Статья на тему: «Методика обучения решению текстовых задач для подготовки обучающихся к ГИА по математике»

Статья на тему:

«Методика обучения решению текстовых задач для подготовки обучающихся к ГИА по математике.»

Автор:

Учитель математики МОУ СШ № 49

Рыжова Елена Васильевна

Волгоград 2015 г.

Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач. Именно задачи являются тем средством, которое в значительной степени направляет и стимулирует учебно-познавательную активность учащихся.

В обучении математике задачи выступают как цель и средство обучения. Этим определяется их место в процессе обучения математике. Задачи служат также основным дидактическим целям, формируют систему знаний, творческое мышление учащихся, способствуют развитию интеллекта и выполняют познавательную роль в обучении.

Педагогами и методистами признано, что решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из основных средств их математического развития.

В последние годы самые сильные отрицательные эмоции у

учащихся на уроках математики вызывает задание решить задачу. Примерно половина из них на контрольной работе или экзамене даже не приступает к решению текстовых задач.

Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и КАК это делать? Эти и другие подобные вопросы все чаще возникают в современной школе. Именно поэтому эта проблема показалась одной из актуальных на сегодняшний день.

Не прекращаются поиски эффективной методики обучения решению текстовых задач в общеобразовательной школе. Решение задач в математическом образовании занимает огромное место.

Значение математических задач в образовании.
1.Образовательное значение.
При их решении ученик знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения и т.д. То есть приобретает математические знания, повышает свое математическое образование.
2. Практическое значение.
При решении математических задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых жизнью. При обучении математике учащимся следует предлагать задачи, связанные со смежными дисциплинами.
3. Значение в развитии мышления.
Решение задач приучает выделять посылки и заключения, данные и искомые, находить общее, и особенно в данных, сопоставлять и противопоставлять факты. Решение задачи должно быть полностью аргументированным. У учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики.
4.Воспитательное значение.
Задача воспитывает и своим содержанием. При решении задач формируются: усидчивость, внимательность, сосредоточенность. Решение трудных задач требует от ученика проявления настойчивости в преодолении трудностей, упорства в достижении цели, аккуратности. 

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития школьников, глубины освоения учебного материала. Умение решать задачи необходимо и экономисту, и врачу, и юристу, и военачальнику, и многим другим. А для успешного решения, как говорил Декарт, необходим метод. Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания, но почему-то единственным методом такого обучения были показ способов решения определенных видов задач и значительная практика по овладению ими.
Положение текстовых задач в общей структуре КИМ в настоящее время абсолютно четко зафиксировано. Во все годы проведения ГИА количество текстовых задач менялось. Сейчас их три. Выполнение или невыполнение этого задания не повлияет на аттестационную оценку за курс «Алгебра и начала анализа» средней школы. Верно решенная текстовая задача повысит лишь итоговую сертификационную оценку за ГИА в стобалльной шкале.

Тематика заданий более чем традиционна: смеси, сплавы, проценты, совместное или поочередное движение и т.п. Необходимый для решения математический аппарат с запасом перекрывается материалом основной школы. Можно предположить, что основные трудности у учеников вызывает не само решение уравнения или системы уравнений, а правильный перевод разговорной, текстовой формулировки условия на математический язык.

Умение и привычка решать текстовые задачи формируется на протяжении всего обучения в школе. Общий план решения задачи можно представить следующим образом:

Процесс решения задачи

К наиболее важным умениям, которые необходимо сформировать у учащихся на этом этапе изучения текстовых задач, относятся следующие:

·  умение внимательно читать текст задачи,

·  умение проводить первичный анализ текста задачи – выделять условие и вопрос задачи,

·  умение оформлять краткую запись текста задачи,

·  умение выполнять чертежи (рисунки) по тексту задачи.

Приемы, формирующие умение читать текст задачи:

-  показ образцов правильного чтения задачи;

-  проведение специальной работы над текстом задачи по усвоению ее содержания. Здесь имеется ввиду различные формы предъявления задачи: текстом, краткой записью текста, рисунком. Сюда включаются также приемы работы над условием содержания задачи: изменение числовых данных задачи; изменение сюжета задачи; изменение сюжета и числовых данных задачи.

