Программа элективного курса по математике для учащихся 9 класса «М. М. И. Что это?»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

основная общеобразовательная школа п.Новый

(636955, Томская область, Первомайский район, п.Новый, ул.Школьная,7.

Телефон: 8-38-245-39-1-40, электронный адрес:mounovy@yandex.ru).

Утверждено на заседании

методического совета школы,

протокол №_______от_______

Председатель совета

____________Якименко Е.А.

Директор школы

____________Козырев Е.В.

Программа элективного курса по математике

в 9 классе

«ММИ. Что это?»

Составитель:

Сабанцева Е.Н., учитель математики,

I квалификационная категория

п.Новый

2016 г.

Пояснительная записка.

Данная программа предназначена для учащихся 9 класса общеобразовательной школы. Она посвящена методу математической индукции – одному из интереснейших разделов математики. Одной из отличительных черт математики и таких наук, как теоретическая механика, теоретическая физика, является дедуктивное построение теории, при котором все утверждения выводятся из нескольких основных положений с помощью дедукции, т.е логического вывода. Однако, дедукция не является единственным методом научного мышления. Уже в вычислительной математике не всегда удаётся строго доказать, что вычислительные процессы сходятся, и их применимость обосновывается тем, что они дают, как правило, результаты, подтверждаемые практикой. В таких науках, как физика, химия, биология, наряду с дедукцией широко используются индуктивные рассуждения. В школе, к сожалению, не всегда придаётся должное значение обучению школьников искусству делать индуктивные предположения.

Цель элективного курса – расширение математических знаний учащихся, знакомство с одной из форм математического рассуждения.

Задачи: 1) развивать математическую культуру учащихся;

2) развивать умение делать выводы, полученные путём заключения от частного к общему;

3) развивать и совершенствовать важнейшие математические умения.

Материал курса доступен и вполне подходит для занятий с любыми учащимися, в том числе, и с более сильными. Данный элективный курс позволяет учащимся решать интересные задачи, так как наряду с теорией, приводятся различные задачи.

Изучение курса предполагается построить в виде лекций и практических занятий, однако даже при изложении материала в виде лекций учителю предлагается вести активный диалог с учащимися.

Продолжительность курса – 10 часов.

Формой итогового контроля может стать индивидуальная контрольная работа.

Задачи по данной теме встречаются на олимпиадах, поэтому, возможно, изучение данного курса поможет учащимся при решении задач олимпиадного характера.

Учебно- тематический план.

Содержание.

Полная и неполная индукции.

Метод математической индукции. Принцип математической индукции. Аксиомы Пеано.

Задачи. Доказательство тождеств. Задачи на суммирование. Доказательство тождеств. Задачи на делимость.

Литература.

Н.Я. Виленкин «Индукция. Комбинаторика», Москва, «Просвещение»,

1976 г.

В.М. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин, С.И. Шварцбурд «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа», Москва, «Просвещение», 1990 г.

Полная и неполная индукция.

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений – это рассуждение от общего к частному, т.е рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат (дедукция по-русски означает вывод).

В математике мы применяем дедуктивный метод, проводя рассуждения такого типа:данная фигура – прямоугольник; у каждого прямоугольника диагонали равны, следовательно, и у данного прямоугольника диагонали равны.

(Предложить учащимся привести свои примеры).

По своему первоначальному смыслу словоиндукцияприменяется к рассуждениям, при помощи которых получаются общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот пример подобного рассуждения.

Пример 1. Требуется установить, что каждое чётное натуральное число n в пределах 4≤ n ≤ 100 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого перебираются все такие числа и выписываются соответствующие разложения: 4=2+2;

6=3+3;

8=5+3;

10=7+3;

12=7+5;

………;

98=93+5;

100=97+3.

Эти 49 равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел представляется в виде суммы двух простых. Общее утверждение доказывается здесь разбором всех возможных частных случаев.

Пример 2. Чтобы доказать утверждение: для любого правильного многогранника справедливо соотношение В-Р+Г=2, где В - число его вершин, Р - рёбер, Г – граней,достаточно рассмотреть 5 случаев: тетраэдр. октаэдр, куб, додекаэдр, икосаэдр – других правильных многогранников не существует. А для этих пяти случаев утверждение проверяется с помощью следующей таблицы:

В самом деле, для всех пяти многогранников имеем В-Р+Г=2.

Такой метод перебора конечного числа случаев, исчерпывающих все возможности, называется полной индукцией.

Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа могущих представиться случаев.

Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая полная индукция). Результат, полученный неполной индукцией, остаётся, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным эвристическим методом открытия новых истин.

