Задачи с параметром в школьном курсе математики

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Еланцынская средняя общеобразовательная школа»

.

автор: Степанова Ф.С

Еланцы 2014

Учитель математики МБОУ «Еланцынская СОШ»

Контактные данные

E-mail: Stepanova3060@gmail.com

Увлечения

Вязание.

Вышивание крестиком.

Шитьё.

Музыка, кино.

ВВЕДЕНИЕ В КУРС

Уважаемый выпускник!

Предлагаем Вам курс «Задачи с параметром в школьном курсе математики»

Материал разделён на 5 единиц:

Понятие о задачах с параметром.

Решение линейных уравнений с параметром.

Решение линейных неравенств с параметром.

Решение квадратного уравнения с параметром.

Итоговый контроль.

Курс, который будем изучать вместе, рассчитан на девятиклассников, старшеклассников, учителей школ и других заинтересованных лиц. Курс поможет вам осознанно решать уравнения и неравенства с параметрами, преодолеть сложность в логическом, техническом и психологическом плане к решению задач с параметрами. Так же курс адресован учащимся 8-11 классов, планирующим в будущем сдавать экзамен по математике при поступлении в ВУЗ. Важно, чтобы Вы, учащиеся перестали «бояться» параметра в задачах и пытались отыскать их решение. Умение решать такие задачи открывает перед вами большие возможности решать задачи на исследование на любом математическом материале. Кроме того, задачи с параметром обладают высокой диагностической и прогностической целью, поэтому они стали неотъемлемой частью ГИА и ЕГЭ для выпускников школы.

Школьная базовая программа уделяет мало времени решению задач с параметрами, предлагая рассматривать их факультативно. Вместе с тем ясно, что решению таких задач надо обучать специально, так как большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

Задачи:

Расширить и углубить знания школьного курса математики;

Овладение навыками и умениями для решения сложных нестандартных задач;

приобрести навыки рассуждения, наблюдательности, умения проводить аналогии,

обобщать, обосновывать, анализировать, делать выводы

Цель курса:

достижение более высокого уровня математической подготовки;

развитие математических способностей через решение нестандартных задач;

развитие логического мышления;

формирование математической культуры;

приобретение навыков исследовательской работы, элементов анализа;

воспитание настойчивости и терпеливости при решении задач.

Категория слушателей: учащиеся 8-11 классов

Требования к слушателям

Чтобы успешно пройти данный курс, вы должны:

Уметь решать уравнения и неравенства

Владеть компьютером на уровне пользователя;

Уметь работать в программах MS Word, Internet Explorer,

Уметь работать в Интернет;

Иметь адрес электронной почты.

Организация учебного процесса:

самостоятельная работа;

консультации с преподавателем;

выполнение письменных работ.

ОБЩАЯ СХЕМА КУРСА

ГЛОССАРИЙ КУРСА

Уравнение – это равенство двух выражений, для которого нужно найти его решение.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Выражение – это числа и буквы, соединённые знаками математических операций.

Корень уравнения – это значение неизвестного, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство.

Параметр – независимая переменная, значение которой в уравнении считается заданным фиксированным или произвольным числом.

Уравнение с параметром – это уравнение, в котором помимо переменной содержится «лишнее» буквенное выражение.

Решение уравнения с параметром – это значит указать для каждого значения параметра множество корней уравнения.

Линейное уравнение – это уравнение вида , где а и

в – некоторые числа, х – переменная;

Линейное уравнение с параметром –это уравнение вида , где, х – переменная, один из коэффициентов а или в – некоторое число, а другой коэффициент заменяется какой-нибудь буквой, (параметром).

Решить линейное уравнение с параметром – это значит для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения;

Решение линейного уравнения с параметром – это множество всех значений переменной при любом допустимом значении параметра.

Линейное неравенство - это выражение вида или , где ,- некоторая переменная.

Решение неравенства – это такое значение неизвестного, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти, описать множество его решений.

Линейное неравенство с параметром – это в выражении вида или , где ,- некоторая переменная, содержится ещё одна «лишняя» буква.

Решить линейное неравенство с параметром – это для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного неравенства.

Квадратное уравнение – уравнение вида ах² + вх +с = 0, где а, в, снекоторые числа.; в уравнении числа а, в, с называются коэффициентами.

Квадратное уравнение с параметром –уравнение вида ах² + вх +с = 0, где а, в, с некоторые числа и один из них (коэффициентов) заменено какой-нибудьбуквой.

Решить квадратное уравнение с параметром – это значит для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Решение квадратного уравнения с параметром –это множество всех значений переменной при любом допустимом значении параметра.

ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬ В КУРС

Задание №1

Создайте файл MS Word с именем – Ваша familia_1st

В созданном файле при помощи стандартных средств печати MS Word создайте максимально приближённую копию того, что вы видите на рисунке ниже.

Для этого надо:

ОткрытьMS Word;

В ставка Объект MicrosoftEquation 3.0 ok

Набрать текст

Сохраните файл

Задание №2

В созданном файле укажите правильные ответы на вопросы теста, заполнив таблицу

Какие из перечисленных чисел 6, 2, 5 являются корнями уравнения 5х – 6 = 12 – 4х?

