Квадратные корни и действительные числа

12²

13²

14²

15²

16²

17²

18²

19²

20²

25²

11²

1²

10²

7²

8²

9²

4²

1²

3²

2²

10²

ІV. Історичні відомості.

Видатний внесок в математику Піфагора пов'язаний з виключно важливою проблемою. Це було відкриття того факту, що цілих чисел 1, 2, 3 ... недостатньо для математичних побудов навіть в таких примітивних формах, які були відомі у той час. Це здалося йому принизливим і жахливим, оскільки раніше він з переконаністю пророка проповідував, що всю природу, весь всесвіт, все на світі можна звести до дискретного набору цілих чисел і тлумачити в термінах цілих чисел. Одна єдина математична суперечність миттєво зруйнувала дискретну філософію, математику і метафізику Піфагора. Але, не в приклад іншим ученим, він врешті-решт визнав свою поразку — після тривалої відчайдушної боротьби проти відкриття, яке заперечувало символ його віри.

Ось що завдало страшного удару теорії Піфагора: неможливо знайти два таких цілих числа, щоб квадрат одного з них був удвічі більше квадрата іншого. Це можна довести за допомогою надзвичайних простих міркувань, доступних будь-якому, хто вивчав алгебру хоч би декілька тижнів (Нехай а² = 2b². Без обмеження спільності можна припустити, що цілі числа а і b не мають спільних дільників, окрім одиниці (якби вони існували, можна було б провести скорочення). Якщо а— непарне число, ми відразу ж приходимо до суперечності, оскільки 2b² парно. Якщо а парно і рівне 2с, тоді 4с² = 2b², або 2с² = b², так що і b повинне бути парним, звідки витікає, що а і b мають загального дільника 2, а це суперечить припущенню ).

Піфагор дійсно знайшов камінь спотикання в геометрії: відношення сторони квадрата до його діагоналі не може виражатися у вигляді відношення двох цілих чисел. Це твердження еквівалентне тільки що приведеному твердженню про квадрати цілих чисел. Вживаючи іншу мову, ми можемо сказати, що корінь квадратний з числа 2 ірраціональний, тобто не є ні цілим числом, ні відношенням двох цілих чисел. Так, навіть просте геометричне поняття діагоналі квадрата підірвала могутність чисел 1, 2, 3 ... і перекинуло філософію Піфагора. Ми легко можемо побудувати діагональ геометрично, але ми не зможемо зміряти її за допомогою кінцевого числа кроків. Ця неможливість неминуче приводить до появи ірраціональних чисел і нескінченних процесів в математиці

Про квадратні корені

Здавна поряд із знаходженням площі квадрата за відо­мою довжиною його сторони доводилось розв’язувати і обернену задачу: «Якою мав бути сторона квадрата, щоб його площа дорівнювала а?» Таку задачу вміли розв'язу­вати ще 4 тис. років тому вавілонські вчені. Вони складали таблиці квадратів чисел і квадратних коренів з чисел.

В
авілоняни використовували метод наближеного добу­вання квадратного кореня, який полягав ось в чому. Нехай а— якесь число (мається на увазі натуральне число), що не є повним квадратом. Подамо ау вигляді суми b²+ с²десдосить мале порівняно з b². Тоді

Наприклад, коли а=112, то √112= √10²+12≈10 + 12/20 = 10,6. Перевірка показує, що 10,6²= 112,36.

Зазначений метод добування квадратного кореня до­кладно описав старогрецький вчений Герон Александрійський (І ст. н. є.).

В епоху Відродження європейські математики познача­ли корінь латинським словом Radix(корінь), а потім ско­рочено буквою R(звідси пішов термін «радикал», яким прийнято називати знак кореня). Деякі німецькі математи­киXVст. для позначення квадратного кореня користува­лись точкою. Цю точку ставили перед числом, з якого по­трібно добути корінь. Пізніше замість точки почали ставити ромбик ♦, згодом знак Vі над виразом, з якого добу­вається корінь, проводили риску. Потім знак V і риску почали з'єднувати. Такі записи трапляються в «Геометрії» Декарта і «Загальній арифметиці» Ньютона. Сучасний за­пис кореня з'явився в книзі «Посібник алгебри» французь­кого математика М. Ролля (1652—1719).

V. Фронтальне опитування.

Кожна відповідь оцінюється 1 МАТ.

1. Які числа ви знаєте. Наведіть приклади.

