а уравнение
(а²-6а+8)х²+(а²-4)х+(10-3а-а²)=0 имеет более двух корней?

При каких значениях а уравнение 2х²+х-а=0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х²-7х+6=0?

При каких значениях а уравнения
х²+2(а-3)х+(а²-7а+12)=0 и х²+9а²-5а+6)х=0
равносильны?

Докажите , что корни уравнения х²+px+q=0, где p и q – нечетные числа, иррациональны.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/153211-konspekt-uroka-po-teme-reshenie-linejnyh-i-kv