Выберите из предложенного списка уравнение, которое не является линейным.

3х – 4 = 6

Варианты ответов: 1) а, в 2) а, г 3) а 4) б 5) г

Р ешите линейное уравнение 3х – 8 = 12 + х.

Варианты ответов: 1) 5 2) 10 3) 1 4) 2

Решите неравенство 3(3х – 1) > 10х – 14.

Варианты ответов:

Сколько различных корней имеет уравнение 4х² – 8х +4 = 0.

Варианты ответов: 1) один корень 2) два корня 3) нет корней

Найдите корни квадратного уравнения2х² + 4х – 16 = 0.

Варианты ответов: 1) 2; 4 2) -2; 4 3) 2; -4 4) -2; -4

Выполненную работу отправьте по e-mail Stepanova3060@gmail.com

Модули и учебные единицы

МОДУЛЬ 1 УЕ 1.1.

ВВЕДЕНИЕ В УЕ 1.1.

ПОНЯТИЕ О ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРОМ

Цели изучения:

ознакомиться с понятиями параметр, задача с параметром;

разобраться, что значит «решить задачу с параметром»?

Что вы должны знать и уметь перед началом изучения модуля:

достаточно знать понятие уравнения, неравенства, линейного уравнения, квадратного уравнения;

уметь решать уравнение; неравенство; линейное уравнение; квадратное уравнение.

В результате изучения данного модуля Вы будете знать:

что такое параметр, задача с параметром;

решение уравнения с параметром, неравенства с параметром;

необычную форму записи ответа.

Ход изучения

Прочитайте теоретическую часть УЕ 1.1.

По ходу изучения отвечайте на вопросы (самоконтроль)

Чем отличается серия уравнений от уравнения в общем виде?

Какая связь между коэффициентами и параметром в уравнении?

Что значит решить уравнение с параметром?

Для чего исследуют формулу, по которой вычисляют решение уравнения?

Существует ли алгоритм записи ответа?

В чём отличие решения уравнений от решения уравнений с параметром?

Рассмотрите примеры (практическая часть).

Выполните контрольные задания по учебной единице 1.1.

Вид контроля: письменные ответы отправьте по e-mail Stepanova3060@gmail.com

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ УЕ 1.1.

ПОНЯТИЕ О ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРОМ

Уравнение – это равенство двухвыражений, для которого нужно найти его решение.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Выражение – это числа и буквы, соединённые знаками математических операций.

Корень уравнения – это значение неизвестного, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство.

Параметр – независимая переменная, значение которой в уравнении считается заданным фиксированным или произвольным числом.

Уравнение с параметром – это уравнение, в котором помимо переменной содержится «лишнее» буквенное выражение.

Решение уравнения с параметром – это значит указать для каждого значения параметра множество корней уравнения.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ УЕ 1.1.

ПОНЯТИЕ О ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРОМ

Уравнения

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным.

Например, уравнением с одной переменной является равенство

3(2х + 7) = 4х – 1.

Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Например, число 1 является решением уравнения 2х + 5 = 8х – 1.

Уравнение х² + 1 = 0 не имеет решения, т.к. левая часть уравнения всегда больше нуля.

Уравнение (х+3)(х-4) =0 имеет два корня: х₁= -3, х₂ = 4.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Параметр

Рассмотрим серию уравнений:

2х +5 = 7, 8х + 5 = 7, х + 5 = 7, 0,05х + 5 = 7, -6х + 5 = 7

В общем виде эти уравнения можно записать так:

ах +5 = 7, где а – некоторое число перед неизвестным, которое называется коэффициентом.Приведём ещё примеры уравнений, неравенств, в которых коэффициенты заданы не конкретными числами, а буквами:

2х + 3 = a, dx +c = 8, ax²+bx +c < 0, 9 – 6х = .

Коэффициенты, заданные в уравнении не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами, называютпараметрами.

По традиции неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита– x, y,z, а параметры – первымиa, b,cили вообще буквами другого алфавита (например, греческими).

Понятие об уравнении с параметром

Уравнение с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром.

Например:

Знакомые уравнения: 1) - переменная, - параметры.

2) - переменная, - параметры.

Уравнение с параметром - этоуравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметрам или уравнение с параметрами в зависимости от количества букв.

Что означает решить уравнение с параметром?

Решить уравнение с параметром - это значит указать для каждого значения параметра множество корней данного уравнения.

Множество корней – это количество корней: один корень, два корня, много корней или нет корней.

Решить уравнение с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Множество решений уравнения зависит от параметра. Уравнение с параметром может иметь одно решение, два решения, много решений, не иметь решения. Это зависит от параметра а. Поэтому при решении всегда требуется исследовать при каких значениях параметра уравнение имеет одно решение, два решения, много решений, не иметь решения.

Рассмотрим уравнения и выясним, сколько решений имеет каждое уравнение? от чего зависит количество решений уравнения? Результаты запишем в таблице.

а) б) в) г) д)

Так отчего же зависит количество решений уравнения?

Рассмотрим внимательно формулы, по которой найдём решение каждого уравнения.

В уравнении (а) нет решения, т.к. на нуль делить нельзя.

