Кубик Рубика, как средство развития пространственного мышления в математике!

Кубик Рубика, как средство развития пространственного мышления в математике!

На самом деле такая детская головоломка как кубик Рубика, изобретенная Эрнё Рубиком, может хорошо развить пространственное мышление и логику у учащихся. Особенно это пригодиться в математике, куда входит алгебра и геометрия.

Во-первых, хочу сначала рассказать немного о самом кубике Рубика. Хотя, лучше эти вопросы задать классу. Они очень простые, но требуют некоторых познаний в геометрии и математике 5 класса. Итак, сколько сторон (граней) у куба? Естественно, ответ хочется услышать шесть, а не четыре или восемь. Далее вопрос: сколько цветов на кубике Рубика? Тоже шесть, на каждой стороне куба свой цвет. Причем напротив белого – желтый, напротив красного – оранжевый, и напротив синего – зеленый. И когда зеленый сморит на нас, а желтый наверх, то справа должен быть оранжевый, а не красный.

П ри этих условиях кубик Рубика собран верно. Или, как можно выразиться, это его исходное правильное состояние. Следующий вопрос: сколько квадратиков одинакового цвета на грани кубика? Правильный ответ – девять. Девять квадратиков одного цвета: желтого, зеленого и т.д. А сколько всего квадратиков всех цветов в кубике? Тут дети могут призадуматься, но кто хорошо знает таблицу умножения ответит 54. Далее можно спросить, все ли кубики в кубе Рубика одинаковы? В большинстве случаев отвечают, что да. На самом деле куб состоит из разных деталек (кубиков), коих 26 (вместо 27 в центре находится механизм, который и скрепляет все кубики): с одной «наклейкой», с двумя и с тремя. С одной «наклейкой» – это центры кубика, которые никогда не вращаются. Они всегда стоят на своих местах, а остальные кубики вращаются вокруг них. Таким образом, мы всегда знаем, где какая сторона должна быть, как бы мы не перемешивали кубик. С двумя «наклейками» – это реберные кубики, которые находятся по краям в центрах, т.е. слева, справа, сверху и снизу от центров самого куба. И кубики с тремя «наклейками» – это угловые.

И последний вопрос с подвохом: чего больше, деталек (кубиков) или наклеек? Дети отвечают – одинаково (большинство). Но кто-то отвечает правильно, наклеек. Совершенно верно, ведь деталей 26, а наклеек 54. Так как у нас на одном кубике может быть от одной до трех наклеек.

И задача, которая нам предстоит – это собрать кубик Рубика, т.е. расставить все кубики по своим местам. Чтобы это сделать нужно знать определенный алгоритм сборки кубика. Есть разные вариации сборки, в зависимости от методики, но мы рассмотрим самый простой.

Собрать крест на кубике (любого цвета, но принято собирать белый). Причем собрать нужно ПРАВИЛЬНЫЙ крест, чтобы реберные кубики стояли правильно на своих местах. Если крест белый, то второй цвет на реберных кубиках должен совпадать с центрами соседних граней.

Собираем 1 и 2 слой, где верх 1 слоя – белый (если собирали белый крест)

Собираем желтый крест, если верх первого слоя белый. Если цвет другой, то цвет креста на 3 слое будет ему противоположный.

Далее, как собрали «желтый» крест на 3 слое, собираем всю желтую сторону, чтобы верх или низ (в зависимости как вы держите кубик, белой стороной вниз или вверх) состоял из 9 желтых квадратиков.

Собираем боковые стороны 3 слоя, чтобы они были одинаковых цветов: синего, зеленого, красного и оранжевого. После чего можно довращать этот слой, чтобы кубик собрался.

Итак, как вы видите, есть 5 основных этапов сборки кубика Рубика. А вот как выполнить эти этапы, чтобы получился искомый результат? Нужно правильно уметь перемещать кубики и знать некоторые комбинации, после которых кубики встают на нужные места. Стоп! Какие комбинации??? Формулы что ли??? Именно. Формулы. Без них кубик не соберешь. Причем, чтобы собрать кубик менее, чем за 30 секунд, нужно знать 119 различных формул! И уметь их применять в соответствии с расположением кубиков на данный момент. Ведь существует более 43 квинтиллионов (17 нулей) состояний кубика. Т.е. 43 квинтиллиона различных задач или примеров.

Вот так игрушка! Решать – не перерешать!

