Обобщения и систематизация знаний в обучении математике

Обобщения и систематизация знаний в обучении математике

МОУ «Каслинская СОШ №24»

Каслинского муниципального района

Фирсова Людмила Михайловна

Учитель математики

Уральский регион, Челябинская область, г. Касли

ВВЕДЕНИЕ

На современном этапе развития образования России в связи с переходом
общества к демократическому и правовому государству, к рыночной экономике,
меняются задачи и роль школьного математического образования. Основные
принципы образовательной политики России развивает концепция модернизации
российского образования на период до 2010 года. Осуществление модернизации
образования затрагивает задачи, цели, содержание и методы обучения.

Задачи образования определяются тем, что для поступательного движения
общества важным является формирование новых качеств личности, способной к
мировоззренческому выбору и компетентному профессиональному действию.
Целью современного образования становится воспитание личности, способной к
самоопределению, самообразованию и самовоспитанию. Поэтому поиск средств для
развития познавательных и творческих способностей в процессе обучения
математике является актуальным и обусловливает необходимость существенных
изменений в математической подготовке школьников.

Особое значение имеет в современной модели образования развитие личности
обучающегося. Одним из аспектов развития личности является развитие
мыслительной деятельности. Значительное место в мыслительном процессе
занимает обобщение и систематизация знаний.

Психолого-педагогическое значение обобщения и систематизации знаний
велико. Оно заключается в развитии логического мышления и творческих
способностей учащихся, в создании на уровне в их сознания целостной
научной картины мира, в формировании научного мировоззрения.

С. JI. Рубинштейн показал, что мышление внутренне связано с обобщениями -
оно совершается в них и ведет к обобщениям более высокого порядка. Поэтому
правомерно утверждение о том, что разные уровни мышления определяются
этапами обобщения познавательного материала.

Однако проблема обобщения знаний до последнего времени не занимала
центрального места в обучении, а являлась только элементом заключительного
повторения в конце учебного года и в выпускных классах. Такое положение
объясняется, в первую очередь, слишком узким пониманием целей обобщения и
систематизации знаний, что мешало включать его во все этапы обучения. Знания
представляют собой «мозаичную картину», интеграция этих знаний, формирование
мировоззрения носит стихийно-эмпирический характер, который для каждого
ученика индивидуален. Способность к обобщению у сильных учащихся может
формироваться стихийно, а у средних и слабых вообще отсутствовать.
В работах современных педагогов М. А. Есиповой, Ю. К. Бабанско-го, М. А.
Данилова, В. А. Каревой, М. Н. Скаткина, В. А. Онищука рассмотрены
дидактические основы обобщения и систематизации знаний.

В исследованиях Л. С. Выготского, В. В. Давыдова, А. Н. Леонтьева, Н. А.
Менчинской, Е. Н. Кабановой-Миллер, Ж. Пиаже, С. Л. Рубинштейна, А. А.
Смирнова, Д. Б. Эль конина и других дана основа понимания психофизической базы
обобщения как мыслительной операции.

Анализ научных работ свидетельствует о возрастающем интересе к указанной
проблеме. В них рассматриваются цели, задачи, учебно-воспитательное значение,

конкретные обобщающие уроки, методы и приемы учебной деятельности,
направленные на формирование обобщенных навыков, что, несомненно, имеет
большое значение в методическом обеспечении учителей массовой школы.

Теоретические подходы к проведению обобщения и систематизации знаний, к
отбору содержания учебного материала, к педагогической диагностике развития
мышления учащихся в этих публикациях не рассматривались.

То, что эти вопросы не разработаны с точки зрения теории отрицательно
сказывается на школьной практике, затрудняет управление процессом обобщения и
систематизации знаний учителем, а также приводит к существенным недостаткам:
низкому уровню сформированности умения обобщать знания, неполной реализации
воспитывающей и развивающей функции процесса обучения, перегрузке памяти,
отрицательному эмоциональному состоянию учащихся, их отрицательному
отношению к учению.

Актуальным является проведение всестороннего исследования, посвященного
проблемам методики преподавания математики, в частности усвоения
математических знаний посредством их обобщения и систематизации.
Противоречие, существующее между потребностью в научно-обоснованной
методике использования обобщения и систематизации знаний по математике и
фактическим состоянием этой методики, определило актуальность разработки
методических основ и обобщения имеющегося школьного опыта использования
обобщающего повторения в обучении
математике.

В работе учителя в школе преобладает стихийно-эмпирическое познание
проблемы обобщения и систематизации знаний в обучении, а научно-теоретическое
отстает или вовсе отсутствует, поэтому педагогическая наука должна дать учителю
методику обобщения знаний как элемента обучения, способствующего
преемственности знаний на каждой ступени учебного процесса.
Проблема исследования состоит в преодолении разрыва между объективно
назревшим требованием создать научно обоснованную методическую систему
обобщения и систематизации знаний и отсутствием этой теории в методике
преподавания математики в средней школе.