В уравнении (д) решение зависит от параметра а, т.к. требуется исследовать параметр а: Если а = 0, то получим , на нуль делить нельзя, значит нет решения.

Если , то получим , значит при получим одно решение.

Вывод: все уравнения можно разбить на две группы: простые уравнения, которые решаются с исследованием параметра и без исследования параметра.

Значит и ответы записываются по-особому для уравнений, решение которых требует исследования параметра.

Ответ к задаче «Решить уравнения с параметрами» должен выглядеть следующим образом:

уравнение при таких- то значениях параметров имеет корни…,

при таких- то значениях параметров - корни…,

при остальных значениях параметров уравнения корней не имеет.

1). Простые уравнения, решения которых не требует исследования параметра.

а) х– а = 0 Ответ: при а ( - , + ) х = а.

б) 5х = а Ответ: при .

в) х : 2 = а Ответ: при а (-, + ) х = 2а.

д) х³ = а Ответ: при а(-, + ) х = .

2). Простые уравнения, решения которых требуют исследования параметра.

а) ах = 10 Ответ: при а 0, при а = 0 решений нет.

б) 0х = а Ответ: при а 0 корней нет, при а = 0 х – любое число.

г) (а² – 4)х = а² +а – 6

Решение г) Если а² – 4 0, т.е. , то .

При а = -2 уравнение имеет вид: 0х = -4, т.е. не имеет корней.

При а = 2 исходное уравнение принимает вид: 0х = 0 т.е. х – любое число.

Ответ: при , то ,

при а = - 2 корней нет,

при а = 2 х – любое число.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ УЕ 1.1.

ПОНЯТИЕ О ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРОМ

Рассмотрим задачи:

1 задача. В уравнении определите так, чтобы число 3 было его решением.

решение:

1. Выразим неизвестное , т.е. найдём корень уравнения

Теперь из условия задачи известно, что число 3 является решением уравнения.

Значить .

Но мы ведь выше уже нашли корень уравнения, равный .

Что же это означает?

Означает, что в формуле корня переменнуюнадо заменить его значением, равным 3.

которое нужно решить как уравнение с неизвестным относительно буквы .

Ответ: число 3 является решением уравнения при .

2 задача. Решите уравнение при всех допустимых значениях параметра .

решение:

Решим уравнение относительно , т.е. выразим переменную

Теперь выясним, при каких значениях параметра уравнение имеет корни или не имеет корни.

Каким же образом выясним?

В записи получившегося уравнения после упрощения обратите внимание на коэффициент перед переменной , это коэффициент .

Если , т.е. , то уравнение принимает вид

. Это уравнение не имеет решения.

Если , т.е. , то уравнение имеет единственное решение

Ответ: при ; при , решений нет.

Чем отличаются решения этих двух задач?

В первой задаче решение уравнения известно, требовалось найти значение параметра, удовлетворяющее условию задачи.

Во второй задаче решение (корни) уравнения неизвестно, поэтому требовалось найти решение (корни) для любого значения параметра.

Вывод:

При решении уравнений с параметром необходимо вначале выяснить при каких значениях параметра уравнение имеет корни и сколько их в зависимости от значений параметра.

Решить уравнение с параметрами означает следующее:
1) Исследовать, при каких значениях параметра уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
2) Найти все  выражения для корней и указать для  каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.
Ответ к задаче «Решить уравнения с параметрами» должен выглядеть следующим образом:

уравнение при таких- то значениях параметров имеет корни…,

при таких- то значениях параметров - корни…,

при остальных значениях параметров уравнения корней не имеет.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ УЕ 1.1.

ПОНЯТИЕ О ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРОМ

Уравнения с параметром.

Ход решения уравнения с параметром:

решить уравнение относительно переменной;

рассмотреть случай, когда коэффициент а (параметр) перед переменнойх равен нулю; коэффициент а (параметр) перед переменной х не равен нулю;

выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет корни; не имеет корней; имеет заданный корень.

Написать ответ следующим образом:

уравнение при таких- то значениях параметров имеет корни…,

при таких- то значениях параметров – корни…,

при остальных значениях параметров уравнения корней не имеет.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ УЕ 1.1.

ПОНЯТИЕ О ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРОМ

Решите уравнение с параметром а.

х – а = 0

ах = 10

ах = а

5х = а

ах = 0

ах – 6 = 4

3х + а = 0

а + 6х = 0

ответы отправьте по e-mail Stepanova3060@gmail.com

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА УЕ 1.1.

ПОНЯТИЕ О ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРОМ

“Справочник по математике” В.А. Гусев, А.Г. Мордкович

Учебник “Алгебра” 8, 9 класс Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков

“Задачи с параметрами” Горнштейн П.И. и др. – М., Илекса, 2002;

“Задачи с параметрами” Домбровская Т.В. Методическое пособие для учителей математики, ТОИПКРО, 2002.

ВВЕДЕНИЕ В УЕ 1.2.

Цели изучения:

Ознакомиться с понятием линейного уравнения с параметром;

разобраться, что значит «решить линейное уравнение с параметром»?