Итак, мы с вами подошли к тому, что сборка кубика Рубика – это решение/упрощение примера/выражения во много действий. И таких примеров более 43 квинтиллионов! Но, несмотря на это, кубик из любого состояния всегда может быть собран не более, чем за 20 ходов, считая за ход поворот одной грани на 90⁰ или 180⁰ градусов. Данное число, называется Числом Бога! И чтобы так быстро собрать кубик, нужно знать метод, например, Джессики Фридрих, который включает в себя 119 формул. Кубик также можно будет собрать и за меньшее число ходов.

Итак, перед нами с одной стороны разобранный кубик Рубика, а с другой - выражение во много действий:

18,5 + (-1,5a - 2,1a)*2 - (-2,1b*4,45b) + (1,8c:0,02c) - 2,1 - (8x - 1,3x) + 2x + у + (3,5у + 4,77у): , которое надо упростить.

Чтобы упросить данное выражение, нам нужно вспомнить алгоритм его решения. Какие действия выполняются в первую очередь, какие следом. Проводим аналогию с кубиком. Там в первую очередь собирается крест, причем правильный. Любого цвета. В примере, сначала выполняется действие в скобках. Если таковых несколько, то слева направо. Можно конечно и так как мы хотим, по нашим предпочтениям и знаниям. Но принято справа налево. В кубике принято собирать белый крест. Итак, выполняем действия в скобках:

-1,5а-2,1а = -3,6а (вспоминаем сложение и вычитание отрицательных чисел, а также видим, что это подобные. Выполняем действие с коэффициентами, а буква остается нетронутой. Если получился другой ответ, значит дети допустили ошибку)

-2,1b*4,45b = - 9,345(вспоминаем правило умножения десятичных дробей – не обращаем внимания на запятую, умножаем как натуральные числа, а в ответе сдвигаем запятую влево на столько знаков, сколько в сумме после запятых у исходных чисел. У нас получается три. Не забываем, что одна десятичная дробь отрицательная. И видим, что в данном случае b умножается на b, и дает b². В отличие от разности, где а никуда не исчезает, если следовать логике b*b, а-а)

1,8с:0,02с = 90 (вспоминаем правило деления десятичных дробей, в данном случае умножаем обе дроби на 100, и делим друг на друга два получившихся натуральных числа. Так же видим, что с делится на с, дает единицу. Поэтому проще сказать, что сокращается. Остается только ответ от деления двух десятичных дробей по правилу)

8x-1,3х = 6,7х (вспоминаем, как из натурального числа вычесть положительную десятичную дробь. Также видим подобные, выполняем действия только с коэффициентами, букву не трогаем)

3,5у+4,77у = 8,27у (вспоминаем правило сложения десятичных дробей – запятая под запятой, в недостающем разряде ставим 0 и складываем. Опять видим подобные. Букву не трогаем).

Итак, мы рассмотрели различные примеры, которые находились в скобках большого выражения. Это подобно сборке креста на кубике. Причем, правильного креста. Если вы собрали неправильный крест, то дальнейшая сборка у вас не получится. Если вы неправильно выполнили действия в скобках – правильного ответа у вас не будет. Но в отличии от кубика Рубика вы этого сразу и не узнаете. Если у вас есть правильный ответ к этому примеру, то сравнив ваш и тот, вы поймете, верный у вас результат или нет. Если нет, пойдете искать ошибку, проверяя каждое действие. В кубике ответ вы знаете заранее и стремитесь к нему – собранный куб, все квадратики одного цвета занимают свою грань. А в процессе сборки вы всегда можете отследить состояние куба и понять, правильно вы сделали ход или нет. Правильно ли применили ту или иную формулу, так как знаете, ЧТО должно получится после ее применения. В примере, выполняя каждое действие вы только надеетесь на правильность решения. Конечно, наши дети знают все правила на зубок, умеют ими пользоваться, но иногда даже самые умные допускают нелепые ошибки. И ответы расходятся.

Подобно упрощению выражения во много действий, дети собирают кубик Рубика. Они запомнили алгоритм сборки. Разобрались как вращать грани, чтобы квадратики перемещались так, как им надо. А это кстати, плюсик деткам по геометрии! Теперь они понимаем, как соединить 2 кубика находящихся на противоположных гранях. Умеют работать руками так, чтобы грани шли в верном направлении. Развивают мелкую моторику. Включают логику. Оценивают состояние куба после каждого движения и принимают верные решения.