Приемы, формирующие умения выделять условие и вопрос задачи:

-  выявление роли вопроса в нахождении способа решения задачи; обращение внимания на точность, ясность формулировки вопроса задачи; переформулировка вопроса задачи.

Этот прием направлен на воспитание у учащихся потребности выделять условие и вопрос задачи;

-  формулирование одного или нескольких вопросов к условию задачи;

-  нахождение необходимых данных для ответа на вопрос задачи;

-  составление задачи по вопросу; формулирование одной или нескольких задач по данному вопросу.

Приемы обучения оформлению краткой записи текста задачи:

-  оформление краткой записи в виде таблицы, схемы;

-  оформление краткой записи в строку (столбец);

-  чтение краткой записи задачи;

-  составление задачи по ее краткой записи.

Приемы обучения выполнению чертежей (рисунков) по тексту задачи.

Основные из них следующие:

-  предъявление заданий, требующих только выполнение соответствующего рисунка;

-  чтение рисунка, выполненного по тексту задачи;

-  составление задачи по рисунку или чертежу.

Структура процесса решения задач.

Очевидно, получив задачу, первое, что нужно сделать- это разобраться в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т. е провести анализ задачи. Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи.

В ряде случаев этот анализ надо как-то оформить, записать. Для этого используют разного рода схематические записи задач, построение которых составляет второй этап процесса решения.

Анализ задачи и построение ее схематической записи необходимы главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Поиск этого способа составляет третий этап процесса решения.

Когда способ решения задачи найден, его нужно осуществить, - это будет четвертый этап процесса решения – этап изложения решения.

После того как решение осуществлено и изложено ( письменно или устно), необходимо убедиться, что оно правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого проводят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.

При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и притом сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т. д. Все это составляет шестой этап процесса решения.

Убедившись в правильности решения и , если нужно, произведя исследование задачи, необходимо четко сформулировать ответ задачи, - это будет седьмой этап процесса решения.

Наконец, полезно произвести анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т. д. Все это составляет последний, конечно не обязательный, восьмой этап.
Рассмотрим решение задачи, на которой эта структура выглядит более наглядно.

ЗАДАЧА. Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 ч, а обратный путь она совершила за 8 ч. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?

Решение.
1).Анализ задачи.
В задаче речь идет о двух объектах: лодка и плот. Лодка имеет какую-то собственную скорость, а река, по которой плывет и лодка, и плот, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает путь между пристанями по течению реки за меньшее время (6ч), чем против течения (8ч). Но эти скорости (собственная скорость лодки и скорость течения реки) в задаче они не даны (они неизвестны), так же как неизвестно расстояние между пристанями. Однако требуется найти не эти неизвестные скорости и расстояние, а время. За которое плот проплывет неизвестное расстояние между пристанями.

2). Схематическая запись задачи.

3).Поиск способа решения задачи.
Нужно найти время, за которое плот проплывет расстояние между пристанями А и В. Для того чтобы найти это время, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Оба они неизвестны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой s (км), а скорость течения реки примем равной a (км/ч). Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи, нужно еще знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, что она равна v (км/ч). Отсюда естественно возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.
4).Осуществление решения задачи.
Скорость лодки по течению равна (v + a) км/ч. За 6ч лодка , идя с этой скоростью, прошла путь АВ в s км. Следовательно, 
6 (v + a) = s (1)
Против течения эта лодка идет со скоростью ( v- a) км/ч и путь АВ в s км она проходит за 8ч, поэтому
8 ( v-a) = s (2)
Наконец, плот, плывя со скоростью a км/ч, покрыл расстояние s км за х ч, следовательно,
ах = s. (3)
Уравнения (1),(2) и (3) образуют систему уравнений относительно неизвестных s, a, v и х. Так как требуется найти лишь х, то остальные неизвестные постараемся исключить.
Решая систему (1) и (2) , найдем а = .
Подставив найденное выражение для а в уравнение (3)
х =s.
Так как, очевидно, s не равно нулю. То можно обе части полученного уравнения разделить на s. Тогда найдем: х = 48.
5). Проверка решения.
Итак, мы нашли, что плот проплывает расстояние между пристанями за 48 ч.

