Методическая разработка по подготовке к итоговой аттестации по теме: «Теория вероятности»

Отдел образования муниципального района

Стерлитамакский район Республики Башкортостан

Методическая разработка по подготовке к итоговой аттестации по теме:

«Теория вероятности»

Пояснительная записка.

Теория вероятности при решении задач ЕГЭ всегда вызывает затруднение.

Целями моей работы являются: повторение теоретического материала; систематизация задач по группам; подробное решение задач по теории вероятности.

Разработка предназначена для учащихся при подготовке к ЕГЭ.

В разработке есть два занятия в соответствии со степенью трудности: простые, средней трудности. Первое занятие можно проводить при подготовке к базовому уровню. Второе занятие - для подготовки к профильному уровню. На каждом занятии излагается теория, решаются задачи с подробным разнообразным решением. Эти разработки можно использовать на уроках в конце года или на консультациях. При составлении разработки использованы задачи из книг под редакцией И.В.Ященко «Математика ЕГЭ. «Базовый уровень» и «Математика ЕГЭ. Профильный уровень»,материалов сайта «Решу ЕГЭ».

Занятие 1.

Теоретическая часть.

Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти во время наблюдения или испытания.

Пусть при проведении испытания возможныnразнообразных исходов. При бросании монеты число всех исходов равно двум, т.к. кроме выпадения «решки или орла» других исходов быть не может. При бросании игрального кубика возможно шесть исходов т. к. на гранях содержатся точки от одного до шести.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему числу разновозможных исходов

Р(А) =

Пусть событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании кубика. Всего возможно шесть исходов: выпадение на верхней грани 1, 2, 3, 4, 5, 6. Благоприятным для этого события являются исходы с выпадением чисел 2, 4, 6.

Р(А) = = 0,5

Вероятность любого события не может быть больше 1.

События А и Б называются противоположными друг другу, если любой исход благоприятен для одного из них. При бросании кубика событие « выпало нечетное число» является противоположным событию «выпало четное число».

Событие, противоположное событию А, обозначается.

Р (А) + Р( )=1

Задачи с подробным решением.

Задачи о выборе объектов

Задача 1.В чемпионате участвуют 24 команды. С помощью жребия их нужно разделить на 4 группы по 6 команд. В ящике лежат карточки с номерами 1, 2, 3, 4 (всего 24 штуки). Капитаны тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе?

Решение:

Всего 24 карточки. Благоприятных исходов 6. Вероятность 6:24=0.25.

Ответ: 0.25

Задача 2. В олимпиаде по физике 300 участников разместили по трем аудиториям. В первых двух разместили по 120 человек, оставшихся перевели в аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик писал олимпиаду в запасной аудитории?

Решение:

300-2×120=60 человек в третьей аудитории. Вероятность 60÷300= 0.2.

Ответ: 0.2

Задача 3. В урне 14 красных, 9 желтых, 7 зеленых шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что шар будет желтый?

Решение:

Всего шаров: 14 +9+7=30.

Число исходов, благоприятных для данного события, равно 9.

Вероятность 9÷30= 0.3

Ответ: 0.3

Задача 4. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет четной и больше 5?

Решение:

Исходом является нажатие определенной клавиши, всего 10 разновозможных исходов. Благоприятными являются исходы, означающие нажатие клавиш 6 или 8.

Вероятность равна 2÷10= 0.2

Ответ: 0.2

Задача 5. Из 20 билетов, предлагаемых на экзамене, в 13 из них встречается вопрос о производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете школьнику не попадется вопрос о производной?

Решение:

Вопрос по производной не встречается в 20-13=7 билетах. Благоприятных событий 7. Вероятность 7÷20= 0.35

Ответ: 0.35

Задача 6. В чемпионате по прыжкам с шестом выступают 30 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Швейцарии, 7 прыгунов из Мексики, 17 из России. Порядок выступления определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что 13 будет выступать прыгун из Швеции?

Решение:

Всего 30 спортсменов, у них равные права выступать 13. Имеются 30 разновероятных исходов. Из Швеции было 6 прыгунов. Искомая вероятность равна 6÷30=0,2

Ответ: 0.2

Задача 7. Из 1000 собранных кофемолок 7 штук браковых. Эксперт проверят наугад выбранную кофемолку из этой 1000. Какова вероятность, что проверяемая кофемолка окажется браковой?

Решение:

При выборе кофемолки возможны 1000 исходов, событию А «выбранная кофемолка браковая» благоприятны 7 исходов. Вероятность равна 7÷1000=0,007

Ответ: 0,007

Задача 8. Завод происходит холодильники. В среднем на 100 качественных приходится 15 со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный холодильник окажется качественным. Результат округлите до сотых.

Решение:

Общее число исходов равно 100+15=115 (общее число холодильников). Искомая вероятность 100÷15≈0, 87

Ответ: 0, 87

Задача 9. В группе туристов 24 человека. Их вертолетом в несколько приемов забрасывают в труднодоступный район по 3 человека. Порядок, в котором вертолет перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Н., полетит вторым рейсом?

Решение:

Найдем сколько запланировано полетов 24÷3=8 рейсов. Всего равновозможных событий 8. Благоприятствуют указанному событию1. Вероятность 1÷ 8=0,125

Ответ: 0,125

Задача 10. Футбольную секцию посещают 33 человека. Среди них 2 брата - Антон и Дмитрий. Посещающих секцию разделили на 3 команды по 11 человек. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в одной команде?

Решение:

Поместим Антона на случайно выбранное место из свободных 33. Теперь на свободное место поместим Дмитрия. Всего 32 свободных места, поэтому возможно 32 исхода. В одной команде с Антоном будет 10 свободных мест. Благоприятствуют 10 исходов. Вероятность равна 10 ÷32= 0,3125.