Д алее после сборки правильного белого креста (выполнения всех действий в скобках справа налево с верным результатом), мы начинаем собирать 2 ряд. Да, именно. Второй. Углы в первом ряду соберем позже. Это равносильно тому, что сначала мы выполним умножение и деление в примере справа налево, а уж потом сложение и вычитание, хотя эти действия в нашем примере стоят левее, т.е. первее.

Чтобы поставить реберный кубик во 2 ряду в нужное место, нужно куб развернуть белым крестом вниз. Желтый центр будет наверху.

И вокруг него надо искать реберные кубики без желтого цвета.

Например, находим зелено-красный.

Зеленый наверху, красный смотрит на нас. Совмещаем зеленый верх и зеленый центр, путем кручения верхней грани. В результате получается следующее: зеленый верх, красный фронт и под ним зеленый центр. Смотрим, куда надо поставить этот кубик: направо или налево? Красный центр находится

слева от зеленого, поэтому кубик ставим налево. А как? Он же сверху, а нам надо его на 90 градусов налево повернуть, да так, чтобы белый крест не нарушился!

А легко: поднимаем левую грань от себя, сдвигаем верхнюю налево, опускаем левую грань на себя. ГОТОВО! Кубик стоит на своем месте. Если нам надо было поставить его направо, мы бы подняли правую грань от себя, сдвинули верх направо, а потом опустили бы правую грань на себя. Делаем тоже самое с 3-мя оставшимися реберными кубиками второго ряда.

А как обстоят дела с примером? А там умножение то перед скобкой, то после нее. И есть еще знаки «+» и «-». И еще значок корня! Ну что ж, приступим. Будем вспоминать, как и что делать.

-3,6а*2 = -7,2а (умножили первое значение в скобках на число. Сохранили знак минус.Оставили букву.) Ну вроде правильно. Сверяем с кубиком. Умножение после скобок – справа. Значит кубик перемещаем направо. Если пример решен верно, значит кубик встал на свое место правильно. Если мы минус потеряли, значит кубик встал в другое место, или оказался перевернутым цветами. Делаем все заново.

= 30 (умножаем число на значение в-третьих скобках. Вспоминаем правило умножения обыкновенной дроби на число. Применили. Получили ответ). А нам повезло, у второй скобочки не было числа ни справа, ни слева. А это значит, что данный кубик во 2 ряду стоял на своем месте. Это хорошо, экономим время на решение/сборку. А тут число слева, значит кубик ставим налево. Ой! Тут есть ж ёлтый цвет на кубике, на фронтальной стороне. Ну вот, этот кубик нам не подходит. Ладно, переходим к следующему. Без желтых квадратиков!

(6,7х) = -33,5х (а число-то не простое, вроде число, но не до конца число. Его еще и высчитать надо. Вспоминаем, как извлекается число из-под корня. Ура, получилось! Не забываем про минус! Ну и далее отрицательное число умножаем на значение в 4-ых скобках. В ответе Х сохранили. Молодцы).

А что же в кубике у нас? Плохо тут у нас. Кубики наверху кончились. Остались только с желтыми квадратиками. А нужные нам, уже стоят во 2 ряду, но не так повернутые. Их бы перевернуть, и рядочек соберется.

Н у что же, давайте наш кубик выводить из 2 ряда наверх (корень будем извлекать). Делаем обратное действие. Поднимаем сторону от себя (тут можно хоть левую, хоть правую, смотря как кубик держать), двигаем верх (в любую сторону) и опускаем нашу грань на себя. Ура, кубик вышел наверх. Ставим его так, чтобы верхний цвет совпадал с центром 2 ряда. Поставили. А фронтальный цвет совпадает

сцентром слева.

Двигаем налево. Умеем уже? Конечно. Сделали. Смотрим. Осталось поставить последний кубик на место точно также.

8,27у:)= -33,08у (А тут нам надо число разделить на отрицательную обыкновенную дробь. Причем число тоже дробь, но десятичная. Крутим свои извилины, как грани кубика Рубика в поисках нужного правила. Вуаля! Готово! Заменяем деление умножением, а дробь переворачиваем. Ну и минус сохраняем с буковкой). Ну а в кубике ставим последний реберный кубик во 2 ряд из третьего. Куда именно? Вправо. Верно! Применяем легкую комбинацию, которую уже знаем, и получаем готовый 2 ряд. А те, кто минус и буковку забыл, кубик перевернутый получил. А кто на 4 разделил, тот ничего не получил, кубик сильнее з амесил.