Следовательно, его скорость, равная скорости течения реки, равна   км/ч. Скорость же лодки по течению равна   км/ч. Для того чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами:
от скорости лодки по течению отнять скорость течения реки, т. е.

 - , 

к скорости лодки против течения реки прибавить скорость течения реки, т. е. + .

Произведя вычисления , получаем, верное равенство: = .

Значит, задача решена правильно.
6).Исследование задачи.
В данном случае этот этап решения не нужен.
7). Анализ решения.
Мы свели решение задачи к решению системы трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако найти-то надо было лишь одно из этих неизвестных. Поэтому возникает мысль, что приведенное решение не самое удачное, хотя и достаточно простое и дать возможность учащимся предложить другое решение.

Способы подготовки к решению текстовых задач:
а) построение математической модели.
В науке широко используется метод моделирования. Заключается он в том, что для исследования какого- либо явления или объекта выбирают или строят другой объект, в каком- то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект.
Рассмотрим этот способ на решении задачи Ньютона.

Задача. Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней?

Решение. Эта задача практическая, текстовая. Для того чтобы ее решить, надо составить уравнение или систему уравнений, которые представляют собой модель данной задачи.

Заданные в задаче величины- количество коров и число дней -не связаны непосредственно, поэтому введем следующие вспомогательные неизвестные- параметры -для установления связи между основными величинами.

Пусть на лугу первоначально было а единиц травы, и ежедневно на нем вырастает b единиц травы. Пусть каждая корова за 1 день съедает с единиц травы. Тогда в соответствии с условием получаем, что за 24 дня всего вырастет (а + 24b) единиц травы, которую за это время съедают 70 ров. Они съедают 24(70с)= 1680с, следовательно,

а + 24 b = 1680с. (1)
По условию, что 30 коров съедают всю траву за 60 дней, получаем:
а + 60b = 1800с. (2)
За 96 дней на лугу вырастет всего а + 96b единиц травы, которую съедят искомое х число коров, они съедят всего 96хс единиц травы, следовательно, получим такое уравнение:
а +96 b = 96хс. (3)
Уравнения (1), (2) и (3) образуют систему, которая и есть модель исходной задачи. Эту систему нам нужно решить относительно х.
Вычтем почленно из (2) уравнения (1), получим: 
36 b = 120 c.
Отсюда с = 0,3 b. (4)
Подставим полученное значение с в уравнение (1), получим
а = 480b. (5)
Результат (4) и (5) подставим в (3),найдем: х = 20.
Ответ : 20 коров.
б) сбор данных в таблицу.
Для решения любой текстовой задачи важным навыком является умение читать условие задачи. Чтение задачи опирается на умение выделять в тексте условие и основной вопрос, выделять в тексте отдельные ключевые слова и понимать ситуацию в целом, анализировать наименования указанных в условии величин, отделять существенное от несущественного, разбивать текст на логически законченные части, чтобы переводить их на язык математики. Анализируя условие, необходимо понимать, что иногда авторы скрывают некоторые числовые данные. Они пишут числительные не цифрой, а словом. Такое число остается незамеченным учеником, читающим задачу поверхностно. Иногда информация о длине пройденного пути в других соотношениях прячется в словах середина пути, половина, вернуться обратно, втрое и др.

В практике обучения используется табличный способ решения задач. Он чаще применяется для задач с разнородными величинами, когда часть из них является переменными, связываемыми постоянной величиной. Это, как правило, задачи на «процессы». Таблица включает столбцы и строки, число и заполнение которых зависит от конкретного содержания текста задачи. При создании таблицы фактически реализуется моделирование.

Составление краткой записи требует проведения ряда умозаключений, 
применения навыков лаконичного и четкого представления полученной 
информации. Удачно построенная краткая запись условия наталкивает 
ученика на путь решения, возникающая необходимость переформулировать 
условие, представить его в более удобном для работы виде.

Одновременно с заполнением таблицы для задачи на движение можно делать рисунок. Кроме графических изображений на рисунке нанесена и алгебраическая информация. К выполнению рисунков и чертежей предъявляют требования: они должны быть наглядными, аккуратными, соответствующими тексту задачи. Освоив оба способа записи условия, в будущем учащиеся смогут для каждой задачи выбирать оптимальный вид краткой записи.