Что вы должны знать и уметь перед началом изучения модуля:

достаточно знать понятие линейного уравнения;

знать основные свойства решения уравнений;

уметь применять основные свойства решения линейных уравнений;

В результате изучения данного модуля Вы будете знать:

определение линейного уравнения с параметром;

о типичных заданиях линейного уравнения с параметром;

решение линейного уравнения требует исследования параметра;

количество решений зависит от значения параметра;

необычную форму записи ответа.

Ход изучения

1. Прочитайте теоретическую часть УЕ 1.2.

По ходу изучения отвечайте на вопросы (самоконтроль)

Чем отличается линейное уравнение от линейного уравнения с параметром?

Какие типы заданий существуют для решения линейных уравнений с параметром?

С какой целью следует рассматривать коэффициент перед переменной?

В чём отличие формы записи ответа линейного уравнения с параметром от записи ответа линейного уравнения?

Рассмотрите примеры (практическая часть).

Выполните контрольные задания по учебной единице 1.2.

Вид контроля: письменные ответы.

ответы отправьте по e-mail Stepanova3060@gmail.com

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ УЕ 1.2.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Линейное уравнение - это уравнение вида , где а и в – некоторые числа, х – переменная;

Линейное уравнение с параметром –это уравнение вида , где, х – переменная, один из коэффициентов а или в – некоторое число, а другой коэффициент заменяется какой-нибудь буквой, (параметром);

Решить линейное уравнение с параметром – это для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения;

Решение линейного уравнения с параметром – это множество всех значений переменной при любом допустимом значении параметра.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ УЕ 1.2.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Уравнение ах = в, где х – переменная, а и в – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Например:

7х – 6 = 2 2х = 9 7х = 2,1

При решении уравнений используются следующие свойства:

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Начнём с простого примера.

Решим линейное уравнение:6х – 1 = х + 6 (а)

Перенесём в левую часть уравнения слагаемые, содержащие , а в левую часть – не содержащие . получим:

6х – х = 6 + 1

5х = 7

х = 1,4

Если в уравнении (а) заменить какое-либо число, например число 6, другим числом, то можно получить новые уравнения:

5х – 1 = х +5(б)

8х +1 = х + 6(в)

3х - 1 = 3+1(г)

Каждое из этих уравнений (б) – (г) решается тем же способом, что и уравнение (а). Чтобы не решать несколько однотипных уравнений одним и тем способом, решим задачу в общем виде, заменив изменяемое число (параметр) буквой.

Полученное уравнение называетсялинейным уравнением с параметром, которое следует решить обычным способом

ах – 1 = х + 6

ах – 1= х + а

(а– 1)х = а + 1(д)

Вот с этого момента надо выразить. Только не будем торопиться с делением на а – 1, ведь это выражение при а = 1 обращается в нуль, а на нуль делить нельзя. Случай, а = 1 надо рассматривать отдельно.

Если а = 1, то уравнение (д) имеет вид

Очевидно, что в этом случае уравнение (д) не имеет корней

Если же , то уравнение (д) имеет единственный корень .

Нетрудно убедиться, что по формуле мы получим корни уравнений (б) – (г), если в качестве а возьмём числа 5, 4 и 3 соответственно.

Задание, которое мы только что выполнили, обычно формулируют так: для всех значений параметра а решите уравнение

(а – 1)х = а+1

Ответ к этому заданию можно записать так:

Ответ: при ; нет корней при а = 1.

Заметим, что наши рассуждения о параметре начались с уравнения (а), имевшего единственный корень, но после замены числа 6 на букву а оказалось, что полученное уравнение имеет единственный корень не при всех значениях а. При а = 1 оно не имеет корней.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ УЕ 1.2.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Рассмотрим несколько заданий с параметром.

Пример 1. При каждом значении параметра а решите уравнение

ах – 6 = 2а – 3х (1)

Решение:

1. Приведём линейное уравнение к стандартному виду:

Это уравнение примет вид

2. Нужно исследовать коэффициент (а + 3), от которого зависит решение уравнения.

Рассмотрим два случая: и .

Если , то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же , то уравнение имеет единственный корень х = 2.

Ответ: х – любое число при ; х = 2 при .

Пример 2. При каком значении параметра а уравнение

(2)

не имеет корней?

Решение:

1. Перепишем уравнение (2) в виде, т.е. привели к стандартному виду: . где х – переменная, к и в – некоторые числа или параметр

(2^/)

2. Теперь нужно исследовать коэффициент, от которого зависит решение уравнения.

Если , то уравнение (2^/) не имеет корней

Ответ: при .

Пример 3. Найдём все значения параметра а, при каждом из которых число 7 является единственным корнем уравнения

(3)

Способ I. Если для некоторого значения параметра а число 7 является корнем уравнения (3), то для этого значения а справедливо равенство

,

или равенство

.
Внимание! Мы ещё не получили ответа, так как нашли два значения параметра а, предполагая, что число 7 является корнем уравнения. Но этот корень должен быть единственным, поэтому ещё требуется проверить, является ли число 7 единственным корнем уравнения (3) при а = 0 или а = 1.

Если а = 0, то уравнение (3) перепишем в виде

х – 7 = 0.

При а = 0 число 7 является единственным корнем уравнения (3).

Если же а = 1, то уравнение (3) перепишем в виде

х – 7 = х – 7

При а = 1 любое действительное число является корнем уравнения (3), следовательно, 7 не является единственным корнем уравнения (3).

