Логарифмы: от определения до свойств — полный гид для уверенного понимания алгебры

Тема урока: Логарифмы и их свойства.

Цель урока:

Образовательная – сформировать понятие логарифма, изучить основные свойства логарифмов и способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.

Развивающая – развивать логическое мышление; технику вычисления; умение рационально работать.

Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к математике, воспитывать чувство самоконтроля, ответственности.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация "Логарифмы и их свойства", раздаточный материал.

Учебник: Алгебра и начала математического анализа,10-11. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др., Просвещение, 2014.

Ход урока:

1. Организационный момент: проверка готовности учащихся к уроку.

2. Повторение пройденного материала.

Вопросы учителя:

1) Дать определение степени. Что называется основанием и показателем? (Корень n-ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а.3⁴ = 81.)

2) Сформулируйте свойства степени.

3. Изучение новой темы.

Тема сегодняшнего урока - Логарифмы и их свойства (откройте тетради и запишите дату и тему).

На этом уроке мы познакомимся с понятием «логарифм», также рассмотрим свойства логарифмов.

Зададим вопрос:

1) В какую степень нужно возвести 5, чтобы получить 25? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 5, чтобы получить 25, равен 2.

2) В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 27? Очевидно, в третью. Показатель степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 27, равен 3.

Во всех случаях мы искали показатель степени, в которую нужно что-то возвести, чтобы что-то получить. Показатель степени, в которую нужно что-то возвести называется логарифмом и обозначается log.

Число, которое мы возводим в степень, т.е. основание степени, называется основанием логарифма и записывается в нижнем индексе. Затем пишется число, которое мы получает, т.е. число, которое мы ищем: log₅ 25=2

Эта запись читается так: «Логарифм числа 25 по основанию 5». Логарифм числа 25 по основанию 5- это показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 25. Этот показатель равен 2.

Аналогично разберём второй пример.

Дадим определение логарифма.

Определение.Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Логарифмом числаb по основанию a обозначаетсяlog_ab.

История возникновения логарифма:

Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632). 

Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), а первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов». 

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением – нашей десятичной системой нумерации. 

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы созданы ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы. 

Рассмотрим примеры:

log₃27=3; log₅25=2; log₂₅5=1/2;

log₅1/125=-3; log_-2(-8)- не существует; log₅1=0; log₄4=1

Рассмотрим такие примеры:

1⁰. log_a1=0,а>0, a ≠ 1;

2⁰. log_aа=1,а>0, a ≠ 1.

Эти две формулы являются свойствами логарифма. Ими можно пользоваться при решении задач.

Как перейти из логарифмического равенства к показательному? log_аb=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. Следовательно, а степени с равенb: а^с=b.

Выведем основное логарифмическое тождество: а ^{log a b} =b. (Доказательство приводит учитель на доске).

Рассмотрим пример.

5 ^log₅ ¹³ =13

Рассмотрим ещё важные свойства логарифмов.

Свойства логарифмов:

3°. log_а ху = log_ах + log_ау.

4°. log_а х/у = log_ах - log_ау.

5°. log_ах^p = p · log_ах,для любого действительного p.

Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:

log₂8 + log₂16=log₂8∙16=log₂ 128=7

3 +4 = 7

Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:

3∙log₂8=log₂8³=log₂512 =9

3∙3 = 9

4.Закрепление.

Задание 1. Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно):

log₆6

log_0,51

log₆3+ log₆2

log₃6- log₃2

log₄4⁸

Задание 2.

Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.

log₂32+log₂2=log₂64=6

log₅5³ = 2;

log₃45 - log₃5 = log₃40

3∙log₂4 = log₂ (4∙3)

log₃15 + log₃3 = log₃45;

2∙log₅6 = log₅12

3∙log₂3 = log₂27

log₂16²= 8.

Задание 3.

Работа с учебником. №271, 275, 280,290(1,2), 291(1,2)

Проверка ЗУН – самостоятельная работа по карточкам.

Вариант 1.

Вычислите:

log₃27

log₄ 8

log₄₉ 7

log₅5

Вариант 2.

Вычислите:

log₄16

log₂₅125

log₈2

log₆6

Подведение итогов.

С каким математическим понятием вы познакомились на уроке?

Какие свойства логарифмов вы запомнили? (Записать на доске).

Сформулировать и записать основное логарифмическое тождество.

7. Домашнее задание.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/227222-logarifmy-i-ih-svojstva