в) Психологический момент при решении текстовых задач заключается в том, что текстовые задачи стоит попытаться максимально персонифицировать, т. е. постараться по возможности включить себя в условие и сюжет задачи. Например, в задаче

«Некоторое число сначала увеличили на 10 %, а потом результат уменьшили на 10 %. На сколько и как изменилось первоначальное число?»
Лучше сразу представить себе, что речь идет о конкретной денежной сумме ( скажем, о 100 руб.), лежащей у вас в кошельке. Практика преподавания показывает, что при формулировке с «некоторым числом» более половины опрашиваемых неверно отвечают, что число не изменится, а при формулировке со «100 руб. в кармане» не ошибается почти никто. Ясно, что и все задачи про сложные проценты и вклады в банке надо решать так, как будто речь идет персонально о ваших денежных средствах. Или же, например, в задаче

«В первом сплаве меди в четыре раза больше, чем цинка, а во втором сплаве – в четыре раза меньше. Из этих двух сплавов требуется получить 20 кг третьего сплава, в котором медь составляет 35% . Сколько килограммов первого сплава требуется для этого взять?»

лучше предположить, что речь идет о конкретных сплавах и конкретном рабочем задании, которое поручили вам на вашем первом месте работы, а от результата выполнения зависит ваша дальнейшая репутация. Тогда внешние обстоятельства подтолкнут вас к детальному разбирательству:

и уравнения 5х + 5у = 20, 4х + у = 7 появятся самым естественным 
образом.

Подобным же образом, составление таблиц данных с графами «Было», «Стало» сродни книгам бухучета, в которых отражается движение товара. Можно предложить следующее: «Представьте, что вы торгуете в семейной лавке и что за неверно проведенный учет товара папаня вас в субботу высечет». Наверняка таблица по текстовому условию легче составится, и уравнения по таблицам быстрее получится. Например, в задаче

«Для перевозки 60 тонн груза было заказано несколько машин одинаковой грузоподъемности. В реальности оказалось, что грузоподъемность этих машин на полтонны меньше обещанной. Пришлось дополнительно заказать еще 4 таких же машины, и все они были заполнены, так же как и первые машины. Сколько всего машин перевозили груз?»

почти сразу можно составить такие таблицы про различие планов и реальности:

Получается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Ее можно решать по–разному, но тут самое главное в том, что ее можно решать и решить.

Методика обучения решению текстовых задач.

1)задачи на прогрессии.

Задачи на прогрессии отнесены к текстовым задачам, так как практически любая задача на арифметическую прогрессию решается составлением системы уравнений относительно a и d. Для того, чтобы составить такую систему, достаточно знать следующие формулы:

a = a + d ( n – 1), a +… + a = n, 

S = .

Задача. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а за каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигает высоты 5700 м ?

Решение. Обозначим через n число часов подъема туриста на высоту 5700 м. Выпишем последовательность высот, на которые поднимался турист за 1-ый, 2-ой, 3-ий и т. д. час: 800, 775, 750,… Эти числа образуют арифметическую прогрессию, у которой a =800, d = -25. Найдем S .

S = . Но a = 800- 25(n – 1). Поэтому S = .

Из условия задачи следует, что S = 5700. Решив квадратное уравнение, получаем, что n =8, n = 57( по смыслу задачи не подходит).

Ответ: за 8 часов.


2) задачи на движение.

Для успешного решения задач любого типа необходимо ответить на семь вопросов, которые дают верное направление решению любой задачи.

Вопросы к задаче:
О каком процессе идет речь в задаче? Какими величинами характеризуется этот процесс?
Сколько процессов в задаче?
Какие величины известны и что нужно найти?
Как связаны величины в задаче?
Какую величину удобно обозначить, например, буквой Х?
Какое условие нужно использовать для составления уравнения?
Легко ли решить полученное уравнение?

3) задачи на движение.

Пример. Моторная лодка прошла 5 км по течению и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 1ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки по течению.

Решение. Прочитав задачу, ученик отвечает на все те же вопросы 1-7 примерно так.
В задаче речь идет о процессе движения, который характеризуется величинами: путь, скорость и время.