Способ II. Перепишем уравнение (3) в виде

(3^/)

где нужно исследовать коэффициент , от которого зависит решение уравнения.

При а = 1 корнем уравнения (3^/) является любое число, т.е. число 7 не является единственным корнем уравнения. Поэтому в уравнении (3^/) . Но тогда это уравнение имеет единственный корень . Условие задачи может быть выполнено, если этот единственный корень есть число 7:

,

то есть при а = 0.

Ответ: а = 0.

Пример 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнения

(4)

и

(5)

имеют общий корень.

Решение: Перепишем уравнение в виде

(4^/)

где нужно исследовать коэффициент , от которого зависит решение уравнения.

Уравнение (4^/) имеет корень лишь при . Этот корень есть число .

Перепишем уравнение (5) в виде

(5^/)

где нужно исследовать коэффициент .

Уравнение (5^/) имеет корень лишь при . Этот корень есть число .

Осталось найти все значения параметра , при каждом из которых уравнения (4^/) и (5^/) имеют общий корень, то есть числа и есть одно и то же число. Значит =

Для этого решим уравнение

(6)

Перенесём все слагаемые в одну часть, упростив разность алгебраических дробей, получим уравнение

,

Имеющие единственный корень . При этом значении параметра а условие задачи выполнено.

Ответ: при .

Чем отличаются решения этих задач?

В первой задаче решение уравнения неизвестно.

Во второй задаче задано условие о факте существования решений или отсутствии решений.

В третьей задаче решение уравнения известно.

В четвёртой задаче решение уравнения неизвестно, но него наложено определённое условие.

В чём сходство при решении этих задач?

1. Переписать уравнение в виде , где некоторые числа.

2. Исследовать коэффициент , в записи которой обязательно содержится параметр и выяснить

при каких значениях параметра уравнение не имеет корни, имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

3. Найти общую формулу для вычисления корня:

уравнение при таких- то значениях параметров имеет корни…,

при таких- то значениях параметров - корни…,

при остальных значениях параметров уравнения корней не имеет.

Решение уравнения с параметром зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение для значения параметра, заранее оговорённому условию, либо для любого значения параметра найти решение.

Чаще всего встречаются две постановки задач.

Первая: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

Вторая: для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

Первая постановка задачи: при каких значениях параметра а уравнение имеет заданный корень.

Вторая постановка задачи: решите уравнение. Это значит, что для каждого значения параметра а, необходимо найти все решения.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ УЕ 1.2.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

1. Линейное уравнение с параметром.

2. Ход решения линейного уравнения с параметром:

а) привести уравнение к стандартному виду, т.е. вида ах + в = 0;

в) исследовать коэффициент перед переменной х, от которого зависит решение уравнения;

в) рассмотреть случай, когда коэффициент (параметр) перед переменной х равен нулю; коэффициент перед переменнойх не равен нулю;

с) выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет корни; не имеет корней;

Написать ответ следующим образом:

уравнение при таких- то значениях параметров имеет корни…,

при таких- то значениях параметров - корни…,

при остальных значениях параметров уравнения корней не имеет.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ УЕ 1.2.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

При каждом значении параметра а решите уравнение .

При каждом значении параметра а решите уравнение . .

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число –3 является единственным корнем уравнения .

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения

и

имеют один общий корень.

ответы отправьте по e-mail Stepanova3060@gmail.com

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА УЕ 1.2.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Справочник по математике” В.А. Гусев, А.Г. Мордкович

Учебник “Алгебра” 8, 9 Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков

“Задачи с параметрами” Горнштейн П.И. и др. – М., Илекса, 2002;

“Задачи с параметрами” Домбровская Т.В. Методическое пособие для учителей

математики, ТОИПКРО, 2002

ВВЕДЕНИЕ В УЕ 1.3.

Цели изучения:

Ознакомиться с понятием линейного неравенства с параметром;

разобраться, что значит «решить линейное неравенство с параметром»?

Что вы должны знать и уметь перед началом изучения модуля:

достаточно знать понятие линейного неравенства;

знать основные свойства решения неравенств;

уметь применять основные свойства решения линейных неравенств;

В результате изучения данного модуля Вы будете знать:

определение линейного неравенства с параметром;

о типичных заданиях линейного неравенства с параметром;

решение линейного неравенства требует исследования параметра;

количество решений зависит от значения параметра;

необычную форму записи ответа.

Ход изучения

1. Прочитайте теоретическую часть УЕ 1.3.

2. По ходу изучения отвечайте на вопросы (самоконтроль)

Чем отличается линейное неравенство от линейного неравенства с параметром?

Какие типы заданий существуют для решения линейных неравенств с параметром?

С какой целью следует рассматривать коэффициент перед переменной?

В чём отличие формы записи ответа линейного неравенства с параметром от записи ответа линейного неравенства?

В чём сходство решение уравнений с параметром и решение неравенств с параметром?

3. Рассмотрите примеры (практическая часть).

4. Выполните контрольные задания по учебной единице 1.3.

Вид контроля: письменные ответы.

ответы отправьте по e-mail Stepanova3060@gmail.com

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ УЕ 1.3.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ

Линейное неравенство - это выражение вида ,,,где,- некоторая переменная.

