Обеспечение индивидуального прогресса учеников через решение многоуровневых задач

Учитель математики

МАОУ СШ № 143

г. Красноярска

Князькина Татьяна Викторовна

Обеспечение индивидуального прогресса учеников через решение многоуровневых задач

1 Понятие системы уровневых заданий

Индивидуальный прогресс ученика можно наблюдать через изменившееся действие с предметом, при этом предмет и его структура не меняются, а действие по отношению к этому предмету становится качественно иным. Отметим, что такие изменения должны носить не случайный, а устойчивый характер. Показателями того, насколько освоено предметное действие, являются тип опосредствования (уровень присвоения культурного способа действия, уровень мышления) и степень произвольности применения освоенных средств. В первом случае говорится про уровневый, а во втором – про линейный прогресс.

Узнать об уровне действий и мышлении учеников и управлять их формированием возможно, используя в процессе обучения специально сконструированные системы задач – многоуровневые задачи. При помощи таких задач можно  определить, какое предметное средство (правило, общий способ, ключевую идею) уже освоили или еще осваивают ученики.

Уровни многоуровневых задач соответствуют следующим трем уровням опосредствования действия. Первый уровень: овладение внешней стороной культурного образца действия. В качестве посредника в этом случае выступает образец (правило, шаблон, алгоритм) выполнения действия. Второй уровень: освоение существенного основания действия. Средством осуществления действия является общий способ, принцип или понятие. Третий уровень: становление «культурной непосредственности» действия, отрыв способа действия от условий его формирования. В качестве посредника в этом случае выступает ключевая идея или метапонятие.

Задачи разного уровня конструируются относительно одной и той же системы предметных действий. Задаче можно приписать определенный уровень, только если она позволяет  различить учащихся, ориентирующихся в своих действиях на культурное средство данного уровня и на средство, соответствующее предыдущему уровню. Так, задачи первого уровня позволяют  различить учащихся, осмысленно и слепо применяющих известное правило. Учащиеся, осмысленно применяющие правило, успешно справятся с этой задачей, а ученики, действующие формально, и не понимающие, что они делают – нет. Задачи второго уровня позволяют различить учащихся, ориентирующихся в своих действиях на правило и ориентирующихся на общий способ решения задачи. Задачи 3 уровня позволяют  различить учащихся, ориентирующихся в своих действиях на общий способ решения задачи и на ключевую идею.

Исходя из назначения, задачи каждого уровня имеют свои принципы устройства. Так, задача первого уровня представляет собой выполнение задание по заданному, известному учащемуся образцу. Задача второго уровня сконструирована так, что для ее решения требуется преодолеть «зашумление» ситуации (дополнительные данные или формулировка, не позволяющая «впрямую» использовать образец). В задаче третьего уровня требуется видоизменить освоенный общий способ действия в соответствии с новыми условиями.

Отметим, что тестовые материалы по   математике в диагностическом инструментарии «Дельта» устроены именно как серии многоуровневых задач. Однако многоуровневые задачи не обязательно должны формулироваться в форме тестовых заданий. Это может быть серия задач, отражающих развитие действия, или одна задачная ситуация, способ решения которой зависит от ориентировки на правило, общий способ или ключевую идею.

Приведем пример многоуровневой системы заданий для учеников начальной школы в рамках предметно-деятельностной линии моделирования. В качестве предметных средств решения задачи выступает понятие прямоугольника и отношения величин (разностное, целого и частей):

 Задание 1. (1 уровень)

Обведи правильный ответ. Стороны прямоугольника 4 см и 10 см. Периметр этого прямоугольника равен

1) 40 см      2) 14 см       3) 80 см     4) 28 см

Задание 2. (2 уровень)

Обведи правильный ответ. Длину прямоугольника уменьшили на  а сантиметров. На сколько сантиметров уменьшится его периметр?

1) а    2) а ∙ 2       3) а : 2        4) не хватает данных для решения задачи

Задание 3 (3 уровень)

Периметр одного прямоугольника меньше периметра другого прямоугольника на 20 см. Длину первого прямоугольника увеличили на 12 см. На сколько сантиметров стали отличаться периметры этих прямоугольников? Запиши решение.

Основная проблема учителей при работе с уровневыми задачами состоит в том, что они видят успешное либо ошибочное решение ученика, но зачастую не понимают, какое действие лежит за правильным или неправильным решением и какое развитие это действие должно получать. Поэтому для учителя важно наблюдать, что делают ученики, решая задачу, и учиться понимать, какие действия лежат за теми или иными детскими пробами решения. 