Никак

Справа

Слева

Справа

Никак

Чтобы связать это с нашим примером, мы выполним действия сложения и вычитания. Это будет означать, что мы правильно расставили боковые кубики в 3 ряду. Т.е. мы правильно нашли их расположение по отношению к 1 ряду. Т.е. в том же самом месте, только на 3 этаже, осталось нажать кнопку 1 этажа, и он спуститься вниз. Как только мы займем место в лифте на 3 этаже, мы применим формулу, одну из трех, и спустимся на 1 этаж.

18,5+(-7,2а) = 18,5-7,2а (тут мы вспомнили как раскрываются правильно скобки, произвели нужное действие. И чуть не получили 11,3а. Но вовремя увидели, что это не подобные! Оставляем как есть). Ну а в кубике мы столкнулись с моментом, когда не совпадают квадратики ни справа, ни слева (вариант «никак»). Применяем формулу номер 3, три раза подряд. И с 3 этажа спустились на первый.

3 0 - 2,1 = 27,9 (ну тут легко, вспомнили как из натурального числа вычесть положительную десятичную дробь. Но! Где же буква?) И опять попутали цвета. Взяли кубик с желтой наклейкой, а не белой. Не то. Идем искать нужный.

- 33,5x+2х=-31,5х (Вспомнили как сложить отрицательную десятичную дробь с натуральным числом, увидели подобные. Получили правильный ответ. В противном случае – уйдем не туда). Крутанули верхнюю грань с желтым центром, поставили нужный кубик на 3 этаж. Надо спустить на первый. Смотрим, как стоит. У нас совпали правые квадратики (число, которое прибавляли тоже было справа). Применяем 2-ую формулу для правых. Если формула выполнена верно, кубик оказался на своем месте. Тут уместно дать детям формулу суммы кубов. Если она будет решена верно, то кубик правильно спустился на 1 этаж. Если нет, то поломали кубик. Придется восстанавливать.

у+(-33,08у) = -32,08у (Вспомнили опять раскрытие скобок, и правильно произвели действие с отрицательными числами. Если неправильно, значит кубик уехал не туда. Также помним про подобные, если забыли, ушли не туда). Собирая кубик, мы могли перепутать опять цвета, например, синий и зеленый. Взять не тот кубик, и поставить на 3 этаж. Если же путаницы с цветами не было, значит в лифте на 3 этаже верный кубик. Как будем спускать вниз? У нас совпали левые квадратики (число было слева). Применяем первую формулу и спускаемся вниз. Приехали правильно? Да. Значит выполнили верно. Тут детям предлагается формула разности кубов.

На самом деле эти формулы очень похожи на сумму кубов и разность кубов. В зависимости от стороны совпадения цвета: слева (минус), справа (плюс) – мы в раскрытии формулы будем тоже ставить знаки в определенном порядке. А тут - крутить вправо или влево.

а³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) 

a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)

Смотрим на кубик и видим, что 2 слоя собрались! Как? Мы же только 3 кубика спустили на лифте?! Да, именно, три. Нам повезло, и один уже стоял на своем месте. Это заметно сократило нам время.

И мы переходим к 3 слою с желтым центром. Теперь осталось собрать только его. Но тут в кубике начинаются настоящие сложности. Существует 57 состояний 3 слоя, когда собраны два нижних. И если знать их все, то мы быстро соберем все 9 желтых квадратиков сверху. Да, п о бокам цвета будут не совпадать, но применив еще несколько формул соберутся и они. А соответственно и весь куб.

18,5-7,2а – (- 9,345 ) + 27-35,5х + (-32,08у) – по факту, мы упростили наш пример до этого состояния. А кубик наш почти собрали, целых 2 ряда.

И так, дальше нам надо на желтой стороне (стороне с желтым центром) – 3 ряде, собрать желтый крест. Просто желтый крест. Можно и правильный. Но он применяется в другой методике сборки. В нашей сойдет и простой желтый крест. В примере нам предстоит раскрыть скобки. Вот тут уже правильно, по правилу.

1 8,5-7,2а + 9,345+ 27-35,5х -32,08у - получили вот такой пример. Ну а в кубике собрали желтый крест, применив одну из формул. После чего, можно применить еще одну из нескольких формул, в зависимости от расположения других желтых клеточек, и собрать желтую грань.

