Научная работа «Аликвотные дроби»

Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся

«Шаги в науку»

Направление: математика

Аликвотные дроби

Габдушева София Руслановна

ГБОУ СОШ № 3 г. Новокуйбышевска,

7 класс

Научный руководитель: Муравлева Т.Ю.,

учитель математики ГБОУ СОШ №3

г. Новокуйбышевска

г. Обнинск, 2016 учебный год

Содержание

Введение …………………………………………………………3
2. Глава 1 Аликвотные дроби
1.1. Происхождение аликвотных дробей.……………………….4
1.2 Основные операции над аликвотными дробями……………..6

3. Глава 2 Решение задач на применение аликвотных дробей…8
2.1 Решение задач
2.2Решение олимпиадных задач ………………………….………9
2.3Авторская задача ………………………………………………9
4. Заключение………………………………………………………10
5.Литература……………….……………………………………….11

1.Введение

Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.

Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – – так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot – «несколько»).

 Единичные дроби встречаются в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках. Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: .

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби. Сумма такого типа использовалась математиками, как определение, для дробей начиная со времён древнего Египта до средневековья.

Задачи с использованием в решении аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего, задачи, в которых требуется разделить какие либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Объект исследования: аликвотные дроби

Предмет исследования: основные операции с аликвотными дробями

Цель исследования: изучить аликвотные дроби .

Задачи исследования:

1) узнать происхождение аликвотных дробей.

2) рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.

3) решить олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

Методы исследования: библиографии, анализа.

Практическая значимость исследования: с помощью аликвотных дробей можно решать сложные олимпиадные задачи.

Работа состоит из введения ,2 глав, заключения и литературы. В введении дано понятие аликвотной дроби, сформулированы гипотеза, объект, предмет, цель и задачи, исследования.

В первой главе рассмотрено произведение дробей, основные операции над аликвотными дробями.

Во второй главе показано практическое применение дробей, а также решена авторская задача.

В заключении сформулированы выводы исследования.

2. Глава 1 .Аликвотные дроби

2.1. Происхождение аликвотных дробей.

Тема «Аликвотные дроби» является интересной темой для исследования дробей. Столкнувшись с этим термином впервые, понимаешь, почему в Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби.

Итак, Египтяне все дроби записывали как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например: 8/15=1/3+1/5. Дроби 1/n  ( где n - натуральные число ), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными ( от латинского aliguot- " несколько'').  То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1. И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например,

1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20

Египтяне ставили иероглиф «Глаз Хора»

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить «хекат», основную меру объёма в Древнем Египте, т.е.аликвотные дроби нужны были египтянам в практических целях.

Рассмотрим такую задачу: ,,Разделить 7 хлебов между 8 людьми.,,   Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так: 7/8= 1/2 +1/4 +1/8. Значит, каждому человеку дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков . К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой(позиционная система исчисления)

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «LiberAbaci» - это

вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.⁵

2.2 Основные операции над аликвотными дробями

Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301.Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.

Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:²

1/n=(1/(n+1)) +(1/n(n+1))

Примеры разложения дробей:

1/3=1/(3+1)+1/3(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8(8+1)=1/9+ 1/72.

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

1/(n(n+1))=1/n -1/(n+1)

1/6=1/(23)=1/2 -1/3

½=1/(12)=1/1 -1/2

Т.е. аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых являются последовательные числа равна их произведению.

Вернемся к формуле и докажем это равенство:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n(n+1))

(1/(n+1)) +(1/n(n+1)) , приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

( n+1 )/((n+1)n) после сокращения получаем:

1/n.

Итак, получается, что 1/n=1/n. Наша формула верна.

Но мы пойдем дальше, и на основании разности аликвотных дробей решим, на первый взгляд, трудноразрешимую для обычного человека задачу:

1/2+1/(23)+1/(34)+1/(45)+…….+1/(1920) =????

Воспользуемся нашей формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности:

½=1/(12)=1/1 -1/2

1/6=1/(23)=1/2-1/3

1/12=1/(34)=1/3-1/4

1/20=1/(45)=1/4-1/5 и т.д.

Подставив, уже разложенные выражения в наш пример, получаем:

1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5……..+1/19-1/19-1/20=1/1-1/20=19/20.

