Урок алгебры,11 класс

Исследование функций.

Окружающий мир вокруг нас постоянно изменяется. Многие из этих изменений можно представить в виде графиков. А если есть график перед глазами и мы его умеем «читать», то с помощью исследования, возможно, спрогнозировать то или иное явление:

Повышение и понижение курса валюты,

Какие-то негативные изменения в погодных условиях,

Чтение и исследование графика подскажут, как помочь больному через заданный промежуток времени,

С помощью поведения графика можно спрогнозировать спрос на тот или иной товар.

Поэтому цель нашего урока, научиться делать вывод о поведении функции при определенных условиях. Для этого вы должны уметь, выстроив свойства функции в определенном порядке, строить график зависимости у(х),делать вывод о ее поведении на том или ином участке. Также вы должны знать такие понятия как D(у), Е (у), четность и нечетность функции и вид графика при этом, как находить асимптоты, экстремумы, интервалы монотонности функции.

На предыдущих уроках мы вместе с вами сконструировали алгоритм исследования функции. Он состоит из девяти пунктов. Выполнение каждого из них облегчает выполнение поставленной задачи – исследования графика функции. (Данный алгоритм представлен в форме презентации на тему «Алгоритм исследования графика функции», алгоритм исследования)

Поиск области определения функции.

Нахождение области значения функции (находится не всегда в начале исследования).

Исследование функции на четность и нечетность.

Нахождение точек пересечения с осями координат.

Поиск асимптот.

Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции.

Поиск интервалов выпуклости функции и точек перегиба.

Промежутки знакопостоянства функции.

Нахождение дополнительных точек, уточняющих график.

Исследование функции можно провести аналитически или по рисунку. Я предлагаю провести исследование функции (использовав алгоритм) по рисунку на доске.

y

y=f(x)

1

2

3

-1

0

x

Ответ дают учащиеся.

Область определения ,

Область значения ,

Функция не является ни четной, ни нечетной (график не симметричен относительно О_y и не симметричен относительно начала координат),

О (0;0) – единственная точка пересечения изображенного графика с осями координат,

х = -1 – вертикальная асимптота,

у = 0 – горизонтальная асимптота,

наклонных асимптот у графика функции нет,

Функция монотонно возрастает на и монотонно убывает на и на . В точке х= 2 функция достигает максимума.

Из поведения графика функции видно, х=3 – точка перегиба.

Интервал выпуклости вниз

Интервал выпуклости вверх

Функция отрицательна при

Функция положительна при

Далее я предлагаю учащимся провести исследование и построить график функции

.

Функция достаточно сложная, поэтому подготовительные этапы для построения функции на доске выполняются учащимися в группах. (Консультанты получили задания для каждой группы учащихся).

I группа. НаходитD(у), Е(у), определяет четность или

нечетность функции и точки пересечения с

осями координат (т.е. работает по пунктам 1-4

алгоритма «Исследование…»)

II группа Находит асимптоты (пункт 5 алгоритма

«Исследование…»)

III группа Находит экстремумы и интервалы

монотонности (пункт 6 алгоритма

«Исследование…»)

IV группа Работает над нахождением интервалов

выпуклости и точек перегиба

(Пункт 7 алгоритма)

V группа Работает над поиском промежутков

знакопостоянства и дополнительных точек.

После работы в группах, представитель каждой из них выходит к доске с результатами своей работы:

D(у) = (-∞; 1) υ (1;+∞)

Е(у) Область значения функции будет указана после построения графика.

Функция общего вида, т.е. не является ни четной, ни нечетной.

≠±y(х)

При х=0 у=1

При х=-1 у=0

(0;1) и (-1;0) – точки пересечения с осями координат.

После выступления учащегося из I группы на координатной плоскости остаются следующие результаты поиска.

y

x

х=1 вертикальная асимптота (точка х=1 – точка разрыва)

Поведение функции в бесконечности:

, поэтому горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонную асимптоту:

y=x+5 – наклонная асимптота

y

x

0

Поиск экстремумов и интервалов монотонности:

Найдем:

при или

не существует при

у^/(х) + + - +

у(х) -1 1 5 х

Однако критической точкой является только точка х₂= 5 (т.к. значение х = +1 не входит в область определения функции).

Поскольку при 1 ‹ х ‹ 5 у ^/ (х) ‹ 0,

а при х › 5 у ^/ (х) › 0,

то х=5 - точка минимума и у_min = у (5) = 13,5

На интервале (1 ; 5) – функция убывает,

На интервале (-∞; 1) и (5; +∞) – функция возрастает

y

x=1

y=x+5

x

Интервалы выпуклости и точки перегиба:

Очевидно, что › 0 на интервале (-1; 1), (1; +∞) и функция выпукла вниз на этом интервале,

< 0 на интервале (-∞; -1) и на этих интервалах функция выпукла вверх

у ^// - + -

у -1 1 х

у (-1) = 0, х = -1 точка перегиба.

Промежутки знакопостоянства функции.

у(х) отриц. положит. положит.

-1 1 х

Дополнительные точки

Подсчет значений функций в дополнительных точках, проверку правильного нахождения у ^/ (х) и

у ^// (х), пределов исследуемой функции учащиеся делали с помощью ЭВМ. После построения функции на доске предлагаю построить этот график в Excel и проверить себя и заполнить пункт 2 в алгоритме «Исследование…»

2 ) Е (у) = (-∞; +∞)

y

y=f(x)

y=x+5

0

x

x=1

График, построенный на доске, полностью совпадает с тем, которыe учащиеся построили в Excel.

Таким образом, результатом работы каждой группы, является правильно построенный график на доске.

После построения графика функции перед учащимися ставлю следующую задачу:

Сколько действительных корней имеет уравнение

при различных значениях а.

Решение поставленной задачи учащиеся сразу же предлагают графически.

Рассмотрев общие точки графиков

и у = а делаем вывод:

при a<13,5 – уравнение имеет один корень

при a=13,5 – уравнение имеет два корня, при а>13,5 – уравнение имеет три корня

y

x=1

y=f(x)

x

y=а

Естественно, что данному уроку предшествовала кропотливая работа с учащимися над темой «Исследование функций». И перед этим мы построили массу графиков и исследовали большое количество функций.

Подвожу итоги и благодарю за работу.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/211444-urok-algebry11-klass