 Все детские решения можно разделить на две группы: А-ответы (верные рассуждения, приводящие к правильному решению задачи данного уровня) и Б-ответы (ошибочные рассуждения при решении задачи данного уровня, анализ которых позволяет выявить степень освоенности знакового средства).

Например, при выполнении приведенного выше задания 2, многие учащиеся выбирают ответ «a:2», рассуждая следующим образом: «в периметр длина входит 2 раза, а раз он уменьшился, то надо делить на 2». Это типичный для данной задачи Б-ответ. Учащиеся знают правило, по которому находится периметр прямоугольника, но не могут выделить существенное отношение задачи и ориентируются на внешние элементы условия – если есть слово уменьшился, значит надо делить, а не умножать. А-ответ (выбор варианта «а ∙ 2») поясняется чертежом или рассуждением, опирающимся на соответствующие понятия: «в периметре две длины – две части. Если каждую часть уменьшили на a, то целое уменьшится на а ∙ 2».

А-ответы свидетельствуют о том, что ученик освоил данный уровень действия. Учителю нужно создавать условия для перехода на следующий уровень. Б-ответы свидетельствуют о том, что ученик  имеет трудности с освоением данного уровня действия. В этом ему требуется помощь учителя.

 Заметим, что для индивидуального продвижения учащегося в освоении предметных способов действия очень важно обсуждение учащимися в классе предложенных вариантов решения. Например, при выполнении задания 3 может развернуться следующий диалог:

У1: Конечно на 8 см, потому что надо из 20 вычесть 12.

У2: Неправильно! У прямоугольника две длины!

У1: Давайте нарисуем прямоугольник (рисует, но останавливается, увидев, что 20 см показать негде).

У2: Надо посчитать 12 см два раза, потому что у прямоугольника две длины.

У3: Давайте нарисуем длину и ширину прямоугольника на отрезке! (тем самым ученик предлагает представить отношение величин, данных в условии, т.е. длины, ширины и периметра прямоугольника «в чистом виде» на модели).

Ученики начинают изображать периметр, в ходе чего Ученик 1 сам видит ошибку в своем рассуждении и получает правильный ответ. Таким образом, коллективное обсуждение позволило Ученику 1 обнаружить возможность применения чертежа как средства анализа условий задачи, а этим средством он хорошо владеет (поскольку после этого сам смог решить задачу).  Это означает, что данный учащийся находится «на переходе» от второго к третьему уровню опосредствования действия. Задача учителя в отношении таких учащихся состоит в том, чтобы выявить их потенциал и помочь осуществить этот переход.

Если ученик устойчиво демонстрирует освоенность определенного уровня опосредствования действия,  выполняя задания данного уровня на разном типе предметного материала, то это говорит о сформированности  соответствующего уровня мышления и понимания. Например, освоение предметных действий на первом уровне «по образцу»  формирует тип мышления, названный В.В. Давыдовым формально-эмпирическим, освоение общих способов действия (второй уровень) приводит к формированию содержательно-теоретического мышления, или мышления в понятиях.  Третий уровень – действие на основе ключевой идеи или метапонятия, является на данный момент наименее изученным и методически проработанным, однако достижение этого уровня является необходимым условием формирования предметных компетенций. По-видимому, в этом случае можно говорить о формировании продуктивного мышления.

Примеры разноуровневых задач (три группы)

Группа 1

Задача 1. Показать, что площади треугольников равны (рис. 1)

Решение

Площади треугольников равны по 3 признаку равенства треугольников.

Или:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Высота у треугольников одна, а основания треугольников являются противоположными сторонами параллелограмма, которые равны по свойству параллелограмма.

Задача 2. Как соотносятся площади треугольников и параллелограмма? (рис. 2)

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, а площадь треугольника половине произведения основания на высоту.

Плошадь среднего треугольника равна половине площади параллелограмма, так как основания у того и другого одно, как впрочем и высота одна.

Не понятно, где находится точка на верхнем основании параллелограмма. Если это середина, то площади треугольников справа и слева будут одинаковы и равны ¼ площади параллелограмма. А если - нет, то сумма площадей этих треугольников равна половине площади параллелограмма.

Задача 3.  Пусть О – произвольная точка внутри параллелограмма.  