Мы представили формулу, как удобство при разложении аликвотной дроби на 2 слагаемых. При разложении 1 на два слагаемых получается:

1=1/2+1/2 (Наша формула действует!). Чтобы разложить 1 на 3 слагаемых, мы возьмем одну аликвотную дробь и по формуле разложим ее еще на две аликвотные дроби:

½=1/3+1/6 =½=1/3+1/6 => 1=1/2+1/3+1/6;

Чтобы разделить на 4 слагаемых, делим еще одну дробь на две аликвотные дроби:

1/3=1/4+1/12 => 1=1/2+1/4+1/12+1/6;

На 5 слагаемых: 1/6=1/7+1/42 => 1=1/2+1/4+1/12+1/7+1/42.

Глава 2 .Решение задач на применение аликвотных дробей

Задача 1.Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей³

А) трех слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

Б) четырех слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

B) 5-и слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=

1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12) +1/7+1/42=

1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

Задача 2. .Митя обнаружил, что 1/n часть класса написала работу лучше него,⁵ а 1/(n-1) часть класса – хуже него. Сколько учеников в классе?

Решение.

Если 1/n написало лучше, а 1/(n-1) хуже. В идеале никто не написал работу также как и он, но с таким же результатом могло быть и большее количество учеников.

За нескольких сказать ничего не могу, а за одного: Мы можем взять число всех учеников классе за 1. И тогда получается, что мы должны разложить число 1 на 3-и аликвотные дроби.

1=1/n+1/(n-1)+1/x

1/x=1/n(n-1) тогда получается что в классе n(n-1) учеников.

1=1/(n-1)+1/n+1/(n(n-1))

Методом подбора мы видим что 1 раскладывается на аликвотные дроби только следующим образом :

1=1/2+1/2=1/2+1/3+1/6 во всех других случаях мы не сможем получить из суммы других аликвотных дробей 1.

Так что, в случае , если он один написал работу с таким результатом, можно утверждать, что в классе 6 человек.

А если таких учеников было несколько, то задача имеет множество решений.

1/x=(n(n-1)-n –n+1)/(n(n-1))

Задача 3.

В одном классе обучается меньше чем 50 учащихся. На Тверской улице проживает учащихся этого класса, на Петровке - , на Малой Бронной - и на Большой Дмитровке – остальные ученики. Сколько учеников проживает на Большой Дмитровке.

Задача 4.

В первый день я отпил стакана черного кофе и долил стакан молоком, потом отпил еще стакана и снова долил его молоком, после чего отпил еще стакана. Во второй – я сначала отпил стакана и долил стакан молоком, затем отпил еще стакана, долив стакан снова молоком, после чего отпил еще стакана. В каком случае я выпил кофе больше?

3.3 Авторская задача

1.Найди сумму

1/(1011)+1/(1112)+…+1/(9899)+1/(99100)=?

Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму

1/(12)+1/(23)+…+1/(9899)+1/(99100)=99/100

И вычесть из нее сумму

1/(12)+1/(23)+…+1/(89)+1/(910)=9/10

99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0.09

2 .Найти сумму и выбери ответ:

1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90=

1, b) 10/11, c) 4/5, d) 8/9, e) 9/10

1/(12)+1/(23)+1/(34)+1/(56)+1/(67)+1/(78)+1/(89)+1/(910) =9/10

Ответ e)

3.2 Решение олимпиадных задач

Чтобы узнать в каком году в Казани будет проводиться Универсиада нужно² сумму аликвотных дробей

1/(12)+1/(23)+1/(34)+…+1/(20132014) умножить на год проведения зимних олимпийских игр в городе Сочи.

Решение :

1/(12)+1/(23)+1/(34)+…+1/(20132014)=2013/2014

2013/2014 2014 = 2013

Ответ : Универсиада будет проводиться в 2013 году.

Заключение.

Таким образом, при разработке данной темы, я узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Выяснила, что каждое рациональное число вида a/b может быть разложено на единичные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, я пришла к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести , разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел истории математики.

Литература:

1. Баженов И.И., Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 1994.

2. Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.

3. Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА,2007.

4. Петерсон Л. Г. Математика. 5класс. – М.:Ювента, 2009.

5. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.

6. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/200427-nauchnaja-rabota-alikvotnye-drobi