Разработка системы изучения модулей и параметров за курс основной школы

Кировское областное государственное профессиональное

образовательное автономное учреждение

«Вятский железнодорожный техникум»

Разработка системы изучения

модулей и параметров

за курс основной школы.

Автор

Музыченко Лидия Ивановна,

учитель математики,

высшая квалификационная категория

2015 г.

Содержание

Введение.

Задачи с модулями и параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Особые затруднения вызывают задачи с параметрами, т.к. каждое уравнение или неравенство представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. В этих задачах кроме использования определенных алгоритмов решений уравнений и неравенств приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не упустить многие тонкости. Уравнения, неравенства с параметрами - это темы, на которых проверяется не уровень «натасканности» ученика, а подлинное его понимание материала, умение исследовать его.

Так как задания с модулями и параметрами постоянно предлагаются на ЕГЭ, то ученик должен изучить этот материал самостоятельно или под руководством учителя. Лучше под руководством учителя. Понимая всю важность данных тем, каждый учитель уделяет большое внимание решению таких заданий, но не каждый удовлетворен результатами этой работы. Многолетний опыт преподавания в школе показывает, что только планомерная и системная работа над темой дает положительные результаты, способствует формированию прочных и глубоких умений и навыков. И самое главное, начинать знакомить учащихся с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами математики.

Цель данного пособия – методическая и практическая помощь учителю при изучении модулей и параметров в курсе средней школы. Учителю с небольшим опытом работы данное пособие позволит:

эффективно организовать работу по изучению данных тем;

избежать многих ошибок и просчётов;

формировать навыки самостоятельной и учебно-исследовательской работы;

повысить качество знаний по математике;

успешно подготовиться к экзаменам.

А учитель с опытом уже пришёл к тому, что структурированный и системный подход в обучении повышает результативность.

Материал пособия рассчитан на учащихся 6-9 классов. В пособии нет очень сложных заданий, т.к. оно предназначено для начального знакомства с модулями и параметрами, но в каждом классе имеются задания повышенной сложности, которые направлены на формирование, развитие математического и логического мышления и знакомство с новыми методами и способами решения. Материал структурирован по классам: 6, 7, 8, 9 и по темам: «Модули», «Параметры». В пособие содержится около 180 заданий, так же имеются задания для самостоятельного решения, с последующим контролем учителя.

Наличие материала в электронном виде позволит без дополнительной подготовки приступить к изучению «Модулей» и «Параметров».

6 класс.

Модуль числа.

Определение:

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Модуль положительного числа и нуля равен самому числу.

Модуль отрицательного – противоположному числу.

Модуль числа не может быть отрицательным.

Противоположные числа имеют равные модули: .

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Формула для нахождения расстояния между точками А(а) иВ(в) .

Данные задания позволят выработать у учащихся знания и умения на заданную тему, а так же закрепить вычислительную технику и развивать логическое мышление.

1). Назовите числа, модуль которых равен: 0; 12; 4,1; -7.

2). Составьте выражение и найдите его значение:

модуль суммы чисел -5,42 и -3,58;

сумма модулей чисел -2,2 и 2,7;

Разность модулей чисел 2,3 и -8,3;

расстояние между точками К(-1,1) иP(7,2) на координатной прямой.

3). Запишите все целые числа, модули которых:

меньше 4;

больше 4 меньше 10.

4). При каких значениях m верно равенство:

5). При каких значениях х будет верно равенство:

6). Найти все целые значения m, если:

7). Используя координатную прямую, найдите все целые решения неравенства:

8). Расположите числа 0,5; -0,05; 0,005; -0,1; 1; 0; -1; 1,1; -0,9

в порядке возрастания;

в порядке возрастания их модулей;

В порядке убывания;

в порядке убывания их модулей.

9). Прочитайте равенство: . Сформулируйте его словами. Придумайте и запишите три пары значений переменных, для которых оно верно и три пары значений, для которых неверно.

10). Аналогичное задание для равенства..

1). Вычислить:

2).

а). Какие из чисел -3; 3; 0 являются корнями уравнения и почему?

Б). Найти корни уравнения: .

В). Решить уравнения:

г). При каких значениях х выражение 3-2имеет наибольшее значение.

Работа по изучению темы «Модуль числа» будет эффективной, если проводить её регулярно и в системе. Я выделяю время на уроках для этой темы как минимум 2 раза в неделю, иногда и 3 раза. К концу 6-го класса у учащихся вырабатываются прочные знания и они готовы решать задания с модулями на более высоком уровне.

7 класс.