В задаче речь идет о двух процессах движения: по течению и против течения. Значит, для них нужно два столбца. Для данных, характеризующих весь путь, удобно выделить один столбец.
Постепенно заполняется таблица 

В таблице заполняются соответствующие ячейки.
Их таблицы видно, что для удобства выражения всех неизвестных величин через одну из них за x нужно принять v .
Для составления уравнения используется связь между величинами, отраженная в последней строчке таблицы. Так как t + t = 1, то

+ = 1.

Если ученик при ответе на вопрос 5 обозначил за х то, что спрашивалось в задаче, то последний вопрос повернет его обратно, к поиску более простого решения.
Дальше идет стандартное решение уравнения, в результате чего определяется значение х и вычисляется скорость лодки по течению реки.
Практически всегда в задачах на движение выбор в качестве неизвестных величин расстояний и скоростей приводит к успеху. Если вы составили уравнение, а полученная система не решается, надо попробовать выбрать другие неизвестные. Кроме того необходимо обращать особое внимание на единицы измерения- они в течение всего решения должны быть одинаковыми.

4) задачи на работу.

Пример. По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за 14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и потому закончила пахоту за 12 дней. Сколько гектаров было вспахано? Найдите площадь поля.

Решение. Ученик, прочитав задачу, начинает отвечать на те же 7 вопросов примерно так:

Речь идет о процессе работы. Он характеризуется тремя величинами: вся работа (А) – это измеряемая в гектарах площадь поля; работа в единицу времени, т. е. производительность труда (N) , и время (t) – число дней, затраченное на работу. Значит, в таблице нужны 3 строчки.

В задаче упомянуты два процесса работы: по плану и фактический, значит, в таблице будут два столбика.

Теперь остается начертить таблицу 

Формула A = N t определяет связь этих величин в столбиках краткого условия. Связи величин в строчках наглядно отражены в таблице.
Вопрос : «Какую величину удобно обозначить буквой?» Если ученик не видит , что для введения х удобнее выбрать, то он сначала должен попробовать обозначить через х ту величину, о которой спрашивается в задаче. Свои пробы ученик должен записать на черновике. Например, он обозначил А = А = х.
Тогда не использованная до сих пор связь N - N =5 используется для составления уравнения, т. е. -   = 5.
Это уравнение содержит дроби, а их нужно попытаться избежать и придумать другой способ решения.
Решив уравнение получаем ответ: площадь поля равна 420 га.

 5) задачи на проценты.

Анализ вариантов вступительных экзаменов показал, что многие вузы ежегодно предлагают абитуриентам задачи на проценты. Поэтому в КИМы были включены и такие задания.

Задача. Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%. После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов после подсушивания?

При решении этой задачи экзаменуемый должен был осознать, что в условии «влажность 98%» означает, что в 140 кг грибов содержится 98% воды и 2% , т. е. 2,8 кг сухого вещества. Следовательно, в посушенных грибах эти 2,8 кг сухого вещества составляют уже 7% массы грибов. Поэтому вся масса подсушенных грибов составляет 2,8 : 0,07 = 40 (кг).

Задача. Зарплату повысили на р %. Затем новую зарплату повысили на 2р%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1, 32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?

Если обозначить буквой а первоначальную зарплату ( в рублях), то условия задачи можно записать следующим образом:

первое повышение на р % составило а рублей, а зарплата стала равна 

а + =а(1 + 0,01 р ) рублей.
После второго повышения на 2р% зарплата стала равна
а (1 + 0,01р) + а(1 + 0,01р) рублей.
Преобразуем последнее выражение к виду а(1 + 0,01р)(1 + 0, 02р).
По условию задачи эта сумма равна 1.32а.
Получаем уравнение а(1 + 0,01р)(1 + 0,02р) = 1,32а, и сократив обе части на а, получим (1 + 0,01р) ( 1 + 0,02 р ) – 1,32. Корнями последнего уравнения являются числа -160 и 10, следовательно, р = 10%, а второе повышение зарплаты было на 20%.

6) задачи на смеси и сплавы.

Текстовые задачи на смеси и сплавы при всей их кажущейся простоте часто вызывают проблемы. При решении текстовых задач на смеси постоянно приходится работать со следующими понятиями: абсолютное содержание вещества в смеси и относительное содержание вещества в смеси.

