Курс лекций по дисциплине Математика для студентов II курса, обучающихся по специальности Механизация сельского хозяйства

Министерство образования, науки и молодежной политики

Краснодарского края

ГБПОУ КК «Колледж Ейский»

КУРС ЛЕКЦИЙ

по дисциплине Математика

для студентовII курса, обучающихся

по специальности Механизация сельского хозяйства

Ейск, 2016

Настоящий курс лекций по дисциплине Математика состоит из четырех разделов: Аналитическая геометрия, Теория пределов функции, Дифференциальное исчисление, Интегральное исчисление, содержащие теоретический материал, формулы для расчетов, примеры задач и упражнения для самостоятельного закрепления материала. В конце каждого раздела

зачетная работа по данным темам.

Разработчик:

ГБПОУ КК «Колледж Ейский» преподаватель Л.С.Черных

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)

Содержание

Р А З Д Е Л I

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Тема 1. Вектор. Действия над векторами, заданными длиной и направлениями

Величины, которые полностью определяются своими численными значениями, называются скалярными.

Например: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение определяются не только своими числовыми значениями, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор – это направленный отрезок. Вектор обозначается двумя способами.

1) 2)

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.

Действия над векторами

I. Сложение векторов

1. Правило треугольника

Возьмем произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и :

2. Правило параллелограмма

Построим сумму векторов и .

Возьмем произвольную точку О и построим вектора и . Достроим до параллелограмма. Диагональ выходящая из т.О называется суммой векторов.

3. Правило многоугольника

Это правило используется для построения суммы более чем двух векторов. Все вектора откладываются друг за другом.

Построим .

Возьмем произвольную точку О и построим вектор. От точки А отложим вектор , … ,. Вектор , соединяющий начало первого с концом последнего, называется суммой векторов, т.е. .

II. Разность векторов

Построим разность векторов и . Возьмем произвольную точку О и построим вектора и . Вектор , соединяющий конец второго с концом первого вектора .

A

В

O

III. Умножение вектора на число

Умножение вектора на число , есть вектор , длина которого равна , а направление совпадает с направлением, если , и противоположно направлен , если .

Построить .

.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на

-ых прямых и их направление либо совпадает, либо противоположно направлены.

IV. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух ненулевых векторов и - это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

.

.

.

Задача №1

Дано:

..

Построить

.

1.

B

Задача №2

Дано:

.

Построить

Упражнения

№1. Дано:

.

построить

№2. Дано:

.

построить

№3. Дано:

.

построить

№4. Дано:

построить

№5. Дано:

построить

№6. Дано:

построить

№7. Дано:

построить

№8. Дано:

построить

№9. Дано: .

Найти , если угол между векторами и равен:

а) 45⁰; б) 60⁰; в) 120⁰; г) 180⁰.

№10. Дано: .

Найти:

а) ; б) ; в) .

№11.Возьмите два произвольных вектора и , построить

1) ; б) ; 3) ; 4) .

№12.В параллелограмме ABCD:

; . О – точка пересечения диагоналей.

Выразите вектора ,,, через и .

№13.Даны векторы, и , причем ,,,

.

Найти:

1) ;

2) .

№14.Вычислите:

1) ;

2) .

Тема 2. Проекция вектора на ось. Координаты вектора.

Действия над векторами с заданными координатами.

Проекцией вектора на ось называется направленный отрезок оси, начало которого есть проекция начала вектора и конец – проекция его конца.

В D

А

C

А₁ В₁ D₁ C₁

Длина этого направленного отрезка берется со знаком «+», если направление отрезка и оси совпадают, и со знаком «–», если их направления противоположны,

т.е.

Проекция вектора на ось равна длине этого вектора умноженной на косинус угла между осью и вектором .

y₂-y₁

x₂-x₁

У

В

у₂

у₁

А

х₁ х₂ Х

.

Вывод: Координаты вектора это проекции вектора соответствующие

оси координат.

Если начало вектора совпадает с началом координат,

то вектор называется радиус-вектором.