Объектом исследования является процесс обучения математике,
ориентированный на целостное развитие личности каждого ученика и на получение
учащимися прочного базового математического образования с учетом
индивидуальных особенностей каждого.

Предметом исследования является методическая система обобщения и
систематизации знаний в обучении математике как части методической системы
обучения этому предмету в школе.

Целью исследования является разработка теории и практики методики
обобщения и систематизации знаний по математике в средней школе, направленной
на целостное развитие личности каждого ученика и на получение учащимися
прочного базового математического образования в соответствии с
индивидуальными особенностями каждого.

Итак, предметом исследования взят целостный процесс обобщения и систематизации знаний в обучении математике, который образует сложную методическую систему.

Цель работы:

Обобщить свой опыт работы по данной теме, доказать эффективность процесса обобщения и систематизации знаний в обучении математике и использовать его в практике обучения в средней общеобразовательной школе.

Задачи:

1.Раскрыть сущность понятий «обобщение и систематизация знаний» с точки зрения обще дидактических и психологических теорий.

2.Определить роль и место обобщения и систематизации знаний в обучении и воспитании учащихся в процессе изучения математики в средней школе.

Опираясь на разработанную концепцию, спроектировать технологии обобщения и систематизации знаний учащихся по отдельным темам и курсам математики.

Теоретическое обоснование обобщения и систематизации знаний

Обобщение и систематизация - неотъемлемое свойство умственной деятельности, лежащее в основе установления существенных взаимосвязей между изучаемыми явлениями, и научного познания вообще. «Голова, наполненная отрывочными, бессвязными знаниями, писал К.Д.Ушинский, - похожа на кладовую, в которой все в беспорядке и где сам хозяин ничего не отыщет; голова, где только система без знания, похожа на лавку, в которой на всех ящиках есть надписи, а в ящиках пусто». Последовательное осуществление систематизации - необходимое условие формирования обобщённых знаний, творчески применяемых в различных ситуациях. Обобщение знаний, в свою очередь, естественным образом предполагает их систематизацию. Математика, как и всякая наука, представляя собой систему понятий и их отношений, имеет свою специфику. Н.К.Крупская подчёркивала, что «в математике требуется громадная систематичность: если выпадает хотя бы одно звено, то делается непонятным всё остальное. Следовательно, здесь особенно важны те приёмы, которые заставляют постепенно овладевать отдельными звеньями». Для школьного курса математики характерным является также то, что многие понятия не вводятся сразу в полном объёме и содержании. Содержание и объём таких понятий расширяются и обогащаются постепенно по мере развития курса. Достаточно вспомнить понятия числа, функциональной зависимости, геометрической фигуры. Уже в начальных классах учащихся индуктивным путём знакомят с этими понятиями. К моменту их изучения в систематических курсах алгебры и геометрии накапливается достаточно материала для их введения на основе систематизации и обобщения, предупреждающих формальное усвоение знаний. Например, развитие понятия степени числа осуществляется последовательно - от натурального, целого рационального показателя до действительного.

Обобщение теоретических знаний осуществляется в такой последовательности:

1обобщение понятий;

2обобщение суждений;

3 обобщение теорий;

4выделение содержательных линий, фундаментных целей, методов, используемых при построении курса.

При обобщении понятий устанавливаются внутри предметные связи, благодаря чему знания становятся системными. Обобщение темы или раздела ставит школьника в условия, когда необходимо подняться над выученным материалом, обозреть его сверху, выделив самое главное. Одновременно идёт активное повторение учебного материала, знания

углубляются, расширяются, доводятся до мировоззренческого уровня, вырабатываются интеллектуальные умения и навыки. Параллельно формируются практические умения и навыки, то есть теоретические знания применяются в прикладной деятельности учащихся. Благодаря тому, что эти знания также обобщаются и систематизируются, удаётся значительно расширить зону их приложения, увеличить объём упражнений и поднять эффективность практической работы учащихся.

В формировании умения обобщать учебный материал выделены следующие направления:

1ознакомление учащихся с содержанием понятия «обобщение», значением обобщения в познавательном процессе;

2открытая постановка дидактической цели - научиться обобщать изучаемые сведения .осознание этой цели учащимися;

3ознакомление с видами обобщений, с мыслительными операциями, лежащими в их основе; работа учащихся по усвоению приёмов обобщения

4организация работы по обобщению учебного материала на уроках математики в 5-11-х классах;

5организация обобщающего повторения по темам и разделам программы;

6проведение заключительного обзорного повторения по всему курсу.