 Абсолютное содержание вещества в смеси- это количество вещества, выраженное в обычных единицах измерения.

Относительное содержание вещества в смеси –это отношение абсолютного содержания к общей массе смеси.

Часто относительное содержание называют концентрацией или процентным содержанием.. Проиллюстрируем эти понятия, предположив, что в сосуд , содержащий 450 г воды, добавили 50 г соли. Таким образом, общая масса получившегося раствора 500г. Удобно выполнять схему: 
общая масса 500г
соль 50г абсолютное содержание соли 50г
относительное содержание соли = 0,1.
вода 450г абсолютное содержание воды 450г
относительное содержание воды   = 0,9.
Решение любой задачи на смеси обычно сводится к расчету абсолютного и относительного содержания компонент всех смесей, фигурирующих в условии задачи. Хотя часто эта информация избыточна, лучше не ломать голову над тем, что может понадобиться в процессе решения, а что нет.

 Если смешали две смеси, то при образовании смеси складываются абсолютные содержания. Поэтому, если известны только относительные содержания, то нужно:
подсчитать абсолютные содержания;сложить абсолютные содержания;
подсчитать относительные содержания компонент смеси. 

Умения работать с текстовой задачей можно отрабатывать с обучающимися на любых этапах урока.

Примеры:

.Запишите в виде математического выражения:

 на   больше 

 в пять раз больше 

 на   меньше, чем 

 меньше   в   раза

 на   меньше, чем 

частное от деления   на   в полтора раза больше 

квадрат суммы   и   равен 

 составляет   процентов от 

 больше   на   процентов

2..По данным таблицы составьте задачи на движение двух тел в противоположных направлениях при одновременном начале движения из одного пункта. Найдите неизвестные величины.

3. Задача. Катер прошёл 20 км по течению реки и такой же путь обратно, затратив на весь путь 1 ч 45 мин. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите время катера в пути.

Пусть х км/ч – собственная скорость катера. Какое из уравнений соответствует условию задачи.

1)20/(х+2)=1,45

2)20/(х-2)-20/(х+2)=1,45

3)20/(х-2)+20/(х+2)=7/4

4) 20/(2-х)+20(2+х)=7/4

Составьте таблицу. Решение:

4.В следующих заданиях составить уравнение и решать задачу.

Задача 5. Из одного и того же пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода. Через 2 часа расстояние между ними стало 16 км. Найдите скорость второго пешехода, если скорость первого была 5 км/ч. (ответ: 10+2х=16;  3 км/ч)

Задача 6. Из одного и того же пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода. Через 3 часа  расстояние между ними стало 27 км. Найдите скорость второго пешехода, если скорость первого была 4 км/ч.  (ответ: 12+3х=27;     5км/ч)

Во время урока можно использовать дифференцированные карточки с заданиями:

Проверочная работа

Решу задачу:

Два поезда идут навстречу друг другу с двух станций. Первый поезд вышел на 2

часа раньше и идет со скоростью 53 км/ч. Скорость второго поезда на 13 км/ч

меньше, чем первого. Через 5 часов после выхода первого поезда они

встретились. Каково расстояние между станциями?

2) Сравни задачу с задачами из задания 4. Есть между ними связь? С какой

из задач 4 связь теснее? Это обратные задачи? Объясни ответ.

3) Составь обратные задачи к данной.

4) Реши составленные задачи. Сравни их решения и решение задачи 4. В чем

различие?

Задания для работы в группах:

У. Рассмотрите таблицу, записанную на доске.

На доске.

Дети выполняют задание.

- Найдите скорости акулы, кита и дельфина, составив уравнения, но прежде

назовите, кто из этих животных млекопитающие, а кто рыбы.

Д. Акула – рыбы, а кит и дельфин – млекопитающие.

У. Первый ряд найдет скорость акулы. Второй – кита, а третий – дельфина.

Дети работают самостоятельно.

1-й ряд

х км/ч – скорость акулы

х * 2 = 72

х = 72 : 2

х = 36

36 км/ч – скорость акулы

2-й ряд

с км/ч – скорость кита

с * 6 = 240

с = 240 : 6

с = 40

40 км/ч – скорость кита

3-й ряд

в км/ч – скорость дельфина

в * 3 = 180

в = 180 : 3

в = 60

60 км/ч – скорость дельфина

- Проверим позже, а сейчас назовите самую большую скорость и самую маленькую.

