Координатно-векторный подход в стереометрии

Пояснительная записка.

Метод координат в курсе геометрии (как планиметрии так и стереометрии) является альтернативным подходом к решению геометрических задач. Кроме того некоторые приемы метода координат используются при решении задач повышенной сложности в школьном курсе алгебры._­Часто одну и ту же задачу можно решить как классическим методом основанным на аксиомах теоремах и свойствах фигур, так и при помощи "координатно-векторного подхода".

Метод координат хорош тем, что не требует постоянных отсылок на свойства, теоремы и аксиомы, которые приходится постоянно приводить в виде цепочки логических высказываний в тексте решения задачи, а также не требует навыков построения сечений. При использовании данного метода достаточно лишь поместить геометрическое тело в систему координат, и отталкиваясь лишь от свойств данного тела выполнить расчетную часть. Изучение метода координат является неотделимой частью школьного курса геометрии, так как его можно успешно применять при решении большого числа сложных стереометрических задач, в том числе, задач Единого Государственного экзамена (задание №14). А так как, эти задания - повышенной сложности, то они приносят учащимся хорошие баллы при сдаче ЕГЭ.

По этому необходимо обучить учащегося владеть всеми приемами координатно-векторного подхода, и уметь быстро выбрать оптимальный метод решения задачи после ознакомления с ее условием. Кроме того он должен уметь правильно разместить геометрическое тело в системе координат, для того чтоб максимально облегчить себе расчетную часть.

Для достижения этих целей, а также для привлечения внимания учащихся к непривычному для них подходу хорошо дать возможность сравнить решение одной и той же задачи двумя разными, совершенно не похожими друг на друга способами. Ведь часто даже известные задачи старых конкурсных экзаменов или математических олимпиад, имеют решения в которых порой разобраться очень сложно. Но многие из них имеют и альтернативное решение, в котором на смену многостраничным описаниям построения сечения и теоретического обоснования приходит несколько формул, в результате грамотного использования которых получается абсолютно верное решение не требующее подробного объяснения и не требовательное к чертежу. Конечно такой метод решения задач особенно востребован у учащихся проявляющих повышенный интерес к математике и выбравших ее своим профильным предметом. Кроме того позволяет сохранить балл при сдаче ЕГЭ и избежать ошибок в теоретической части решения задачи 14. Например, для того, чтоб доказать что

точка принадлежит плоскости достаточно написать уравнение данной плоскости и подставить в него координаты точки, вместо того, чтоб строить сечения, несколько раз доказывать подобие и отталкиваться от соотношений отрезков или геометрических аксиом.

Конечно и здесь есть некоторые сложности, метод координат как глава стереометрии имеет достаточно тяжелое и непривычное для учащихся теоретическое обоснование без которого понимание основных формул и правил данного курса невозможно. Обычно вывод всех понятий и формул необходимых учащемуся (а без вывода данный курс не имеет особого смысла) занимает 6-10 академических часа с небольшими отступлениями на примеры использования пройденного материала и небольшими проверочными работами. Зато после успешного усвоения материала и овладения новыми приемами некоторые самые трудные темы геометрии (такие как "двухгранный угол", "расстояние от точки до плоскости" и "угол между прямой и плоскостью") обретают новый приятный и легкий со всех точек зрения подход.

Для того чтоб учащиеся проявляли интерес к изучению метода координат в пространстве сложные задачи с которыми они сталкивались на протяжении 10-11 класса в домашних работах, в дополнительных материалах для подготовки к ЕГЭ, в работах СТАТГРАД начинают разбираться новыми способами по мере освоения материала. Также проводится анализ условия задачи в котором выясняется является ли использование метода координат рациональным.

Программа по геометрии по которой ведется обучение в профильных классах составлена на основе базисного плана для общеобразовательных классов (3 часа в неделю, всего 102 часа), соответствует стандартам среднего (полного) общего образования и требованиям к уровню математической подготовки уч-ся. Рабочая программа  разработана на основе:авторской программы и УМК Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и др.,. Данной теме по программе отведено 26 учебных часов, но в ходе подготовки к ЕГЭ на уроках семинарах по решению задач, на элективных курсах и дополнительных занятиях при разборе сложных задач, так же заданий в которых стандартные приемы решения перестают работать мы так или иначе возращаемся к методу координат.