Следует отметить, что процесс усвоения новых знаний происходит как движение от одного уровня познания к другому, более высокому, определяющемуся результатами общения учителя с учащимися. Обучение оказывается, таким образом, ведущим фактором развития с ориентацией на зону «ближайшего развития». Вот почему чрезвычайно важной является организация учебно-воспитательного процесса на этапе первичного ознакомления учащихся с учебным материалом. На уроках осмысление учащимися учебного материала происходит в процессе углублённого раскрытия его содержания. При этом процессы мышления осуществляются в форме переходов от чувственно - конкретного, единичного к абстрактному. Обобщения происходят в сравнении, с помощью выделения сходных свойств, их систематизации и классификации. Здесь участвуют все базовые мыслительные процессы: сравнение, сопоставление и различение, анализ и синтез, абстракция и обобщение, которые лежат в основе переходов от конкретного, единичного к абстрактному, общему и от абстрактного, общего к конкретному, наглядному, единичному. Эффективность этапа закрепления обеспечивается тем, что к новому материалу обращаются неоднократно, воспроизводят его буквально или перекодируют средствами символического математического языка, включают в систему уже усвоенных знаний. Таким образом, устраняются причины появления пробелов в знаниях учащихся и создаются благоприятные условия для повышения эффективности изучения программного материала. Для структуры уроков характерно органическое единство логическое и психологического, чёткая упорядоченность в работе учителя и учащихся в их неразрывной взаимосвязи. Основной всегда оказывается не отдельная часть структуры каждого урока, а та ведущая содержательная идея, которая проходит через все этапы одного урока всех уроков школьной математики вообще. Причем в соотношении деятельности учителя и ученика доминирует активная познавательная деятельность последнего. Особое внимание, уделяемое организации учебной деятельности на этапе подготовки к восприятию новых знаний, способствует устранению одной из причин формализма в математических знаниях учащихся, состоящей в преждевременном сворачивании учителем первоначального звена в процессе познания. В этом плане вполне оправдывают себя вводные уроки, проводимые по основным темам программы на обязательном уровне обучения. Важным является не только факт наличия у учащихся знаний, но и характер процесса, в результате которого они сформированы. Введение новых знаний как нового элемента в систему уже известных положений математической теории создаёт условия для активной познавательной деятельности учащихся и в то же время делает их системными - основной признак, отличающий научные знания от ненаучных. Урок подготовлен, урок проведён, подготовка к следующему уроку проводится через тщательный анализ предыдущего и всех ему предшествующих; усвоенные знания приводятся в систему с выходом на обобщение. Идея систематизации и обобщения знаний объединяет все уроки, являясь обязательным компонентом обучения, причем используется все уровни обобщения, и не только на специальных уроках, но и на каждом из уроков всех возможных типов. Идёт двухсторонний процесс: последовательная систематизация всего школьного курса математики и одновременное обучение учащихся через систематизацию и обобщение.

Методика динамичного обобщения и систематизации

учебного материала.

Приведение знаний в стройную систему является одним из наиболее эффективных средств их упрочения и закрепления. Нужно развивать и усовершенствовать память каждого обучающегося знанием основных фактов, зубрёжка не нужна.

Систематизация знаний неотделима от их обобщения: чем шире обобщения, тем больше отражено между ними связей и отношений, тем более широкий круг знаний объединяется в систему.

В зависимости от роли и места в учебном процессе мы будем различать следующие этапы обобщения и систематизации знаний.

1.Первичные обобщения - наиболее элементарные обобщения, осуществляемые во время восприятия (непосредственного и опосредственного) и осознании учебного материала. В результате этого процесса в памяти учащихся образуются общие представления о предметах и явлениях.

2.Локальные (частичные), или понятийные, обобщения осуществляются на уроке в процессе работы над усвоением новых понятий (на этапе осмысления знаний). Основным направлением учения с целью усвоения понятий является раскрытие причинно-следственных и других связей в изучаемых объектах, выявлении их внутренней сущности.

3.Межпонятийные (или поурочны обобщения и систематизация, заключающиеся в определении между изучаемыми понятиями общих и существенных признаков и свойств, в переходе от менее к более общим понятиям, в объединении усвоенных понятий в системы, в раскрытии связей и отношений между элементами данной системы, размещении их в определённом порядке и рациональной последовательности. Выделение данного вида обобщения даёт возможность изученные на уроке понятия свести в единую систему, предусмотренную программой или учителем, и ведёт к усвоению соответствующих теорий и важнейших идей. Этот вид обобщения и систематизации осуществляется главным образом на специально выделенном этапе урока.

4.Тематические обобщения и систематизация должны обеспечить усвоение целой системы или цикла понятий, изучаемых в течение длительного времени, составляющих содержание обширных разделов программы.

5.Итоговые обобщения и систематизации служат для установления связей и отношений между системами знаний, усвоенными в процессе овладения целым курсом, усвоение целостной системы знаний по отдельным отраслям наук.