Решение неравенства – это такое значение неизвестного, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти, описать множество его решений.

Линейное неравенство с параметром – это в выражении вида или , где ,- некоторая переменная, содержится ещё одна «лишняя» буква.

Решить линейное неравенство с параметром – это для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного неравенства.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ УЕ 1.3.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ

Общие приёмы решения уравнений и неравенств аналогичны.

Неравенство, содержащее переменную, называют неравенством с одной переменной, или неравенством с одним неизвестным.

Например, неравенством с одной переменной является 3(2х + 7) > 4х – 1.

Если переменной х придать какое-либо числовое значение, то мы получим числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание.

Пусть, например, дано неравенство 5х – 1 > 3х + 2.

при х = 2 получим 5·2 – 1 > 3·2 + 2 – истинное высказывание (верное числовое высказывание);

при х = 0 получим 5·0 – 1 > 3·0 + 2 – ложное высказывание.

Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением линейного неравенства.

Решить неравенство – это значит найти, описать множество его решений.

Линейное неравенство с параметром – это в выражении вида или , где ,- некоторая переменная, содержится ещё одна «лишняя» буква.

Решить линейное неравенство с параметром – это для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного неравенства.

Решение линейного неравенства с параметром (так же, как и решение уравнений с параметром) обычно распадаются на два шага – преобразование неравенства к стандартному виду и решение стандартного линейного неравенства .

Решение неравенств базируется на следующих правилах:

1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное неравенство.

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное неравенство.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ УЕ 1.3.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ

Рассмотрим решения линейных неравенств с параметром.

Пример 1. Решить неравенство ах > 1.

Решение:

Данное линейное неравенство не надо преобразовывать, т.к. оно стандартного вида. Чтобы решить данное неравенство, сначала надо исследовать параметр. Для этого рассмотрим 3 случая: а > 0, а < 0, а = 0.

Если а > 0, то .

Если а < 0, то .

Если а = 0. то решений нет.

Ответ: если , то ;

если а = 0. то решений нет;

если , то .

Пример 2. Решите неравенство (m – 1)х < 5m.

Решение:

Данное линейное неравенство не надо преобразовывать, т.к. оно стандартного вида. Чтобы решить данное неравенство, сначала надо исследовать параметр.

Для этого рассмотрим 3 случая: m – 1 > 0, m – 1 < 0, m – 1 = 0.

Если m – 1 > 0, то .

Если m – 1 < 0, то .

Если m – 1 = 0, то х – любое число.

Ответ: если , то ;

если = 1, то х – любое число;

если , то .

Пример 3. Решить неравенство 3(2а – х) < ах + 1.

Решение:

Данное неравенство нужно решить по алгоритму:

Преобразовать к виду

Исследовать параметр перед переменнойх

если а > 0,

если а < 0,

если а = 0.

Написать ответ следующим образом:

неравенство при таких- то значениях параметров имеет корни…,

при таких- то значениях параметров - корни…,

при остальных значениях параметров уравнения корней не имеет.

Итак, чтобы решить неравенство. следуем данной инструкции.

Выполним первый шаг алгоритма.

Сначала раскроем скобки

6а – 3х < ах + 1

В левой части неравенства группируем слагаемые с неизвестным, в правой части остальные слагаемые. При этом учитывайте правила переноса слагаемых из одной части в другую часть, получим:

– 3х – ах < 6а + 1

Вынесем переменную х за знак скобки, получим

х(-3 – а) < 1 – 6а

Теперь обе части неравенства умножим на отрицательное число. При этом не забывайте правило умножения неравенства на отрицательное число. Получим неравенство

х(3 + а) > 1 – 6а

Второй шаг алгоритма

Исследуем параметр перед переменной ( 3 + а)

Если 3 + а > 0, то ;

Если 3 + а < 0, то

Если 3 + а = 0, а = – 3 то х – любое число.

Третий шаг алгоритма

Ответ: если , то ;

если а = – 3, то х – любое число;

если , то .

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ УЕ 1.3.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ

Линейное неравенство с параметром.

Ход решения линейного неравенства с параметром.

привести неравенство к стандартному виду, т. е. вида ах + в = 0, при этом учитывать правила решения неравенств;

исследовать коэффициент перед переменной х, от которого зависит решение неравенства.

Написать ответ следующим образом:

при таких- то значениях параметра неравенство имеет решение…,

при таких- то значениях параметра - решение…,

при остальных значениях параметра неравенство решений не имеет.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ УЕ 1.3.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ

Решите неравенство (а +2 )х > 0.

Решите неравенство а – 2х < 1 + ах.

Решите неравенство 2(а – 2х) < 8 – ах.

ответы отправьте по e-mail Stepanova3060@gmail.com

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА УЕ 1.3.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ

Справочник по математике” В.А. Гусев, А.Г. Мордкович

Учебник “Алгебра” с углублённым изучением математики Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков.

“Задачи с параметрами” Горнштейн П.И. и др. – М., Илекса, 2002;

Задачи с параметрами” Домбровская Т.В. Методическое пособие для учителей

математики, ТОИПКРО, 2002

ВВЕДЕНИЕ В УЕ 1.4.

