Производная

Производная

Цель: познакомить учащихся с понятием производной функции, формулами производных функций y=x²,y=x³,y = kx+b.

Изучение нового материала.

Подготовительная работа.

1. Дана функция f(x) = x²

А). Вычислить: f(5),f(-3),f(0,5)

Б). Записать в виде многочлена: f(x-3),f(x+2),f(x-a),f(x+h).

2. Дана функция S(t) = 4t+1

А).Вычислить: S(2), S(4), S(5,5)

Б). Записать в виде многочлена разность:S(t+h) – S(t).

3. Точка, двигаясь вдоль прямой, проходит за время t от начала движения путь S(t) = 3t+2. Найти S(10),S(20),S(50). Найти среднюю скорость движения на отрезках времени: [10;20], [20;50], [10;50], [t;t+h].

Теоретическая часть.

Пусть точка движется вдоль прямой и за времяt от начала движения проходит путь S(t). Рассмотрим промежуток времени от t до t+h, где h – малое число. За это время точка прошла путь S(t+h) – S(t).

Средняя скорость движения точки υ_ср =

При уменьшении h это отношение приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью υ = lim_h→0.

Отношение можно рассматривать как приближенное значение мгновенной скорости υ(t).

Еслиh, уменьшаясь, стремится к нулю, то погрешность приближения становится сколь угодно малой, т.е. также стремится к нулю.

Например, если S(t) = 3t², то υ_ср = = 6t + 3h.

S(t+h) = 3(t+h)²

S(t+h) – S(t) = 3(t+h)² – 3t² = 3(t² + 2th + h²) – 3t² = 6th + 3h².

== 6t + 3h.

Если h → 0, то 6t + 3h → 6t, т.е.υ_ср→ υ(t) = 6t.

Алгоритм нахождения мгновенной скорости:

S(t) =

S(t+h) =

S(t+h) – S(t) = - = = =

= = = at +

υ(t) = lim_h→0 = lim_h→0 =at.

Отношение называется разностным отношением, а его предел при h→ 0 называется производной функции S(t) и обозначается S'(t).

S'(t) = lim_h→0.

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке, x – точка этого промежутка и число h ≠ 0 такое, что x+h также принадлежит данному промежутку.

Тогда предел разностного отношения при h→ 0 называется производной функции f(x) в точке x и обозначается f '(x)

f '(x) = lim_h→0.

Числоh, где h ≠ 0, может быть как положительное, так и отрицательное, при этом число x+h должно принадлежать промежутку, на котором определена функция f(x).

Если функция f(x) имеет производную в точке x, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция имеет производную на этом промежутке.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Практическая часть.

Найти производную функции f(x)= 3x+ 2, f(x)= 5x+ 7, f(x)=kx+b

Найти производную функции f(x)=x², f(x)=x³,f(x)= 3x²-5x,

f(x) = -3x² + 2

Домашнее задание.

Итог урока.

Как связаны между собой средняя и мгновенная скорость движения? Что называют производной функции и как ее обозначают? Какая функция называется дифференцируемой в точке?

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/21079-proizvodnaja