Пример 3. пусть требуется найти сумму первых n последовательных нечётных чисел. Рассмотрим частные случаи:

1=1, но 1=1²;

1+3=4, но 4=2²;

1+3+5=9, но 9=3²;

1+ 3+5+7=16, но 16=4²;

1+3+5+7+9=25, но 25=5².

После рассмотрения этих немногих частных случаев напрашивается следующий общий вывод:

1+3+5+…+(2n-1)=n², т.е. сумма первых последовательных нечётных чисел равна n². Это утверждение справедливо.

Пример 4. Рассмотрим сумму кубов последовательных натуральных чисел:

S_n=1=1³+2³+3³+…+n³;

S₁=1³=1;

S₂=1³+2³=9;

S₃=1³+2³+3³+4³=100.

Мы замечаем, что числа 1,9,36, 100 являются квадратами чисел 1, 3, 6, 10. Но 3=1+2, 6=1+2+3; 10=1+2+3+4, значит, можно предположить, чтоS_n=1³+2³+3³+4³+…+n³=(1+2+3+…+n)² (1).

Разумеется, сделанное наблюдение ещё не может служить доказательством справедливости формулы (1). Далее мы познакомимся с методом, пользуясь которым можно доказать, что формула верна.

Индуктивные рассуждения иногда приводят к ошибочным выводам.

Пример 5. Разность двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9. Разность трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 99. Возникает предположение о том, что разность четырёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, будет делиться на 999. Это неверно, так как , например, 2231-1322=909, а 909 не делится на 999.

Пример 6. рассматривая числа вида 2²ⁿ+1, французский математик П. Ферма заметил, что при n=1, 2, 3, 4 получаются простые числа. Он предположил, что все числа простые. Однако Л. Эйлер нашёл, что уже при n=5 число 2³²+1 не является простым: оно делится на 641.

Итак, неполная индукция может привести к ошибке, хотя иногда приводит к истине.

Упражнения.

S_n=-1+2-3+4-5+6-7+…+(-1)ⁿn.

ВычисливS₁,S₂,S_3,S₄,S₅,S₆, угадайте формулы для следующих сумм и произведений. Обобщая частные результаты, угадайте формулы для следующих сумм и произведений.

S_n= - 1+ 3 – 5 + 7 – 9 + … + (- 1)ⁿ(2n – 1).

S_n = (1 – ½)(1 – 1/3)( 1- ¼)…(1 - 1/ (n + 1).

S_n = 1/1∙2+ 1/ 2∙3 + … + 1/ n∙(n + 1).

S_n = 1+ 2 + 3 + … + n.

S_n = 1∙4 + 2∙7 + 3∙10 + … + n∙ (3n + 1).

P_n = (1-1/4)(1-1/9)…(1-1/(n+1).

Справедливо ли утверждение: n²+n + 17 – простое число при любом натуральномn? Проверьте его справедливость. положивn = 1, 2, 3, 4, …, 15, 16.

Метод математической индукции.

Метод математической индукции имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев человек не может (например, натуральные числа, все простые числа и т.д.). Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам.

Но существует метод рассуждений, называемый методом математической индукции. Он заключается в следующем.

Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа n (например, нужно доказать, что сумма первых нечётных чисел равна n²). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n=k вытекает справедливость и при n=k+1. Тогда утверждение считается доказанным для всех n.

Сформулируем следующий общий принцип. Чтобы доказать справедливость для любого натурального числа n некоторого общего утверждения, достаточно:

установить справедливость этого утверждения приn=1;

доказать, что из справедливости утверждения приn=k, вытекает его справедливость и при n=k+1 (каково бы ни было натуральное числоk).

Есть несколько иная формулировка принципа математической индукции.

Принцип (аксиома) математической индукции.

Утверждение, зависящее от натурального числа n, справедливо для любого n, если выполнены два условия:

утверждение справедливо при n=1;

при любом натуральном значении k из справедливости утверждения для n=k вытекает его справедливость и дляn=k+1.

Доказательство по методу математической индукции проводится следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1. Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует индукционный шаг. В этой части доказывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k.

Пример 1. Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)².

Доказательство: 1) n=1 (подставим в последний член), 1=1(и).

Предполагаем, что при n=k утверждение верно.

1+3+5+…+2k-1=k².

Доказать, что при n=k+1 верно 1+3+5+…+ 2k+1=(k+1)².

1+3+…+2k-1+2k+1=k²+2k+1=(k+1)² (и).

Пример 2. Доказать, что -1+3-5+7-9+…+(-1)ⁿ(2n-1)=(-1)ⁿn.