Базис плоскости – это два неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке.

O,; ; .

Аналогично, базис пространства:

O,; ; .

– разложение вектора по базису

Задача

Дано: ;

;

.

Найти: 1) координаты вектора ;

2) длину вектора ;

3) скалярное произведение векторов .

Решение

1)

+

+

_______________________________________________________

.

2) Чтобы найти длину вектора , нужно сначало найти координаты этого вектора:

+

___________________

.

3) Чтобы вычислить скалярное произведение векторов, нужно найти их координаты:

–

__________________

.

Задача №2

Дано: ;

;

;

.

Найти:

длину вектора ;

угол между векторами и .

Решение

1) ;

.

2) $

$

; 4

;

;

;

.

Упражнения

№1. Найти угол между векторами и .

№2. Доказать, что с вершинами , и равнобедренный и прямоугольный.

№3. Найти длину вектора , если и .

№4. При каких значениях векторы и коллинеарны ?

№5. Определить при каких значениях вектора и взаимно перпендикулярны?

№6. Даны вершины , и . Определить его внутренние углы.

№7. Дано: ;

;

.

Найти:

1. координаты вектора ;

2. длину вектора ;

3. скалярное произведение векторов 4

4. угол между векторами и .

№8. Дано: ;

;

.

Найти: 1. координаты вектора ;

2. длину вектора ;

3. скалярное произведение векторов и

4. угол между векторами и .

№9. Дано: ;

.

Найти:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

№10. Найти скалярное произведение векторов и , и угол между ними:

1) ; 2) ;

2) ; 2) .

№11. При каких значениях вектора и взаимоперпендикулярны?

№12. Найти координаты вектора Б коллинеарного вектора , если :

1) ; ;

2) ; .

№13. Дан треугольник с вершинами , и .

Доказать , что угол тупой.

Зачетная работа

по теме «Вектор. Действия над векторами»

Дано: 2..Дано:

Найти: Найти:

; ;

; ;

.

3. Дано: ;

;

Найти:

длину вектора ;

координаты вектора ;

скалярное произведение векторов .

Р А З Д Е Л II

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ

Тема 1. Предел функции в точке. Теорема о пределах

Дана функция , ,

;

при условии выполняется условие т.е. – уменьшается – уменьшается.

Определение: Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого существует такое , что для всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Обозначим ;

.

Рис. 1. Геометрическая иллюстрация предела функции

Основные теоремы о пределах

Теорема 1.Предел суммы (разности) функций

равен сумме (разности) их пределов

.

Например: .

Следствие: функция может иметь только один предел при .

Теорема 2. Предел произведения двух функций

равен произведению их пределов

.

Например: .

Следствие:

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Например: .

Предел степени с натуральным показателем равен

той же степени предела.

;

.

Теорема 3. Предел отношения, равен отношению пределов

при условии, что предел знаменателя отличен от нуля.

.

1).

Таким образом, для вычисления предела многочлена при достаточно вместо переменной подставить значение , к которому она стремиться, и выполнить соответствующие действия, т.е.

2) .

3) Рассмотрим решения пределов, когда предел знаменателя дроби обращается в ноль.

.

При постановке «2» вместо переменной в числителе и в знаменателе дроби получается ноль. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида . Чтобы решить предел такого вида нужно числитель и знаменатель разложить на множители.

.

.

4)

Чтобы решить предел такого вида необходимо избавиться от неопределенности, для этого числитель и знаменатель умножают на выражение, сопряженное знаменателю, т.е.

.

5) .

Упражнения

1. ; 13. ;

2. ; 14. ;

3. ; 15. ;

4. ; 16. ;

5. ; 17. ;

6. ; 18. ;

7. ; 19. ;

8. ; 20. ;

9. ; 21. ;

10. ; 22. ;

11. ; 23. ;

12. ; 24. ;

25. ; 29. ;

26. ; 30. ;

27. ; 31. ;

28. ; 32. .

Тема 2. Бесконечные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие пределы

df: Функция называется бесконечно малой при , если .