Школьная практика показывает, что задания с модулями и параметрами у учащихся вызывают большие затруднения в старших классах. Изучение данного материала необходимо, так как такие задания предлагаются на экзаменах в 9 и 11 классах.

Я предлагаю изучать материал параллельно с соответствующими разделами математики в системе и постоянно. Для этого в 7 классе учащиеся заводят отдельную тетрадь. Один урок в неделю или часть его по возможности я посвящаю этим темам следующим образом.

ПАРАМЕТРЫЫ

В конце 6-го класса учащиеся познакомились с линейными уравнением.

Так же изучили свойства для решения уравнений. Преобразования и подобные слагаемые, т.е. получили достаточные знания для того, чтобы усвоить тему «Линейные уравнения с параметрами».

Изучение целесообразно начать с повторения.

Решить уравнения:

В уравнениях: з). Имеем 6х-4=6х-4

6х-6х=4-4

х(6-6)=0

х*0=0Какой корень уравнения?

Ответ: R

ж). 5х+2=5х-2

х(5-5)=-4

х*0=-4

Ответ: Корней нет. Почему?

Уравнения з) и ж) редко встречаются в учебниках, поэтому надо чаще составлять такие уравнения.

Среди чисел 1; 2; 3; -1 выберите корни уравнения . Здесь же и в других уравнениях повторить основной теоретический материал.

Определение уравнения.

Корень уравнения.

Что значит – решить уравнения.

При каких значениях m выражения 3m+7 и 5-7mпринимают одно и то же значение?

Для каждого такого m найдите это значение выражений

При каком значении а значение выражения

при х=3 равно7?

при х=-2 равно 3?

При каких значениях р уравнения

3х-7=2 и имеют общий корень?

Ответ: при

При каких значениях q уравнения 2х+7=3 и имеют общий корень?

Ответ: при

Определите, при каких значениях а число 5 является корнем уравнения:

При каком значении а уравнение

а). не имеет решений?

Б). не имеет решений?

Решите уравнения.

А). если один из его корней 1,4.

Б). если один из его корней -0,6.

Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, уравнение или неравенство параметрическим.

Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:

определить, при каких значениях параметра существуют решения;

для каждой допустимой системы значений параметра найти соответствующее множество решений.

Существуют другие формы условий задач с параметрами – исследовать уравнение, определить количество решений, найти положительные решения и др.

“ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ”Ы

Решение линейного уравнения ах=b, где а иb – параметры в общем виде.

Решить уравнения:

Ответ: при корней нет

при ,

при , то

Решение:

При уравнение 0х=0 – все действительные числа

При уравнение 0х=4 корней не имеет

При , т.е. уравнение имеет единственное решение

Ответ: при

при

при

При каких а уравнение

имеют бесконечное множество решений?

Решение: 1).

Уравнение имеет бесконечное множество корней при т.е. 3х*0=0

2).

при уравнение имеет бесконечное множество решений т.к.

Ответ: 1) при 2) при

При каких а уравнение

не имеют решений?

Решение: 1).

Уравнение не имеет решений при

2).

при уравнение не имеет решений т.к.

Ответ: 1) при ; 2) при

При каких а уравнение имеет корень, равный -1.

Решение: Подставим в уравнение х=-1,получим -2а+5=-3

а=4

Ответ: при а=4

Для самостоятельной работы

Решить уравнения:

3+ax=2x

2ax-a=2-4x

-2+3ax=6x+a

3ax+3=9x+a

При каких а уравнение

6(ax-1)-a=2(a+x)-7

0,5(5x-1)=4,5-2a(x-2)

имеют бесконечное множество решений.

При каких b уравнение

(a+1)x=2b-a

(2a-1)x=b+a-1

(a+2)x=3b-a+1

Имеют решения при любом а.

Изучив линейные функции и системы уравнений можно предложить учащимся следующие задания:

Прямая y=ax+bпроходит через точки А(1;5)иВ(-2;-1). Найдите числа а и b и запишите уравнение этой прямой.

Прямая у=рх+q,А(-1;4)и В(-2;7).

Найдите такие числа а и b,что равенство

выполняется одновременно при х=1и при х=-1.

Ответ: а=4, b=-3

при х=1и при х=-1.

Ответ: а=5, b=2

* Для системы уравнений

, определите при каком значении параметраа сумма х и у принимает наименьшее значение.

Ответ: при а=-1

, при каком значении параметра а разность принимает наименьшее значение.

Ответ: а=1

* Найти все пары чисел х и у, удовлетворяющие равенству:

Ответ: х=-0,4; у=0,2

Ответ: х=-0,25; у=0,75

“СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ”Ы

Если ставится задача найти такие пары значений (х;у), которые одновременно удовлетворяют уравнению f(х;у)=0 и q(х;у)=0, то говорят, что данные уравнения образуют систему уравнений.