Доказательство: 1) S₁=-1=(-1)¹∙1. Утверждение верно при n=1.

2) Пусть утверждение справедливо для n=k, т.е. -1+3-5+…+(-1)^k(2k-1)=

(-1)^k∙k.

3) Докажем, что утверждение верно дляn=k+1:

-1+3-5+…+(-1)^k(2k+1)=(-1)^k(k+1)$

(-1)^k∙k+(-1)^k+1(2k+1)=(-1)^k+1(-k+2k+1)=(-1)^k+1(k+1) (и).

Метод математической индукции и аксиомы Пеано.

ММИ является одной из форм математического рассуждения. Выясним основу метода. Проводя доказательство методом математической индукции, мы говорили: если утверждение справедливо для n=1, то оно справедливо для n=2,n=3 и т.д., а значит, оно справедливо для всех натуральных значений n. При этом понятие натурального числа считалось само собой очевидным. Но каждое понятие должно быть либо определено на основе ранее известных понятий, либо введено аксиоматически. Для арифметики такими исходными понятиями являются: единица, натуральное число и следовать за, а основными свойствами этих понятий – аксиомы, данные итальянским математиком Д. Пеано. Эти аксиомы таковы:

для каждого натурального числа n существует одно и только одно следующее за ним натуральное число n+1;

единица является натуральным числом, причём она не следует ни за каким натуральным числом;

ни одно натуральное число не следует за двумя различными натуральными числами;

если множество А содержит единицу и вместе с каждым числом k содержит следующее число k+1, то А содержит все натуральные числа.

Четвёртую аксиому называют аксиомой математической индукции, на ней основан метод математической индукции.

Задачи.

Докажите следующие формулы:

1+2+3+…+n = n(n+1)/2.

1²+2²+3²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6.

1³+2³+…+n³= (1+2+3+…+n)³.

1∙2+2∙3+3∙4+n∙(n+1)=n(n+1)(n+2)/3.

1∙4+2∙7+3∙10+…+n(3n+1)=n(n+1)².

1/1∙2 + 1/2∙3 + … + 1/n∙(n+1) = n/(n+1).

(1-1/4)(1-1/9)…( 1- 1/(n+1)²)=n+2/(2n+2).

Для любого n>1 (1-1/4)(1-1/9)…(1-1/n)=(n+1)/2n.

1∙1!+2∙2!+…+n∙n!=(n+1)!-1.

2+16+56+…+(3n-2)∙2ⁿ=10+(3n-5)∙2ⁿ⁺¹;

½ ∙ 2! + 2/2 ∙ 3! + 3/2 ∙ 4! + … + n/2 ∙ (n+1)! = (n+2)!/2 – 2.

Задачи для самостоятельного решения.

Доказать, что для любого n из множества N:

(2ⁿ⁺²∙3ⁿ+5n-4):25;

(n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n):24;

(6²ⁿ-1):35;

(4ⁿ + 15n – 1):9;

(6²ⁿ + 3ⁿ⁺² + 3ⁿ):11;

( 2ⁿ⁺⁵∙3⁴ⁿ + 5³ⁿ⁺¹):37;

(7ⁿ⁺²+ 8²ⁿ⁺¹):1.

Задачи и упражнения по методу математической индукции.

Доказать, что при любом натуральном значении n справедливы равенства:

1∙2∙3+2∙3∙4+3∙4∙5+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4;

1/1∙3 + 7/3∙5 + 17/5∙7 + … + (2n²-1)/(2n-1)(2n+1)=n²/(2n+1);

3+20+168+…+(2n+1)∙2^n-1∙n!=2ⁿ∙(n+1)! – 1.

Вычислите сумму:

S_n=1/1∙4 + 1/3∙5 + 1/7∙10 + … + 1/(3n-2)(3n+1);

S_n=5+45+325+…+(4n+1)∙5^n-1;

S_n=2²+4²+6²+…+(2n)².

Доказать неравенства:

2ⁿ>n²дляn>4;

3ⁿ≥2ⁿ+n;

4ⁿ≥3ⁿ+n²;

1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/2n>13/24 для n>1.

Доказать, что при любом натуральном n:

7ⁿ⁺¹+8^n-1кратно 19;

7ⁿ+3^n-1кратно 9;

х^2n-1-a²ⁿ⁺¹ делится на х-а.

Доказать тождество

½ + сos x + cos 2x +…+ cos nx=sin((2n+1)x)/2/(2sin x|2).

6. Доказать, что для любого натуральногоn число n³/3 + n²/2 + n/6 – целое.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/185121-programma-jelektivnogo-kursa-po-matematike-dl