Ответ:0,3125

Задачи о подбрасывании монет.

Задача11. Симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз?

Решение:

Введем обозначение Р(решка) и О (орел). Исход ОР означает, что при первом броске выпадает орел, а при втором – решка. Возможны исходы: РР, РО, ОР, ОО. Благоприятствуют событию « решка выпадет ровно один раз» 2 исхода: РО и ОР.

Вероятность равна 2÷4=0,5

Ответ: 0,5

Задача 12. Симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза?

Решение:

Всего возможно 8 исходов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО

Благоприятствуют событию «орел выпадет ровно 2 раза» 3 исхода: РОО, ОРО, ООР. Вероятность 3÷8=0,375

Ответ: 0.375

Задача 13. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить какая из команд начнет игру. Команда «Изумруд» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Изумруд» выиграет жребий ровно один раз.

Решение:

Пусть выпадение решки означает выигрыш жребия «Изумруд». Возможны исходы РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Благоприятствуют событию « решка выпадет ровно один раз» 3 исхода: ОРО, РОО, ООР. Вероятность равна 3÷8=0,375

Ответ: 0, 375

Задачи о бросках кубика.

Задача14. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Исходом будем считать пару чисел: очки, выпавшие на первой и второй игральной кости. Всего 36 разновозможных исходов. Событию « в сумме выпадет 7» благоприятствуют следующие и сходы: 1-7, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1. Их количество равно 6. Искомая вероятность 6÷36≈0, 17

Ответ: 0,17

Задача 15. Одновременно бросают 3 кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

Решение:

Исходом будем считать тройку чисел: очки, выпавшие на первом, втором и третьем кубике. Всего имеется 6×6×6=216 исходов. Событию « в сумме выпадет 5» благоприятствуют следующие исходы: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1. Их количество равно 6. Вероятность 6÷216≈0,03

Ответ: 0,03

Занятие 2.

Теоретический материал.

Для решения этих задач необходимы формулы вероятности для объединения несовместных событий и пересечение независимых событий. Поэтому повторим теоретический материал. Два события А и В называются несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию А, так и событию В.

Пусть событие С означает, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Тогда С называется объединением событий ( сумма событий).

С=А В.

Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий А и В. Р(А В)=Р(А)+Р(В).

Два события А и В называются независимыми , если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.

Рассмотрим пример. Пусть в урне находятся 2 черных и 2 белых шара. Из урны извлекают наугад один шар. Затем извлекают еще один шар. Обозначим через А событие « первый извлеченный шар белый», а через В-«второй извлеченный шар черный».Тогда событие А и В являются зависимыми. Если событие А произошло, то в урне из 3 оставшихся шаров 2 черных.

Р(В)= . Если же событие А не произошло, то в урне из 3 оставшихся шаров один черный и Р(В)=.

Если событие С означает, что произошло как событие А. так и В, то С называют пересечением событий А и В ( произведением событий).

С=А Частотой события А называется отношение , гдеn- общее число испытаний, m- число появлений события А.

Задачи об объединении событий.

Задача 16.Вероятность того, что на тестировании по математике ученик П. верно решил более 12 задач, равна 0,7.Вероятность того, что П. верно решил более 11 задач 0,79. Найдите вероятность того что П. верно решил ровно 12 задач.

Решение.

Событие А-«учащийся решит 12 задач».Событие В-«учащийся решит более 12 задач».Их сумма –событие А+В- «учащийся более 11задач решит».События А и В несовместимы. Вероятность их суммы равна сумме вероятностей.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Используя данные получаем: 0,79=Р(А)+0,7

Р (А)=0,79-0,7=0,09

Ответ:0,09.

Задача 17.Вероятность того, что новая кофемолка прослужит более года, равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит 2 лет,равна0,81. Найдите вероятность того. Что она прослужит меньше 2 лет, но больше года.

Решение.

А- событие «кофемолка прослужит больше года, но меньше 2 лет».В- событие «кофемолка прослужит более 2 лет». События А и В несовместимы. Объединением событий А и В является событие А В « кофемолка прослужит больше года».

Р(А В)=0.93

Р(В)=0,81

Р(А В=Р(А)+Р(В)

Р(А)=Р(А В)-Р(В)=0,93- 0,81=0,12.

Ответ:0,12.

Задача 18.Из райцентра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше25 пассажиров, равна 0,91. Вероятность того, что окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,39. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 18 до 24.

Решение.

А -событие « в автобусе меньше 18 пассажиров».В- событие « в автобусе от 18 до 24 пассажиров». А В- событие « в автобусе меньше 25 пассажиров»

Р(А ,события А и В несовместимы.

Р(А Р(А)+Р(В)

0,91=0,39+Р(В)

Р(В)=0,91-0,39=0,52.

Ответ:0,52.

Задачи о пересечении независимых событий.

Задача 19.Вмагазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6.Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.

Решение.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей. Вероятность того ,что все три продавца будут заняты равна 0,6

Ответ:0,216.

Задача 20.Вероятностьтого, что новый проигрыватель в течении года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных проигрывателей в течении года в гарантийную мастерскую поступило 51 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе.

Решение.

Частота события « гарантийный ремонт» равна 51 1000= 0,051.

Она отличается от предсказанной вероятности на 0,051-0,045=0,006.

Ответ:0,006.

Задача 21 .Если шахматист А., играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. А если играет черными, то А, выигрывает у Б. с вероятность 0,32.Шахматисты играют 2 партии, причем во 2 партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того что А., выиграет оба раза.

Решение.

События выиграть белыми и черными фигурами независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

0.5 0.32=0,16.

Ответ:0,16.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/192324-metodicheskaja-razrabotka-po-podgotovke-k-ito