Уроки итоговых обобщений и систематизации проводятся в конце изучения того или иного учебного курса. Для систематизации отбираются основные положения, идеи, теории, характеризующие общие закономерности развития природы и общества.

6. Межпредметные обобщения и систематизации осуществляются по ряду родственных предметов (например, математике, физике, химии и др.) на специальных уроках межпредметного обобщающего повторения.

Рассмотрим основные компоненты процесса усвоения учащимися знаний по геометрии и алгебре как сложную динамичную систему.

Анализ уроков обобщения и систематизации знаний и выявление трудностей, связанных с их проведением, показывает, что нередко такие уроки превращаются в уроки простого повторения ( частности, актуализация опорных знаний зачастую превращается в простое воспроизведение материала предыдущего урока безотносительно к тому, как этот материал «работает» на тему и цель данного урока), на которых формированию системы знаний, системности понимания учащимися изучаемого материала должного внимания не уделяется.

Предлагаемая методика работы базируется на том, что обобщение и систематизация знаний учащихся становятся обязательным компонентом обучения, причем используются все уровни обобщения и систематизации: первичные, понятийные, межпонятийные, тематические, итоговые и межпредметные.

Обобщение представляет здесь не только на специальных уроках, но осуществляется на каждом уроке в виде актуализации знаний, связанных с вновь изучаемыми содержательными линиями курса математики. Это способствует формированию системности знаний, умений, навыков учащихся.

Систематизацию и обобщение как обязательные компоненты обучения проводим в двух направлениях:

3.обобщение и систематизация всего школьного курса математики (курса единой математики, геометрии, алгебры, алгебры и начал анализа);

4.обучение учащихся математике через обобщение и систематизацию знаний, умений и навыков.

Курс математики обобщаем по принципу понятийных, тематических и содержательных блоков знаний, которые оформляем в виде специальных таблиц, схем, символов, отражающими существенные связи в том или ином изучаемом материале.

Особое внимание уделяем формированию системы знаний, разъяснению детям иерархической структуры основных закономерностей, понятий, фактов, составляющих основное ядро определённой части программного материала данного класса. Быстрый темп прохождения учебного материала обеспечивается тем, что вначале учащиеся хорошо и осознанно заучивают те определения, формулы, правила, без которых невозможно успешное овладение каким- либо предметом. Установив затем (при помощи учителя) взаимосвязи между ними (преимущественно дедуктивным путем), учащиеся затем очень быстро уясняют и все остальные, основанные на этих фундаментальных закономерностях, знания.

Важным является также то, что при повторном воспроизведении той или иной учебной информации дети учатся выделять существенное, отбрасывая второстепенное.

Таким образом, от обобщения и систематизации на каждом уроке естественно переходим к динамичному обобщению соответствующей темы в целом, а от обобщения и систематизации одной, двух, трёх и так далее тем к обобщению и систематизации раздела и содержательной линии. И каждый раз обобщение и систематизация проводятся с обязательным выделением и активизацией главных, основных знаний, навыков и умений учащихся. Заканчивается каждый год обобщением и систематизацией знаний, навыков и умений учащихся в пределах данного года всех и предыдущих лет обучения.

Обобщая и систематизируя знания, навыки и умения учащихся в объёме того или иного понятия, конкретной темы или содержательной линии, получаем, как уже отмечалось, понятийные тематические и содержательные блоки знаний и умений.

Применение обобщения и систематизации знаний в процессе обучения математике.

Красной нитью в моей работе проходит идея формирования системных знаний по математике, потому что одним из важнейших дидактических принципов обучения является принцип прочности знаний. Безусловно, существует много факторов, необходимых для достижения учащимися глубоких и прочных знаний. Одним из них является систематизация материала на уроках математики. Задача обобщения и систематизации знаний не только в том, чтобы воспроизвести ранее усвоенное, так как воспроизведение - это пассивный этап обобщения, а подвести учащихся к тому, чтобы они могли оперативно использовать изученный материал при дальнейшем изучении математики.

Программа по алгебре для 7 -9-х классов имеет четыре содержательные линии, к которым в 10 - 11-х классах добавляются ещё две. Итак, имеем 6 содержательных линий.

1.действительные числа;

2.тождественные преобразования;

3.уравнения, неравенства;

4.элементарные функции;

5.элементы математического анализа;

6.приложения математического анализа;

Все перечисленные выше содержательные линии взаимосвязаны. В самом деле, объектами изучения первой содержательной линии являются числа и действия с ними. Объектами второй - выражения и действия с ними. Выражения составляются с помощью чисел и букв (т.е.качество объектов, с которыми оперируем, несколько изменилось), но действия с ними выполняются по тем же правилам, что и с числами. Таким образом, при глубоком и осознанном усвоении первой содержательной линии, вторая особых затруднений не вызывает. Владение третьей содержательной линией - это та же работа с выражениями, но с учётом характерных свойств новых объектов - уравнений и неравенств. И, наконец, четвёртая содержательная линия концентрирует все знания предыдущих содержательных линий. Итак, построение соответствующих блоков знаний в пределах каждой содержательной линии и целенаправленная работа с ними просто необходимы.