Пара чисел (х;у), которые при подстановке в каждое уравнение обращают его в верное числовое равенство, называется решением системы.

Решить систему – это значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Способы решения систем уравнений:

Способ подстановки;

Способ алгебраического сложения (вычитания);

Графический способ.

Две системы уравнений называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.

Система линейных уравнений с двумя переменными может:

Иметь единственное решение;

Не иметь решений;

Иметь бесконечное множество решений.

П о коэффициентам при соответствующих неизвестных можно, не решая системы линейных уравнений, определить число её решений. Пусть дана система .

Если , т.е. коэффициента при х и у не пропорциональны, то система имеет единственное решение. В этом случае прямые пересекаются в точке .

Если , то система не имеет решений, в этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы параллельны и не совпадают.

Если , то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают.

Пример 1: Найти значения а, при которых система уравнений

Имеет единственное решение;

Не имеет решений;

Имеет бесконечно много решений.

Решение:

Единственное решение, при условии, , т.е. при .

Не имеет решений если . Если , то 1=1=1=. Если , то , т.е. при . Система не имеет решения.

Система имеет бесконечное множество решений при условии , которое выполняется при .

Ответ: при единственное решение

при нет решений

при бесконечное множество решений

П ример 2:

При каких а система уравнений , имеет единственное решение?

Решение:

1 способ.

Система имеет единственное решение, если , т.е. при .

2способ.

С ложив левые и правые части уравнений, получим. При система имеет единственное решение . При получим систему , которая решений не имеет.

Ответ: при

Пример 3:

Р ешить систему уравнений .

Решение:

Из первого уравнения находим и подставим во второе уравнение. Получим

При уравнение не имеет решений.

Если , то .

Ответ: при ,

при .

Пример 4:

Р ешить систему уравнений .

Решение:

Из второго уравнения у=1-х и подставляем в первое. Получим:

Если , то

Если , то уравнение х0=0 имеет бесконечное множество решений.

Если , то уравнение х0=4 решений не имеет.

Ответ: при ,

при ,

при .

Для самостоятельного решения.

1 . При каких а системы уравнений ,

.

При каких а система уравнений

а) .Б) .

Имеет бесконечно много решений?

Решите системы уравнений.

а ) .Б) .В) .

“МОДУЛИ”Ы

Продолжаем решать задания с модулями в 7 классе.

Найти значение выражения:

А) при а=-0,2; b=-8

Б) при х=-3

В) при х=3

Г) при х=-2

Решите уравнение:

а) б)в)

г) д)е)

ж) з)

Работая над модулями, необходимо проводить тесты и самостоятельные работы для контроля за уровнем знаний.

При составлении тестов, самостоятельных работ необходимо учитывать уровень подготовленности учащихся.

Работая в 7 классе над модулями и параметрами необходимо:

закрепить знания учащихся о модулях

сформировать начальные знания учащихся о параметрах при решении линейных уравнений и систем линейных уравнений.

8 класс.

МОДУЛИЫ

В этом классе особое внимание надо уделить решению заданий с модулями, т.к. изучаются следующие темы:

«Алгебраические дроби», «Рациональные уравнения»

«Квадратичная функция»

«Свойства квадратного корня»

«Квадратные уравнения»

«Линейные неравенства и квадратные неравенства»

В 8 классе при изучении темы: «Алгебраические дроби» для подготовки учащегося к решению рациональных уравнений можно выполнить следующее задание

1. При каких значениях xопределено выражение:

При каком значении переменной x,yзначение дроби равно нулю?

При каких натуральных значениях R дроби принимает натуральные значения:

а)

б)

4. *

а) Пусть Найдите

б) Пусть Найдите ;

5.*

а) Пусть Найдите значение выражения

б) Пусть Найдите значение выражения

6.* Построить график функций

а)

б)

в)

г)

д)

Рассмотрим основные методы решения уравнений и неравенств с модулями.

Уравнения.

Запишем определение модуля следующим образом:

х при

- х при

Свойства модуля:

Методы решения уравнений с модулями.

1). По определению модуля.

2).

а) способ: возведем обе части уравнения в квадрат, т.к.

б)

рассмотрим возможные случаи:

1) 2)

3) 3)

Таким образом для данного уравнения достаточно рассмотреть случаи 1 и 3, т.е.

3). Метод разбиения на промежутки.

4). Функционально-графический метод.

Для самостоятельного решения.