Например:

1) - бесконечно малая функция

2)

- бесконечно малая функция

df: Функция называется бесконечно большой при если для любого числа найдется такое , что при имеет место

;

.

Например,

– бесконечно большая функция

Предел вида называется бесконечным пределом.

; ; .

Например

1) ;

2) ;

3) ;

Чтобы решить предел такого вида нужно избавиться от неопределенности . Для этого и числитель и знаменатель необходимо разделить на в наивысшей степени знаменателя .

.

.

.

Упражнения

№1. ; №2. ;

№3. ; №4.;

№5. ; №6. ;

№7. ; №8. ;

№9. ; №10. ;

№11. ; №12. ;

№13. ; №14. ;

№15. ; №16. ;

№17. ; №18. ;

№19. ; №20. .

Тема 3. Замечательные пределы. Применение их при вычислении пределов

I. При вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

называемый первым замечательным пределов.

Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.

1) .

2) .

3)

4)

5)

6)

II.Второй замечательный предел

1)

2) .

3)

Упражнения

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. .

Дополнительно

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. .

Зачетная работа

по теме «Предел функции»

1. ;

2. ;

3.

4. ;

5. ;

6. .

Р А З Д Е Л III

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Тема 1. Понятие производной функции в точке.

Формулы производных

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук.

Определение:Производная функции в точке называется

предел отношения приращения функции к приращению

аргумента, при приращении аргумента

стремящегося к нулю.

.

Обозначение:

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Физический смысл:

.

Геометрический смысл:

– угловой коэффициент касательной, проведенной

к графику функции в точке касания ;

– уравнение касательной;

– угловой коэффициент нормали к графику функции;

– уравнение нормали.

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называетсянормалью к кривой.

Формулы дифференцирования

Основные правила

1. ;

2. ;

3. ;

4.

Рассмотрим примеры.

Точка движется по закону .

Найти скорость в момент времени .

Решение:

.

Составить уравнение касательной и уравнение нормали, проведенных к графику функции в точке .

Решение

Уравнение касательной: ;

Уравнение нормали: .

;

;

.

Уравнение касательной

;

.

Уравнение нормали:

;

.

Упражнения

№1. Найдите производные следующих функций.

а); к) ;

б); л) ;

в); м) ;

г); н) ;

д); 0) ;

е); п) ;

ж); р) ;

з); с) .

и);

№2.Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке .

а) ;

б) ;

в) .

№3. Точка движется по закону . Найдите значение скорости в момент времени .

Тема 2. Нахождение производных сложных функций

- сложная функция.

- сложная функция.

Производная сложной функции вычисляется по формуле .

Например:

;

;

;

;

;

;

.

Упражнения

№1. Найдите производные следующих функций:

1) ; 8) ;

2) ; 9)

3) ; 10) ;

4) ; 11) ;

5) ; 12) ;

6) ; 13) ;

7) ; 14) ;

15) ; 21) ;

16) ; 22) ;

17) ; 23)

18) ; 24)

19) ; 25) .

20) ;

Тема 3. Дифференциал функции и его нахождение

Пусть функция , где дифференцируема в некоторой точке , т.е. функция имеет производную в этой точке

бесконечно малая величина,

при

- главная часть приращения функции, которая называется дифференциалом функции и обозначается: .

.

Определение :Дифференциал функции – величина равная произведению производной этой функции на дифференциал аргумента .

Например:

;

;

Например:

Найти приближенное функции в точке .

Решение

используем формулу

;

4;

;

;

;

;

;

если .

Формулы для приближенных вычислений

1) ;

2) ;

3) .

Например

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Упражнения

№1. Найти дифференциал следующих функций:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) .

№2. Вычислить приближенное значение функции:

1) ;

2) ;

3) .

№3. Вычислите приближенное значение следующих выражений:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) .

Тема 4. Наибольшее и наименьшее значение функции

на промежутке. Задачи на максимум и минимум

Рассмотрим функцию.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной в некотором промежутке , необходимо:

Найти производную.

Приравнять производную к нулю, т.е. найти критические точки.