Рассмотрим методику обобщения содержательной линии школьной математики на примере элементарных функций.

В курсе алгебры 7 - 9-х классов учащиеся должны усвоить понятия функции, изучить простейшие элементарные функции (линейная, прямая пропорциональность) и их свойства, усвоить приёмы исследования функций и построения их графиков элементарными методами на сравнительно небольшом функциональном материале, который по годам распределён так: 7 класс - понятие функции;

прямая функциональная зависимость (у=кх) линейная функция (у=кх+Ь);

функции у=х²; у=х³;

8класс - дальнейшее углубление общих свойств функций /понятие возрастания

и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции/;

к

функции у = х, у = -, у = |х|

X

9класс - квадратичная функция у=ах² + Ьх + с; функции у = , у =у[х(п - натуральное);

тригонометрические функции, чётность и нечётность.

В курсе алгебры и начал анализа 10-11 классов систематизируются и пополняются сведения об основных элементарных функциях и их свойствах (как на элементарном уровне, так и с привлечением аппарата анализа), причём материал, завершающий одну из основных содержательных линий школьного курса, по годам распределяется так:

10класс - тригонометрические функции числового аргумента: y=sinx, y=cosx, y=tgx;

периодические функции;

11класс - понятие об арксинусе, арккосинусе, арктангенсе;

показательная функция у=а^х; логарифмическая функция у=log х

Изучив в 7-м классе весь предусмотренный программой материал о понятии функции, прямой функциональной зависимости и линейной функции, вместе с учащимся обобщаем и систематизируем знания, навыки и умения, отбираем и выделяем главное, образуем систему знаний и умений: нахождение значения функции и значения аргумента, область определения функции, работу с графиком принадлежность точек

К моменту изучения функций у=х и у=х необходимая система знаний повторена. Дальнейшая работа дополняет систему знаний учащихся в пределах данного понятия. Вскрываются и устанавливаются новые внутренние существенные связи, отбирается и выделяется главное, организуется в систему, но уже на более высоком уровне.

В 8-ом классе ко времени введения понятий возрастания - убывания функции и изучения функции учащиеся вместе с учителем уже повторили систему своих знаний и умений в пределах данного понятия, установили возможность её расширения. Дальнейшая работа опять дополняет уже вторую систему знаний и умений, опять вскрываются и устанавливаются существенные внутренние связи, отбирается и выделяется главное, организуется в систему, но уже на более высоком уровне, учитывающем то, что должны знать и уметь учащиеся за два года изучения темы «Элементарные функции».

В 9-ом классе перед изучением квадратичной функции вместе с учащимися повторяем систему знаний содержательной линии «Элементарные функции», сформированную за предыдущие два года обучения, восстанавливает приобретённые навыки и умения. Эта работа напоминает в некоторой степени работу строителя: построили фундамент и начинаем возводить красивое, стройное и светлое здание, этаж за этажом. Установили возможность расширения изучаемого понятия и приступаем к работе по усвоению новых знаний и умений. Квадратичная функция изучена, организована соответствующая система знаний. Эта система снова будет повторена учащимися под руководством учителя и снова найдёт своё продолжение при изучении функции

Работу по усвоению знаний и умений содержательной линии «Элементарные функции» за курс 7 - 9-х классов завершаем вместе с учащимися при итоговом повторении в 9-м классе. В 10 - 11-х классах продолжаем эту работу в том же плане и направлении, но каждый раз на более высоком уровне. Итак,

- обобщая и систематизируя знания, навыки и умения учащихся в пределах данной содержательной линии на каждом этапе обучения вместе с ними отбираем и выделяем главное, организуем в систему;

- перед каждым этапом повторяем соответствующую систему знаний, восстанавливаем необходимые навыки;

- после каждого этапа дополняем систему, вскрываем и устанавливаем внутренние существенные связи, то есть организуем новую систему, причём всякий раз на более высоком уровне.

За пять лет учащиеся изучают более 20 примеров функций семи различных видов. План исследования функции, оставаясь в сущности неизменным, постепенно уточняется: в 7-ом классе мы знакомимся с понятием функции, способами её задания, графиком, областью определения и областью значений; в 8-ом классе вводятся промежутки возрастания и убывания функции, её знакопостоянства; определяются нули функции; в 9-ом классе - чётность и нечётность и т.д.