[ Цілі, дробові, натуральні, додатні, від’ємні, раціональні, ірраціональні]

2. Які числа називаються цілими. Якою буквою позначається множина цілих чисел?

[Z]

3. Які числа називаються раціональними. Якою буквою позначається множина цих чисел?

[Раціональні числа – це цілі і дробові, додатні і від’ємні числа, це число, що можна подати у вигляді частки двох чисел. Q ]

4. В якому вигляді можна подати кожне раціональне число?

[Будь-яке раціональне число можна подати у вигляді нескінченого періодичного десяткового дробу ]

5. Чи існують числа, відмінні від раціональних. А коли є – як вони називаються?

[Число, що можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного дробу називаються ірраціональними.]

6. Які числа називаються дійсними? Якою буквою позначається множина дійсних чисел?

[Дійсні числа – це множина раціональних і ірраціональних чисел разом. R]

7. Про яку множину дійсних чисел ми ще не згадали? Якою буквою її позначають. Чи має ця множина найменше число? А найбільше?

[Множина натуральних чисел.N]

На дошці вивішується схема.

VІ. Актуалізація опорних знань.

Учням пропонується «пробігтися сходами», кожна команда-ряд – зі своєї сторони. Третя команда –ряд виконує в цей час завдання на аркуші: вправа «Зроби сам і передай іншому».

На дошці.

На аркуші:

√4

√225

√25 * 36

√81/100

√2 14/25

√(-19)²

√6²3⁴

VІІ. Робота в групах: «Кольорові кульки».

Кожній крупі пропонується набір завдань у вигляді кольорових кульок. Кожному кольору відповідає певна буква. Необхідно якомога швидше розв’язати завдання та розташувати кульки у порядку зростання відповідей. Потім кожній кульці поставити у відповідність букву і прочитати слово. Завдання закінчується в той момент, коли якась команда розв’язує свій приклад. За 1 правильну відповідь 1 МАТ

Завдання:

VІІІ. Весела хвилинка.

1. У кожному з чотирьох кутів кімнати сидить кіт. Проти кожного ота сидять три коти. Скільки всього котів в кімнаті?

2. У клітці сидять три кролі. Троє дівчаток попросили дати їм по одному кролю. Прохання їх задовольнили, кожній дали кроля. Та однак у клітці залишився один кріль. Як це могло статися?

3. Двоє пішли – п’ять грибів знайшли. Четверо підуть – чи багато знайдуть?

4. Уяви собі, що ти машиніст паровоза, що веде состав з Києва до Москви. Всього в поїзді 13 вагонів. Обслуговує його бригада з 30 чоловік. Начальникові поїзда 46 років. Кочегар на 3 роки старший за машиніста. Скільки років машиністові поїзда?

З Києва до Москви вийшов пасажирський поїзд зі швидкістю 50 км/год. Одночасно з Москви до Києва вийшов швидкий поїзд зі швидкістю 60 км/год. Через 10 годин вони зустрілися. Який з цих поїздів буде далі від Москви в момент їх зустрічі.

ІХ. Аукціон задач.

Кожній групі пропонується набір задач різного рівня і відповідно вартості. Учні за бажанням обирають собі задачу. Задача може виконуватися як самостійно так і групою. Але якщо задача розв’язується колективно, то її вартість розподіляється між всіма учасниками. Учням потрібно за певний час заробити якомога більше грошей.

Перевірка завдання здійснюється самостійно за допомогою відповіді, що знаходиться в конверті.

Наприкінці роботи кожен учень підраховує кількість грошей, що він заробив протягом уроку.

Х. Підсумок уроку: «Знайди помилку».

Наш урок майже добіг кінця. Ми з вами багато повторили, розв’язали цікаві приклади. Але не всі учні вміють так старанно працювати, як в вашому класі. Ось вам витяг з роботи учня, який гадав, що корні бувають тільки у дерев. Поясніть які були допущені помилки. Це дасть вам можливість додатково заробити гроші.

√ (-15)² = -15.

√16+25= √16 + √ 25 = 4 + 5 = 9.

√(2 -√5)² = !2-√5! = 2-√5.

ХІ. Виставлення оцінок.

А тепер найприємніший момент. Починаються ринкові відносини. Зараз я відкриваю крамницю оцінок. Ви можете придбати за ваші гроші будь яку оцінку. Можливо у когось вистачить грошей на 12, а хтось захоче купити дві «6». Отож наш розпродаж починається. Ставайте до черги.

Учні купують оцінки у відповідності 1 бал = 1 МАТ.

Сертифікати на оцінки

3