Решите уравнение:

Упростите выражение:

а) при .Ответ: 5.

Б) при Ответ: -2х-1

Решения неравенств с модулем.

1).

2).

Для самостоятельного решения:

Решите неравенство.

Ответы:

ПАРАМЕТРЫЫ

«Дробно-рациональные уравнения».

Решить уравнение .

Решение:

При и уравнение сводится к линейному . Из условия следует, что

Ответ: при

при

Решить уравнение .

Решение:

При и уравнение имеет решение

Из условия ,, следует проверить:

Ответ: , при ,

при ,

Решить уравнение

Решение:

При и уравнение сводится к линейному . Из условия следует, что

Ответ: при

при

Решить уравнение

Решение:

Если , то

Т.к. , то найдём значения а при которых ,.

При исходное уравнение решения не имеет.

Ответ: при ;

при

Для самостоятельного решения:

Решите уравнения:

При каких а уравнения

имеют бесконечное множество корней.

При каких а уравнения

не имеют решений?

НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИЫ

Рассмотрим решение линейного неравенства.

Для сравнения решения неравенства и решения уравнения решим уравнение.

Обратим внимание, что при а=2 и а=0 уравнение обращается 0х=0 или 0х=-2, а при и получим

Ответ: при,;

при а=z;

при а=0.

Поскольку в неравенствах существенным является не только значение старшего коэффициента, но и его знак, то рассмотрим заданное неравенство в следующих случаях:

02

1) а<02) a=03) 0<a<24) a=25)a>2

1) Если а<0, то и неравенство примет вид , т.е. .

2) Если a=0, то 0х>-2, верно при любых х.

3) Если 0<a<2, то и неравенство примет вид , т.е. .

4) Если a=2, то 0х>0 решений нет.

5) Если a>2, то и .

Ответ: , если а<0, a>2

, если а=0

, если 0<a<2

, если а=2.

Решить неравенство.

Решение:

2

Рассмотрим неравенство в следующих случаях

1) а<22) a=23)a>2

1) Если а<0, то и получим

2) Если a=2, то 0х>0 решений нет.

5) Если a>2, то и получим .

Ответ: при а<2

при a>2

, при а=2.

Для самостоятельного решения.

Решить неравенство

а) б) в) г)

2)

3)

4)

5)

Если не удалось за 8 класс реализовать данные темы, то можно эту работу перенести в 9 класс. Возможно дополнение или корректировка заданий. В целом данная работа в 8 классе позволит расширить знания и умения в теме о модулях, а так же отработать умение решить уравнение с параметрами.

Если вам удалось реализовать предложенный материал на 50%, то это очень хороший показатель усвоения данной темы. Практический опыт показывает, что в каждом классе найдутся учащиеся, для которых усвоение данного материала доступно на хорошем математическом уровне.

9 класс.

ПАРАМЕТРЫЫ

Понятие параметра является важным математическим понятием, которое систематически используется в школьном курсе математики и в смежных дисциплинах.

При решении уравнений с параметрами, надо помнить:

уравнение с параметрами – это семейство уравнений, определяемых параметром;

в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения;

при решении квадратных уравнений надо рассмотреть и выделить отдельно такиеа, при которых оно обращается в линейное (меняется структура уравнения);

при решении дробно-рациональных уравнений необходимо учесть ОДЗ и привести его к соответствующему линейному или квадратному, так же проверить ОДЗ;

особое внимание на запись ответа как составную часть уравнения, в ответе должно быть указано для каждого значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеют это уравнение и какого вида.

Так же практическую часть учитель в 9 классе подбирает самостоятельно с учетом степени усвоения предыдущего материала. Можно использовать задания из ЕГЭ.

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯЫ

Уравнения вида , где а,b,c R, называется квадратным.

В этой теме рассмотрим следующие задачи:

нахождение корней уравнения;

исследование корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметров;

установление равносильности уравнений.

Р ешить уравнение

Решение: D= . Если , т.е. , то D > 0

В этом случае уравнение имеет 2 корня:

Если , то , то D=0 и уравнение имеет единственный корень .

Если , т.е. , то D < 0 уравнение корней не имеет.

Ответ: при ;

при

при

Решить уравнение

Решение:

При а=-1 и а=0 уравнение будет линейным.

1). А = -1, уравнение примет вид х-2=0, откуда х=2

2). А = 0. Решение уравнения х=0.

3). Корни уравнения.

Если D=0, т.е. уравнение имеет единственный корень при при

Ответ: х=2 при а=-1

х=0 при а=0

при

при

;при

3. При каких а, уравнение

1)

2)

3)

имеет единственное решение?