Приведу примеры практических заданий Представленные задания проводятся не только с целью расширения и углубления знаний учащихся, но и установления связей между понятиями в алгебре.

7класс

у = (-2/3) х + 6; у = 0,5 х; у = 0,25-х; у = х/2-3,5; у = - х; у = 2/х+5;

1.Выберите из данных функций линейные;

2.Выберите сами признак классификации и разделите эти функции по своему признаку (расположению по четвертям, по графикам и.т.д).Укажите область определения функций, множество значений

8класс

К заданию №2 добавляются признаки классификации данных функций (например, по возрастанию или убыванию).

2) Изобразите график какой либо функции, для которой выполнялось бы f(l)=f(2)=0, на промежутке [2;+со) она возрастает (убывает).

9класс

Знания расширяются, т.е. добавляя к заданию №2 признаки классификации данных функций (функция четная или нечетная).

После изучения алгоритма построения квадратичной функции я даю ребятам возможность привести в систему знания содержательной линии «элементарная функция».

Учащимся предлагается написать сочинение - рассуждение: «Что вы можете сказать о функции, график которой изображён на рисунке?» Вот одно: из них. «Увидев график данной функции у = -х + 2х, я сразу, не думая, отвечу, что это - парабола. Да, это парабола, если говорить о кривой. Но если рассмотреть свойства функции, графиком которой является данная парабола, то можно сказать, что это график квадратного трёхчлена. Функция эта, при х = 0и при х = 2, обращается в нуль, соответственно данные числа являются нулями функции. Обращаю внимание и на то, что ветви параболы направлены вниз - это значит, что коэффициент старшего члена квадратичной функции - отрицательный. Могу задать функцию у = -х (х-2) = - х + 2х. Вообще, мы знаем, что каждый математический объект обладает многими свойствами и надо уметь увидеть эти свойства. Я вижу, что эта функция возрастает при х € (-оо; 1). При х = 1 она принимает наибольшее значение. При х € (1; +со) функция убывает. Значение этой функции при х < 0 и при х > 2 отрицательно. Свойства функций помогают нам в дальнейшем». (Чикунова Алена)

На примере темы курса X класса «Тригонометрические уравнения» я покажу, какая может быть структура повторительно-обобщающих уроков, как подбирать для них материал, как готовить учащихся к такому уроку.

На изучение данной темы отвожу 10 ч.

1.У рок-лекция (сюда включено изучение всей теории) -1ч.

2.Решение уравнений вида 2sin(2x-n/4)=l-l ч.

3.Стандартные приемы решения тригонометрических уравнений (показы образцов решения уравнений: приводимых к квадратным, решаемых разложением на множители, однородных уравнений)- 1ч.

4.Решение тригонометрических уравнений стандартными приемами -2 ч.

5.Решение тригонометрических неравенств - 1ч.

6.Оставшееся время выделяется на решение тригонометрических уравнений, неравенств, систем уравнений. Я предусматриваю уроки-практикумы, проведение самостоятельных и проверочных работ, уроки-зачеты, и, конечно, последний урок в данной теме должен быть обобщающим.

Обобщающий урок поможет учащимся привести в систему изученные методы и приемы решения тригонометрических уравнений покажет прикладную направленность изучаемой темы, я еще раз предоставлю возможность удостоверится в степени прочности знаний, умений и навыков по данной теме.

На подготовку к обобщающему уроку нацеливаю учащихся после проведения урока по решению уравнений стандартными приемами, т.е. после третьего урока данной темы. Довожу до сведения ребят перечень теоретических и практических упражнений, которые являются основными (упражнения на специальном стенде вывешивают в классе); указываю литературу, к которой могут обратиться ученики; даю десятиклассникам задание по нахождению задач, которые раскрывают прикладную направленность материала данной темы, т.е. определяют межпредметные связи изучаемой темы.

Можно к обобщающему уроку дать конкретные задания некоторым учащимся. Например, приготовить небольшой доклад (сообщение) по истории развития данной темы в математике, подобрать одну или две задачи по физике, при решении которых используются умения решать тригонометрические уравнения, подобрать2-3уравнения, в решении которых используются приемы, требующие особо прочного усвоения материала, я должна подготовить самостоятельную работу, которую предложу учащимся на уроке, чтобы окончательно убедится в сформированности знаний, умений и навыков по данной теме.

Остановимся подробнее на проведении урока.

5.Урок следует начать с самостоятельной работы, которая включает 3- 5 заданий из тех, которые помещены на стенде (после третьего урока темы). На работу отводится 5 минут. Самостоятельная работа выполняется на отдельных листах, она оценивается отдельно.

6.Доклад (сведения), подготовленный учеником по дополнительной литературе по заданию учителя, который раскрывает исторические сведения по изучению теме. Все остальные учащиеся прочитают эти исторические сведения в учебнике. На этот этап урока отводится 5 минут.

