Решение показательных уравнений

«Решение показательных уравнений»

Технология: преподавание математики с помощью решения задач;

Оборудование: мультимедийная доска, проектор;

Тип урока: урок постановки учебной задачи;

Цель урока:

1. Обучение приёмам и методам решения основных типов показательных уравнений и уравнений, сводящихся к этому виду на основе применения свойств показательной функции.

2. Способствовать формированию умений применять основные алгоритмические приёмы решения показательных уравнений, развивать логическое мышление, умение обобщать и делать выводы.

3. Развивать познавательную активность, интерес к предмету.

Ход урока

І. Сообщение темы и целей урока.

ІІ. Введение определения показательного уравнения и первичное осмысление решения простейшего показательного уравнения или уравнения, сводящегося к нему.

Производится фронтальная работа с классом, направленная на формирование определения показательного уравнения. В ходе диалога выясняется, при каких значениях b – простейшее показательное уравнение,  имеет решение:

Слайд№1

Вопрос: Какие из предложенных уравнений могли бы решить?

Работа в группах. Подводятся итоги групповой работы, определяются возможности решения уравнений 1-4 графическим методом и способом уравнивания показателей.

Вопрос: Почему не смогли решить другие уравнения? Какую задачу будем решать на уроке?

ІІІ. Решение учебной задачи.

Учитель.

1. Решение уравнений вида: 

Данные уравнения решаются вынесением за скобки  , где .

Выясняем, что к уравнениям данного типа относится уравнения 5 и 6. В зависимости от уровня подготовленности группы организуем работу по решению одного из указанных уравнений.

Решите уравнение 6:  .

Решение:

Ответ: 2.

2. Решение уравнений вида: .

Слайд№2

Выясняем, что к уравнениям данного типа относятся уравнения 7 и 8. В зависимости от уровня подготовленности класса организуем работу по решению одного из указанных уравнений.

Решите уравнение 7:  ;

Решение: пусть 

Ответ: 2.

3. Решение уравнений вида: 

Слайд№3

Выясняем, что к уравнениям данного типа относятся уравнения 9 и 10.

Решите уравнение 10: .

Решение:   разделим на 52х, получим

4. Решение уравнений вида: 

Уравнения данного вида или сводящиеся к ним уравнения решаются при помощи свойств монотонности показательной функции, если функция f(x)монотонна на своей области определения Е и   то число   - единственное решение уравнения f(x)=c на множестве Е.

В ходе обсуждения устанавливаем, что уравнения 11 и 12 относятся к данному типу, рассматриваем решение уравнения 11.

Решите уравнение: 

Решение: заметим, что х = 1 – корень уравнения. Функция   - есть сумма возрастающих функций, то есть f(x) возрастает. Значит, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Поэтому, уравнение имеет единственный корень х = 1.

Ответ: 1.

5. Решение уравнений вида:  и В =, причём А В = 1.

Слайд №4

В ходе обсуждения определяем, что уравнения 13 и 14 относятся к данному типу, рассматриваем решение уравнение 13:

Решите уравнение: (2 - + (2 +   = 4

Решение: заметим, что (2 + ) · (2 +   ) = 1, поэтому (2 +   ) = (2 -   

Пусть (2 -   = у, тогда (2 +   = , у 0, получаем

У +   = 4,   - 4у + 1 = 0, у1 = 2 + , у2 = 2 - ;

а) (2 -   = 2 +   = = (2 - , х = -1;

б ) (2 -   = 2 - , х = 1.

Ответ: -1, 1.

V. Подведение итогов.

На основе свойств показательной функции различные типы показательных уравнений сводятся к решению простейших показательных уравнений.

При решении показательных уравнений используются методы:

1. Функционально-графический метод (основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций, например – монотонности).

2. Метод уравнивания показателей (основан на теореме о том, что уравнение   =   равносильно уравнению f(x) = h(x), где   – положительное число, отличное от 1).

3. Метод разложения на множители (основан на вынесении за скобки множителя – степень с наименьшим показателем).

4. Метод введения новой переменной.

Задание на дом:

Решить уравнение (уравнения 5,8,9,12,14 из числа нерешённых в классе).

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/184591-reshenie-pokazatelnyh-uravnenij