Целью данной методической разработки является создание конспекта элективного занятия посвященных координатно-векторному подходу, привлечения внимания учащихся к новому для них методу решения задач, выбору верного подхода к решению задачи и стремления применять метод координат самостоятельно в повседневной школьной геометрии в том числе на диагностических и итоговых испытаниях.

Конспект занятия 1

Продожительность: 2 занятия по 45 минут с перерывом в 10 минут.

Тема занятия: Решение стереометрических задач с помощью метода координат.

Тип занятия: Обобщение и систематизация знаний.

Цели занятия:

1. Практикум по нахождению расстояний и углов в пространстве с помощью метода координат. Освоить доказательство принадлежности точки к плоскости. Используя учебные конспекты и справочные таблицы в учебнике решить задачи на каждый из случаев, в качестве примеров берутся актуальные задания с ближних СТАТГРАДов, олимпиад и пробников ЕГЭ .

2. Через решение задач на нахождение расстояний и углов в пространстве двумя способами (геометрический и метод координат ) сделать вывод о преимуществе метода координат для решения ряда задач этого блока.

3. Расширить представление о применении метода координат в решении стереометрических задач на построение сечения.

Форма организации работы:

1. Работа по группам (2 человека), у каждого карточка с заданием.

План занятий :

1. Постановка целей урока. Организация хода урока.(2 мин.)

2. Разбор решения домашних задач на нахождение расстояний между точками, точкой и плоскостью в прямоугольном параллелепипеде геометрическим методом. (Работа в группах)(3 мин.)

3. Мотивирование решения домашних заданий методом координат. Решение задач в группах координатным методом с последующим обсуждением в классе и формирование выводов о преимуществах того или иного метода.(7 мин.)

4. Обобщение видов задач на определение расстояний и углов в пространстве и способов (алгоритмов) их нахождения методом координат через постановку вопросов к домашним задачам. Систематизация теоретических знаний через использование учебных конспектов и справочных таблиц в учебнике, вспоминаем формулы, и построение уравнения плоскости(10 мин.).

5. Использование метода координат в конкретной ситуации: решение задачи по материалам ЕГЭ параллельно методами координат и геометрическим. (23мин.)

6. Перемена.

7. Расширение представлений о возможностях метода координат через задачу о сечении прямоугольного параллелепипеда плоскостью, без построения плоскости этого сечения, нахождение двугранного угла. (20 мин).

8. Самостоятельная работа по решению задач подобных разобранным (24 мин).

9. Формулирование домашнего задания(1 мин.).

Заключение

Метод координат является необходимой составляющей при изучении геометрии в школе. Этот метод позволяет упростить процесс и сократить ход решения задачи, помогает учащимся при сдаче ЕГЭ, а, в дальнейшем, и при изучении математики в высших учебных заведениях.

Можно сделать вывод, что цель работы достигнута - доказано, что метод координат:

- учащиеся приняли метод как эффективное средство по решению сложных стереометрических задач;

- является одним из основных методов при решении задач;

- имеет больше достоинств, чем недостатков;

- дает учащимся эффективный способ решения задач и доказательств:

- показывает тесную связь алгебры и геометрии;

-способствует развитию вычислительной и графической культуры учащихся.

Литература

1. А.А Гусак Справочник по высшей математике / А.А Гусак, Г.М.Гусак, Е.А. Бричикова. – 9-е изд. – Минск: ТеатрСистема, 2009. - 640с.

2. Л.С.Атанасян Геометрия: Учеб.для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б Кадомцев и др. - 13-е изд. – М.:Просвещение, 2012– 255с.

3. Погорелов А. В. Геометрия 10-11 кл. / Погорелов А. В. - M:Просвещение 2005. – 324.

4. A.Д.Александров Геометрия / A.Д.Александров, А.Л. Вернер, В.И.Рыжик – М:Просвещение, 1999. – 271с.

5. И.М.Смирнова Геометрия / И.М.Смирнова, В.Ф.Смирнов – М,2012. – 201с.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/208347-koordinatno-vektornyj-podhod-v-stereometrii