3.0 прикладной направленности изучаемой темы расскажет учащийся, который подготовил одну - две физические задачи. Можно решить следующие задачи:

а)Силы переменных токов в двух проводниках, выражаются соответственно функциями I,=10sin50t и I₂=20sin50(t+0,0314).

Определить моменты времени t, в которые силы токов в обоих проводниках принимают равные значения.

б)Две силы Р и Q приложены к материальной точке. Найти угол между этими силами, если известно, что длина их равнодействующей не изменится, если этот угол увеличить в два раза.

6.Решение уравнения повышенной трудности. Например:

cos²x+cos²2x+cos²3x+cos²4x=2.

Остальные подобранные мной уравнения вывешиваются на стенде.

6.Систематизация теоретического материала, приемов и способов решения тригонометрических уравнений, (глубина и широта охвата материала определяется уровнем учащихся)

6.Проведение самостоятельной работы в двух вариантах, которая может включить три задания. Упражнения, подобранные мной для каждого варианта, должны решаться одинаковыми приемами, чтобы после ее окончания организовать проверку методом парного контроля. Приведу пример самостоятельной работы.

I вариантII вариант

sin3x+sinx=2sin2xcos3x - cosx=2sin2x

3 sinx+cosx= 1 sinx - 3cosx= 1

sin⁴x+cos⁴x=3 - cos6x 4

7. Вывод по уроку.

В целом обобщающие уроки способствуют систематизации и более прочному усвоению учебного материала.

В зависимости от роли и места в учебном процессе различаются следующие этапы обобщения и систематизации знаний:

1.Первичные обобщения - наиболее элементарные обобщения, осуществляемые во время восприятия (непосредственного и опосредствованного) и осознания учебного материала. В результате этого процесса и памяти учащихся образуются общие представления о предметах и явлениях.

Например: восприятие любой теоремы довожу до осознанного осмысления: а) выделение элементов условия и заключения теоремы (если ..., то... ); б) выделение приемов доказательства.

2.Локальные (частные или понятийные обобщения осуществляются на уроке в процессе работы над усвоением новых понятий (на этапе осмысления знаний). Основным направлением учения с целью усвоения понятий является раскрытие причинно - следственных и других связей в изучаемых объектах, выявление их внутренней сущности, (см. Приложение 2, урок 7 класса «Линейные уравнения»).

Межпонятийные (поурочные) обобщения и систематизации, заключающиеся в определении между изучаемыми понятиями общих и существенных признаков и свойств, в переходе от общих к более общим понятиям, в объединении усвоенных понятий в системы, в раскрытии связей и отношении между элементами данной системы, размещении их в определенном порядке и рациональной последовательности. Выделение данного вида обобщения дает возможность изученные на уроке понятия свести в единую систему, предусмотренную программой или учителем. Этот вид обобщения и систематизации осуществляется главным образом на специально выделенном этапе урока.

Например, укажите стрелками зависимость между видом многогранника и его характеристическими признаком.

4. Тематические обобщения и систематизации должны обеспечить усвоение целой системы или цикла понятий, изучаемых в течение длительного времени, составляющих содержание обширных разделов программы.

Пример изучение действительных чисел:

5. Итоговые обобщения и систематизации служат для установления связей и отношений между системами знаний, усвоенными в процессе овладения целым курсом, усвоения целостной системы знаний по отдельным отраслям наук. (см. Приложение 2, урок 9класса «Алгебраические уравнения»). Пример «Алгебраические уравнения высшихстепеней» - элективный курс для учащихся 9 классов (как курс задач динамическоггохарактера), (см. Приложение 1).

В содержании элективного курса: «Алгебраические уравнения высших степеней» представлены задачи, которые состоят из серии проблем, основанных на обобщающих связях. Такие серии взаимосвязанных проблем мы будем называть задачей динамического характера. Взаимосвязанные проблемы ( подзадачи ) дают возможность сформировать у решающего ясные представления об их общей сущности и структуре.

Использую одну задачу в качестве основной, составляю подзадачи различными способами, например:

подбираю новые вопросы (требования) к условию задачи;

в соответствии с требованием исходной задачи подбираю ее новое условие;

использую решение исходной задачи, составить более общую задачу;

сформировать вопросы, которые раскрывают частные крайние случаи исходной задачи;

Любая задача может быть преобразована в задачу динамического характера. При этом вполне возможно придать ей различные степени сложности и трудности в зависимости от того, какой группе учащихся она предназначается.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Задача 1. Решите уравнение

х⁴+6х³+11х²+6х=24.(*)

С помощью разложения на множители и введения вспомогательного неизвестного данное уравнение может быть сведено к квадратному, алгоритм решения которого известен. Облегчить учащимся поиск решения можно с помощью различных эвристических приемов, предложив серию взаимосвязанных задач (т.е. динамическую задачу). В этих задачах данный многочлен следует представить в виде произведения нескольких множителей, каждый из которых является либо одночленом, либо двухчленном, либо трехчленом, либо четырехчленном. Любое из этих разложений может определять некоторый путь решения задачи.