Далее смотрим на боковые стороны, и в зависимости от их расположения применяем одну из двух формул. На самом деле формула, можно сказать, одна, но состоит из двух частей. И вот мы от расположения боковых кубиков 3 ряда применяем их либо в последовательности 1+2, либо, наоборот, 2+1.

- 1

-2

Смотрим на выражение (кубик), можно что-то упростить? Если да, то последовательность 1+2, если нет – то 2+1.

Унас можно. 18,5+27 = 45,5

Применив формулу 1+2 на кубике, мы получили, что все боковые стороны собрались. Но находятся не на своих местах. Но достаточно довернуть верхнюю грань, и они совпадут.

Кубик полностью собран!

А в выражении просто расставим слагаемые по порядку: -7,2а + 9,345-35,5х -32,08у +27

Таким образом мы упростили выражение и собрали кубик. Каждая буковка отвечает за цвет. Мы указали только четыре, пусть это будут красный, оранжевый, синий, зеленый. Желтый – натуральное число. Белый напротив него.

Подводим итоги. Видим, что сборка кубика почти ничем не отличается от примеров или выражений во много действий, которые надо либо вычислить, либо упростить. Причем в кубике расположение цветов после перемешивания всегда разное (кроме центров). И таких расположений, я повторюсь, более 43 квинтиллионов. Поэтому при сборке у вас всегда новая комбинация кубиков, которые надо расставить по своим местам. Выше я показал, на что всегда надо обращать внимание. Надо четко знать формулы для сборки некоторых частей кубика. Для начинающих, которые только хотят СОБРАТЬ куб достаточно всего 8 несложных формул. Не надо знать все 119, нужные для скоростной сборки кубика. Они пригодятся, если ученик займется всерьез сборкой кубика на время, такое увлечение называется спидкубингом. И мировой рекорд по сборке на данный момент — 4,904 сек. установил Лукас Эттер (США) 21 ноября 2015 года. Тут конечно, выпала простая комбинация из 43 квинтиллионов, которую Лукас быстро просчитал и собрал кубик, применяя нужный алгоритм к данной ситуации из того множества, что он знает. Но раз на раз не приходится, и кубик выдает более сложные задачки. Ну и плюс все зависит от самого кубика. Если он скоростной и фирмы: Dayan, MoYu, QJ, ShengShou, Fangshi, Cyclone boys, то тогда выучив основные 8 формул, можно собрать кубик за 1-2 минуты. Если же простой, купленный в ближайшем магазине за сущие копейки, то порадовать быстрым результатом он не сможет. 3-5 минут, в зависимости от сложности исходной комбинации и ваших манипуляций.

Так в чем же польза кубика Рубика на уроках математики? Я уже выше описал эти преимущества. Прежде всего он развивает мелкую моторику рук. Во-вторых, улучшает пространственное мышление. Помогает оценивать обстановку и быстро принимать не самое плохое решение. И самое главное память! Пока не выучишь формулы, кубик без подсказок не соберешь. Ну и основное, хоть выше уже и написал, применять эти формулы в нужный момент, т.е. знать в какой ситуации какую применить.

В школе дети знают много формул, но не всегда знают, когда какую использовать. Если ребенок начинает справляться с кубиком, то с формулами по математике тоже пойдут улучшения. Ну а у кого и без кубика все хорошо, научатся собирать кубик ради удовольствия. Ведь так иногда приятно слышать его урчание от вращения граней. Ну и конечно приятно решить саму головоломку, примерно также, как упростить выражение во много действий.

А если дети уже осилили кубик Рубика, хоть и не стали спидкуберами, но им хочется чего-то посложнее, то можно попробовать их силы в кубике 4х4 или 7х7. Есть кубик и 11х11. Да есть даже и не кубики, а пирамидки и змейки. Есть скваеры, скьюбы, мегаминксы и даже зеркальные кубы. Есть «кубики» в виде яблока, сердца. Есть додекаэдры. В общем огромное количество различных головоломок. И чтобы их решить нужно еще и огромное терпение, усидчивость и желание их собрать.

Пусть ваши дети собирают кубик Рубика, тем самым решая примеры и упрощая выражения. Развивают пространственное мышление, мелкую моторику и логику. И тогда им будет по плечу любая задача. А математика будет любимым предметом!

Автор: Нелюбин Александр Игоревич

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/209576-kubik-rubika-kak-sredstvo-razvitija-prostrans