Решение:

При уравнение является линейным и имеет единственное решение .

При ,уравнение имеет единственное решение.

, при

Ответ: при и

2) при,

При уравнение решений не имеет.

Ответ: при

3)

Выясним, при каких а, уравнение имеет единственное решение.

; ,

Убедимся, что при уравнениеимеет единственное решение при ,;

Теперь найдём значение , при каждом один из корней уравнение равен -1 получим при

При , уравнение имеет 2 корня

;

Ответ: при ,

Для исследования корней квадратного уравнения

можно использовать следующую таблицу

, и - нули функции , причем , абсцисса вершины параболы.

7 условий расположения корней квадратных функций:

1) Оба корня меньше некоторого числа а:

2) Оба корня больше некоторого числа а:

3) Заданное число а лежит между корнями:

4)Оба корня принадлежат заданному промежутку

5) Только меньший корень принадлежит промежутку

6) Только больший корень принадлежит промежутку

7) Оба корня лежат по обе стороны от промежутка

Приведём пример:

Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения

Имеют разные знаки.

Решение. Рассмотрим функцию

,- корни , причём

Необходимым и достаточным условием является выполнение условия (3) в таблице,

,

Ответ: при

На исследование равносильности уравнений

1.При каких а уравнение

1) и

2) и равносильны?

Вспомним определение равносильности уравнений

1)Первое уравнение имеет корень , следовательно и второе уравнение должно иметь корень

Подставив во второе уравнение и получим , откуда ,

При , уравнение примут вид , т.е.

При , уравнение примут вид , т.е.

Ответ: При , уравнения равносильны.

2)Пусть и множества решений уравнений

и

(2)

Равносильность означает, что , при этом не исключается случай

Ответ: При

МОДУЛИЫ

Для решения уравнений, неравенства, систем уравнений и неравенств, а так же отдельных заданий, содержащих переменную под знаком модуля, используют функционально-графический метод. Используя данный метод необходимо построить график функций или график уравнения с модулем.

Для данной работы надо научить строить графики функций:

;

;

;

при ;

;

. . .

например:

Существует много методической литературы по теме «Модули», учитель отрабатывает основные методы решения уравнений и неравенств с модулями. Подборку практических заданий осуществляет сам в зависимости от степени усвоения данного материала в 8 классе и уровня подготовленности учащихся.

Можно использовать задания из сборников для подготовки к ЕГЭ.

Например:

Сколько различных корней имеет уравнение при различных значениях параметра

а) б)

Решите уравнение

Решить уравнение

Ответы:

нет корней, а<2

, если a=2

, если а>2

3. , если a>0

, если

, если

корней нет, если

Заключение.

Данное пособие предназначено для учителей, работающих по учебно-методическому комплекту «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9» под редакцией А.Г.Мордковича для общеобразовательных школ.

Это пособие можно использовать для работы и по другим учебникам, только надо соотнести данный материал по темам. Предлагаемое распределение материала носит примерный характер. Учитель может по своему усмотрению вносить коррективы в изучаемый материал, учитывая специфику класса и уровень математической подготовленности учащихся. Усвоение теоретического материала и получение практических навыков и умений по данным темам позволит учащимся:

улучшить качество знаний по предмету;

расширить познавательный интерес к математике;

получить навыки самостоятельной и учебно-исследовательской работы;

добиваться хороших результатов на конкурсах, олимпиадах, экзаменах.

Так же этим пособием могут пользоваться ученики и студенты для самостоятельного изучения данной темы , что поможет им при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ .

Это пособие - “стартовая площадка”, первые шаги на пути к изучению модулей и параметров в основной школе. Модули и параметры изучаются в10-11 классах на более высоком уровне. Буду рада, если данное пособие поможет в работе.

Желаю творческих успехов всем!

Список используемой литературы.

А.Г.Мордкович.Алгебра 7-9. Методическое пособие для учителя. Москва. 2011 – 144 стр.

А.Г.МордковичБеседы с учителями математики. Москва. 2011 – 335 стр.

Ю.Н. Макаров Н.Г.Миндюк. Алгебра 8. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва. 2011 – 207 стр.

В.Я. Райцин.Математика. Москва. 2010 – 190 стр.

В.А.Гольдич, С.Е.Злотин 3000 задач по алгебре. Москва. 2013 – 350 стр.

В.В.Локоть. Задачи с параметрами. Москва. 2010 – 95 стр.

А.Х.ШахмейстерЗадачи с параметрами в ЕГЭ. Москва 2012 – 245 стр.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/230980-razrabotka-sistemy-izuchenija-modulej-i-param