Решить уравнения:

а)(х²+3х) • (х²+Зх+2) = 24,

б)(Х²+2х) • (Х²+4Х+3) = 24,

в)(х - 1) • (х+4) (х²+3х+6) = О,

г)х(х+1) • (х+2) • (х+3) = 24,

д)(х - 1) • (х³+7х²+18х+24) = 0.

Ученики приступают к решению, выбрав любое из уравнений по своему усмотрению. В процессе решения они должны увидеть, что к любому из уравнений а) - д) можно свести все остальные. Если с этим учащиеся не справляются, то целесообразно еще более датализировать задание путем наводящих вопросов, как это сделано ниже.

Решите уравнение а), предварительно приведя его к виду

у(у + 2) = 2, где у = х + Зх. Сколько действительных корней имеет это уравнение?

2 Найдите целые корни уравнения г), имея в виду, что 24 = 1 - 2 • 3 · 4 = (-4) • (-3) - (-2) х ( - 1)

3Сведите уравнение б) к уравнению вида (у-2) у (у —1)=1 - 3-8и найдите его целые корни.

4Сведите к уравнению г) все остальные.

5Сведите уравнение д) к уравнению в).

6Решите уравнение (*), если известны два его корня Xi = 1 и х₂ =-

Некоторые способы организации практической работы.

На завершающем этапе работы над темой для систематизации знаний учащихся и организации их комплексного применения на практике определённую пользу может принести практическая работа.

Приведу пример практической работы по теме «Решение треугольников» 1) Практическая работа выполняется дома, а в классе проводится проверка её результатов. Учащимся предлагаю дома вырезать из бумаги любой треугольник, измерить его стороны и углы, записать эти данные на отдельном листе. По этим данным предлагаю составить одну из возможных задач о решении треугольника, привести план решения, само решение, записав их на том же листе. Лист и модель треугольника вложить в отдельный конверт и принести на урок. Проверку результатов практической работы можно организовать в форме взаимного рецензирования. Для внесения элементов игры в этот процесс, предлагаю учащимся пометить конверт личным шифром, не указывая фамилии и на уроке устроить лотерею. Получив конверт, учащиеся на отдельном листе составляют рецензию на работу по такому плану:

а)Правильность модели (её соответствие требованиям и описанию).

б)Правильность проведенных измерений.

в)Корректность составленной задачи.

г)Правильность решения.

д)Рациональность решения.

Рецензенту предлагается так же составить по данной модели вторую задачу, аналогичную авторской, если рецензия содержала замечания, или новую, если рецензия была положительной. Затем производится обмен конвертами для анализа рецензии и решения предложенной задачи.

7.Практическая работа проводится в классе, но с предварительной подготовкой учащихся, включающей постановку задачи, повторение необходимой теории, а так же подготовку материалов и оборудования. Домашнее задание, предшествующее практической работе, заключается в том, чтобы составить задачу по изучаемой теме. Например: вычислить площадь многоугольника или вычислить объём многогранника. После того как задача решена можно предложить учащимся составить новый вопрос к этой модели и опять произвести обмен предметами.

Практическая работа выполняется дома, а правильность выполнения этой работы проверяется в классе через взаимопроверку в группе или паре.(См. Приложение 3.)

Заключение.

Итак, обобщение и систематизация знаний отражает основные принципы гуманистического подхода в образовании, т.е. особое внимание уделяется индивидуальности человека, его личности, содержит в себе вариативность, а поэтому систематизация пройденных знаний действительно становится основой фонда действенных знаний. Процесс обобщения и систематизации знаний позволяет одновременно оптимизировать учебный процесс, обеспечить развитие познавательной и личностной сферы учащихся. Благодаря этому каждый ученик включается в активную учебно - познавательную деятельность.

Обучение построенное таким способом, активизирует творческие силы ребенка, ускоряет его развитие. Обучающийся имеет возможность в большей степени самореализоваться, и это способствует мотивации учения. Обобщение и систематизация знаний гарантируют каждому ученику освоение стандарта образования и продвижение на более высокий уровень обучения.

Работа поданной теме показала следующие результаты: в 9 «А» классе - 26 человек. На начало учебного года успевают все, на «5» - 1 человек, на «4» - 12 человек, на конец учебного года успевают все, на «5» - 3 человека, на «4» - 14 человек. Таким образом, положительная динамика есть, что отображено на диаграммах.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/214620-obobschenija-i-sistematizacija-znanij-v-obuch