Цели изучения:

Ознакомиться с понятием квадратного уравнения с параметром;

разобраться, что значит «решить квадратное уравнение с параметром»?

Что вы должны знать и уметь перед началом изучения модуля:

достаточно знать понятие квадратного уравнения;

знать основные свойства решения квадратных уравнений;

уметь применять основные свойства решения квадратных уравнений;

В результате изучения данного модуля Вы будете знать:

определение квадратного уравнения с параметром;

о типичных заданиях квадратного уравнения с параметром;

решение квадратного уравнения требует исследования параметра;

необычную форму записи ответа.

Ход изучения

Прочитайте теоретическую часть КЕ 1.4.

По ходу изучения отвечайте на вопросы (самоконтроль):

Объясните, какое уравнение называют квадратным уравнением с параметром?

Что значит решить квадратное уравнение с параметром?

С какой целью исследуют формулу дискриминанта квадратного уравнения?

При каком условии квадратное уравнение имеет два положительных корня; два отрицательных корня; корни с разными знаками?

Рассмотрите примеры (практическая часть).

Выполните контрольные задания по учебной единице 1.4.

Вид контроля: письменные ответы.

ответы отправлять по e-mail Stepanova3060@gmail.com

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ УЕ 1.4.

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Квадратное уравнение – уравнение вида ах² + вх +с = 0, где а, в, снекоторые числа.; в уравнении числа а, в, с называются коэффициентами.

Квадратное уравнение с параметром –уравнение вида ах² + вх +с = 0, где а, в, с некоторые числа и один из них (коэффициентов) заменено какой-нибудьбуквой.

Решить квадратное уравнение с параметром – это значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Решение квадратного уравнения с параметром –это множество всех значений переменной при любом допустимом значении параметра.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ УЕ 1.4.

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Уравнение вида ах² + вх +с = 0, где а, в, с некоторые числа называется квадратным уравнением. В уравнении числа а, в, с называютсякоэффициентами, а – первый коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный коэффициент.

Например:

3х² + 5х – 7 = 0 а = 3 в = 5 с = – 7

Уравнение вида ах² + вх +с = 0, где а, в, с некоторые числа и один из них (коэффициентов) заменено какой-нибудьбуквой называется квадратным уравнением с параметром.

Например:

(3 – а)х² – 8х + 3 = 0 а = 3 – а в = – 8 с = 3

Решить квадратное уравнение с параметром – это значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два разных решения, два одинаковых корня, т.е. одно решение, может не иметь корней.

Количество корней квадратного зависит от дискриминанта, которое вычисляется по формуле

Д = в² – 4ас. Если D > 0, то уравнение имеет два решения;

если D = 0, то уравнение имеет один корень;

если D < 0, то уравнение не имеет решения.

Решения квадратного уравнения находят по формуле

Решение квадратного уравнения с параметром–это множество всех значений переменной при любом допустимом значении параметра.

При решении квадратных уравнений необходимо использовать следующие сведения.

Если а > 0, D > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых зависят от знаков коэффициентов квадратного уравнения.

а) если в < 0, с > 0 оба корня положительны
б) если в > 0, с > 0 оба корня отрицательны
в) еслив < 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Положителен тот корень, который имеет больший модуль.
г) если в > 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Отрицателен тот корень, который имеет больший модуль.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ УЕ 1.4.

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение

аx (аx + 3) + 6 = x (аx – 6) является:

а) квадратным
б) неполным квадратным
в) линейным

решение:

Раскроем скобки и преобразуем к виду а²x² + 3 аx + 6 =аx² – 6x

Перенесём все члены правой части в левую часть а²x² – аx² + 3 аx + 6x + 6 = 0

Найдём подобные слагаемые и перепишем квадратное уравнение а (а – 1)x² + 3 (а + 2)x + 6 = 0

а) уравнение квадратное, если старший коэффициент а 0

а (а – 1)0
а 0, а 1

т.е. уравнение квадратное при всех а, кроме 0 и 1

б) неполное квадратное, если b = 0; если с = 0; если b = 0 и с = 0.

3 (а + 2) = 0 а = – 2

в) линейное, если коэффициент при x² равен 0. значит а (а – 2) = 0, а = 0; 2

Ответ:

при а 0; 2 уравнение квадратное
при а= – 2 неполное квадратное
при а = 0; 2 линейное.

Пример 2. Решить уравнение x² –вx + 4 = 0 а = 1 в = – в с = 4

Решение:

а = 1 в = – в с = 4

D = в² – 16. Теперь исследуем дискриминант Д. то есть рассмотрим 3 случая: D > 0, Д = 0, Д < 0

а) если > 4, т.е. в < – 4 и b > 4 значит , то D >0 и уравнение имеет 2 корня

б) если в² = 4, т.е. в = ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень

в) если в² < 4, т.е. – 4 < b < 4, то D < 0 и уравнение корней не имеет.

Ответ: если в < – 4 и b > 4, то 2 корня

если в = ± 4, то 1 корень
если – 4 < в< 4, то корней нет.

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение ах² – х +3 = 0 имеет единственное решение?

Решение:

Исследуем первый коэффициент перед переменной х², равный а и рассмотрим два случая.