Найти значение функции на концах промежутка и в критических точках, принадлежащих данному промежутку.

Выбрать наибольшее и наименьшее значение функции на данном промежутке.

Например:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на промежутке .

1.

2. ;

;

;

.

3. ;

;

;

;

.

.

Рассмотрим задачу

Из квадратного листа жести со стороной 36 м надо изготовить ящик, открытый сверху с квадратным основанием наибольшего объема. Найти этот объем.

Обозначим за длину стороны вырезаемого квадрата, тогда сторона основания будет равна . Следовательно, объем будет вычисляться по формуле .

Т.к. в основании ящика квадрат, тогда , а

.

1.

.

2. ;

;

;

.

; .

Упражнения

№1. Найдите наибольшее и наименьшее значение следующих функций на заданных промежутках:

1. ;

2. ;

3. .

№2. Сумма двух положительных чисел равна 5. Каковы эти числа, если сумма их кубов является наименьшей.

№3. Сумма основания и высоты треугольника равна 12 см. Каким должно быть основание треугольника, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

№4. Из шара радиусаR выточить цилиндр наибольшего объема. Найдите размеры этого цилиндра.

№5. Произведение двух положительных чисел равно 16. Чему равны эти числа, если их сумма наименьшая.

№6. Из листа картона 80 х50 см, требуется изготовить коробку открытую сверху наибольшей вместимости. Найти объем коробки.

№7. На какой высоте надо повесить фонарь над центром круглой площадки радиуса 20 см, чтобы площадка была максимально освещена у границы. Ъ

№8. Из всех прямоугольников данного периметра 60 см, найти тот, у которого площадь наибольшая.

Зачетная работа по теме

«Дифференциальное исчисление»

№1. Проволокой длиной 100 м нужно оградить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Установить размеры площадки.

№2. Вычислить:

; ; .

№3. Найдите дифференциал следующих функций:

; ;

Р А З Д Е Л IV

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Тема 1. Первообразная. Неопределенный интеграл

и его свойства

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: нахождение функции по ее производной. Искомую функцию называют первообразной функции .

Определение: функция называетсяпервообразной функции

в промежутке , если в любой точке этого промежутка

выполняется равенство: .

Например:

, .

Определение: Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначают .

- подынтегральное выражение;

- переменная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов от функций.

Таблица основных интегралов

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

Рассмотрим метод непосредственного интегрирования, который основан на прямом использовании таблицы интегралов.

Упражнения

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ;

12. ; 13. ; 14. ;

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. ;

26. ; 27. ;

28. ; 29. ; 30. .

Тема 2. Нахождение неопределенного интеграла

методом подстановки

.

.

.

.

Упражнения

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ;

12. ; 13. ; 14. ;

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. .

Тема 3. Интегрирование по частям

Интегрирование по частям сводится к использованию равенства

.

Есть несколько типов интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

1. ; ; .

- многочлен; - число.

; ; .

2. ; ;

; ; .

; ; ;

; .

.

3. ; ; - числа;

; ;

.

Например:

1. .

2.

3.

.

.

.

Упражнения

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20. .

Тема 4. Определенный интеграл и его свойства

Пусть функцияявляется первообразной для функции в некотором промежутке, а числа и принадлежат в этом промежутке.

Определение

Приращение первообразной функции при изменении аргумента от до называется определенным интегралом от до функции и обозначается

.

Свойства определенного интеграла:

1. ; - число;

2. ;

3. ;

4. , ;

5. .

Например:

Упражнения

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ;

20. ;

Тема 5. Нахождение определенного интеграла

методом подстановки и по частям

Метод подстановки

1 способ

2 способ

.

Метод интегрирования по частям

Упражнения

I Метод подстановки

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20. ; 21. ;

22. ; 23. ; 24. ;

25. ; 26. ; 27. ;

28. ; 29. ; 30. .

II Метод интегрирования по частям

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. .

Зачетная работа по теме

«Определенный и неопределенный интеграл»

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/205827-kurs-lekcij-po-discipline-matematika-dlja-stu