Д. У акулы самая маленькая скорость, а у дельфина – самая большая.

У. На сколько скорость акулы меньше, чем скорости кита и дельфина?

Сравните скорости дельфина и кита!

Д. Скорость акулы меньше скорости кита на 4 км/ч, а скорости дельфина –

на 24 км/ч.

У. А сейчас самопроверка! Поставьте карандашом на полях «+» те, у кого

ответ: 36 км/ч, 40 км/ч и 60 км/ч.

Дети выполняют задание.

- Какими правилами воспользовались при решении уравнений?

Д. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на

известный множитель.

У. Теперь работаем в парах. Задание сложное, можно друг с другом советоваться.

Учитель читает сначала уравнение для 1-го ряда, затем для 2-го и 3-го.

1-й ряд

Произведение разности 148 и с и числа 15 равно 135.

(148 – с) * 15 = 135

(148 – с) = 135 : 15

148 – с= 9

с = 148 – 9

с = 139

Проверка:

(148 – 139) * 15 = 135

135 = 135

2-й ряд

Частное числа 126 и разности чисел у и 130 равно 9.

126 : (у – 130) = 9

у – 130 = 126 : 9

у – 130 = 14

у = 144

Проверка:

126 : (144 – 130) = 9

9 = 9

3-й ряд

Частное суммы чисел х и 59 и числа 14 равно 8.

(х + 59) : 14 = 8

х + 59 = 8 * 14

х + 59 = 112

х = 112 – 59

х = 53

Проверка:

(53 + 59) : 14 = 8

8 = 8

- Проверяем! Кто решил первым, подходит к доске и решает уравнение. У кого

есть ошибки? Кто решил правильно?

Ответы детей.

Учитель задает дополнительные вопросы тем, кто решал.

- что такое уравнение?

Д. Равенство, содержащее неизвестное число, называют уравнением.

У. Что значит решить уравнение?

Д. Значит найти его корень.

У. Что такое корень уравнения?

Д. Значение неизвестного, при котором получается верное числовое равенство.

Труднее всего обучающимся удается решать задачи на смешивание двух растворов (сплавов) и задачи на выливание смеси. Здесь удобнее будет использовать метод схем и таблиц, которому и следует их обучить.

Например:

Задача на смешивание двух растворов (сплавов). Схема состоит из двух таблиц:

Специфика данного типа задач состоит в сохранности суммы веществ. Учителю лучше записать с учениками в тетрадь следующую схему: кол-во соли в 1-ом растворе + кол-во соли во 2-ом растворе = кол-ву соли в новом растворе. Эту взаимосвязь лучше всего использовать для составления системы уравнений в таких задачах. Переменными x и y лучше обозначить общий объем (или массу) каждого раствора, а уравнения составить так: одно по массе всего раствора, а другое по какому-нибудь одному веществу (например, по соли).

Задача выливание смеси. Для нее схема следующая:

Спецификой данного типа задач является сохранение процентного соотношения между компонентами. Для того, чтобы убедить ученика в истинности этого факта, учитель по математике может привести пример с концентрацией фруктовой массы сока или с крепостью алкогольного напитка. Если из бутылки вылить в стакан однородную смесь, от этого ни доля фруктовой массы, ни крепость алкогольного напитка не изменится, так как сохраняется пропорция веществ.

Вывод.

Решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков. От эффективности использования задач в обучении математике в значительной мере зависит не только качество обучения, воспитания и развитии учащихся, но и степень их практической подготовленности к последующей деятельности в любой сфере.

Задачи – основное средство развития математического мышления учащихся. Ведь человеку в его практической деятельности приходится решать не только неоднократно повторяющиеся задачи, но и новые, никогда не встречающиеся. Необходимо научить выпускников находить пути к решению проблем, а это значит – формировать у учащихся способность к самостоятельному, творческому мышлению , что поможет им при выполнении любого задания на ГИА.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/153016-statja-na-temumetodika-obuchenija-resheniju-t