1 случай. Пусть коэффициент а = 0. При этом значении параметра а уравнение принимает вид

– х + 3 = 0, откуда х = 3, то есть единственное решение.

2 случай. Пусть коэффициент . Тогда . ах² – х +3 = 0 является квадратным уравнением. Вычислим дискриминант Д, Д = 1 – 12а. Для того, чтобы уравнение имело единственное

решение, нужно использовать условие Д = 0.

1 – 12а = 0 откуда

Ответ: при или а = 0.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение

(а – 2)х² + (4 – 2а)х +3 = 0 имеет единственное решение?

Решение:

При решении так же исследуем первый коэффициент а – 2, который равен нулю и не равен нулю.

а – 2 = 0,. значит а = 2. При подстановке числа в уравнение получим выражение , упростим и получим 3 = 0. Значит уравнение не имеет решения, так как .

, значит . Тогда уравнение является квадратным. Теперь вычислим дискриминант и приравняем его нулю.

Получили квадратное уравнение с переменной а, которое вновь решим относительно а.

4(а² – 7а +10) = 0

Пример 5. Найдите все значения параметра а, для которых уравнениех² – 2(а – 1)х + (2а +1) = 0 имеет два положительных корня?

решение:

первый коэффициент равен 1; второй коэффициент равен – 2(а – 1); свободный коэффициент равен 2а +1

Используем свойство квадратного уравнения: квадратное уравнение имеет два положительных корня, если в > 0, с > 0 и Д > 0

Значит: для второго коэффициента, должно выполняться условие:

– 2(а – 1) > 0

для свободного коэффициента должно выполняться условие: 2а +1 > 0;

для дискриминанта Д = (– 2(а – 1))² – 4(2а +1) = 4а² – 8а +4 – 8а – 4 > 0, упростим Д = 4а² – 16а > 0

Решим эти три неравенства и получим

Ответ: при а > 2 уравнение имеет два положительных решения.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ УЕ 1.4.

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Квадратное уравнение с параметром.

Что значить решить квадратное уравнение с параметром.

Для чего нужно исследовать дискриминант, параметр?

Знаки корней квадратного уравнения.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ УЕ 1.4.

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

При каких значениях параметра а уравнение не имеет решения

х² – 4х + а = 0?

При каких значениях параметра а уравнение

а²х + 2 = 4х + а (2а – 1)х² + 2х – 1 = 0 имеет два различных корня?

При каких значениях параметра а уравнение

3х² + 6х + 2а = 0 имеет одно решение?

При каких значениях параметра а уравнение

3х² + 6х + 2а = 0 имеет корни, противоположные по знаку?

ответы отправлять по e-mail Stepanova3060@gmail.com

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА УЕ 1.4.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ

Справочник по математике” В.А. Гусев, А.Г. Мордкович

Учебник “Алгебра” с углублённым изучением математики Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков.

“Задачи с параметрами” Горнштейн П.И. и др. – М., Илекса, 2002;

“Задачи с параметрами” Домбровская Т.В. методическое пособие для учителей математики, ТОИКРО, 2002

ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ

Итоговый контроль

1. Решите уравнение (а + 1)х = 1.

2. Решите неравенство, где а параметр

5х – а > ах – 3

3. Найдите все значения параметра а, при которых квадратное уравнение имеет два различных корня.

3х² – 2х + а = 0

4. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет корней

5х² – 6ах – 1 = 0

5. При каких значениях параметра а, уравнение

х² – (2а – 6)х + 3а + 9 = 0

имеет корни разных знаков?

6. При каком значении параметра а уравнение а²х + 2 = 4х +а имеет бесконечно много корней?

ответы отправьте по e-mail Stepanova3060@gmail.com

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ

Книга двух авторов

Гусев, В.А. Справочник по математике. – 3-е изд., перераб. [Текст] : учебник для школьников / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. – М. : Просвещение, 1995. – 448 с.

Книга четырёх и более авторов

Алгебра: Для 8 класса. [Текст]: Учебн. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, А. Н. Виленкин, Г. С. Сурвилло и др.; Под ред. Н. Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1995. – 256 с.: ил. – ISBN 5-09-005116-Х.

Книга трёх авторов

Алгебра. 9 кл. [Текст]: Учебн. для шк. и кл. с углубл. Изуч. Математики / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К. И. Нешков. - 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2006. – 439 с.:ил.

ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ

www.1september.ru

www.math.ru

http://schools.texhno.ru

Презентация «Квадратные уравнения» [электронный ресурс]: офиц.сайт / Институт дистанционного образования Томского государственного университета Томский государственный университет
© 2004–2010 ИДО ТГУ- режим доступа http://ido.tsu.ru/

Уравнения с параметрами [Электронный ресурс] : Персональный сайт / учителя математики Поляковой Елены Александровны

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Гимназия № 22 города Белгорода»

©-Режим доступа http://polyakova.ucoz.ru/load/4-1-0-7

Решение уравнений с параметрами [Электронный ресурс] : Персональный сайт / учителя математики Белова И.Р.

Государственное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №1179

ГОУ СОШ №1179

©-Режим доступа http://www.1179.ru/hands/npk/param.htm

.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/186966-zadachi-s-parametrom-v-shkolnom-kurse-matemat