Найти площадь четвертого треугольника, если известны площади трех остальных. (рис. 3)

Решение.  Пусть S_▲ADO=S₁,S_▲ABO = S₂,

S_▲BOC = S₃. Произведем дополнительное построение:КЕ║АВ.

Введем следующие обозначения:  

S_▲EOD = a,S_▲KCO = b,S_▲BKO=c,S_▲AEO=d.

ТогдаS₂ = с +d , S_▲DOC =a + b, S₁ + S₃ = a + b + c + d . 

   Отсюда  S_▲DCO = S₁ +S₃ -S₂

Группа 2

Задача 1. Вася нес 3 одинаковых кулька карамелек, а Петя -  такой же кулек с карамельками и кулек ирисок. Один нес 36 конфет, а другой нес 27 конфет. Сколько конфет было в каждом кульке?

Решение

В задаче некоторая неопределённость.

Допустим 36 конфет было у Васи, а 27 конфет - у Пети. Тогда 36:3= 12 карамелек в одном кульке, а 27-12=15 ирисок в одном кульке

Если 27 конфет было у Васи, а 36 конфет - у Пети, то 27:3=9 карамелек в одном кульке, 36-9=27 ирисок в одном кульке.

Задача 2. В равнобедренном треугольнике одна из медиан делит его периметр на две части: 12 см и 9 см.  Определить стороны треугольника.

Без чертежа…

Пусть боковая сторона=а, основание=в. Не забудем, что медиана делит сторону пополам. Кроме этого, по условию задачи рассматривается медиана, проведенная к боковой стороне, так как при медиане, проведенной к основанию, периметр делится на 2 равные части.

Тогда возможны случаи:

а+а/2=12. Решая уравнение, получим, что а=12. Второе равенство: в+а/2=9, подставим вместо а число 12. Получим в=3. Проверим по неравенству треугольника (сторона треугольника меньше суммы двух других сторон), что такой треугольник существует.

а+а/2=9. Решая уравнение, получим, что а=6. Второе равенство: в+а/2=12, подставим вместо а число 6. Получим в=9. Проверим по неравенству треугольника, что такой треугольник существует.

Группа 3

Задача 1. На лужайке росли 35 жёлтых и белых одуванчиков. После того как 8 белых облетели, а 2 жёлтых побелели, жёлтых одуванчиков стало вдвое больше, чем белых. Сколько белых и сколько жёлтых одуванчиков росло на лужайке вначале?

Решение

Решаем систему уравнений

X=20, Y=15

Ответ: Вначале росло 20 желтых и 15 белых одуванчиков.

Задача 2. Король сказал королеве: 
  – Сейчас мне вдвое больше лет, чем было Вам тогда, когда мне было столько лет, сколько Вам теперь. Когда же Вам будет столько лет, сколько мне теперь, нам вместе будет шестьдесят три года. 
Интересно, сколько лет каждому из них?

Решение.

Обозначим через x возраст короля "тогда", а через y — возраст королевы "тогда". Отсюда получаем: возраст короля "теперь" — 2y, возраст королевы "теперь" — x, а "будет" королеве 2y лет, т. е. от "тогда" до "будет" прошло y лет, значит, королю "будет" (x + y) лет. Составим систему из двух уравнений: y + (x+y) = 63; 2y - x = x-y

Первое уравнение означает, что "им вместе будет 63 года", а второе — что разность возрастов короля и королевы постоянна и "теперь", и "тогда", и "всегда". Решив эту систему уравнений, определим, что "сейчас" королю 28 лет, а королеве — 21 год. Можно эту задачу решить и не составляя системы уравнений. Обозначим через t разницу возрастов короля и королевы "сейчас", "тогда" и "всегда". Поскольку "сейчас" королеве столько же лет, сколько было королю "тогда", значит, от "тогда" до "сейчас" прошло тоже t лет. Разница между возрастом короля "сейчас" и королевы "тогда" равна сумме двух чисел — разницы этих возрастов "всегда" и отрезка от "тогда" до "сейчас". Эта сумма — 2t лет. Значит, возраст королевы "тогда" — 2t лет, а возраст короля "сейчас" — 4t лет. "Сейчас" королеве — 3t лет, и королю "было" — 3t лет. Когда королеве станет 4t лет, королю будет 5t лет. И все вместе эти 9t составят 63 года. Отсюда t = 7. Итак, "сейчас" королю 28 лет, а королеве — 21 год.

Ответ: Королю 28 лет, королеве 21 год.

Группа 1

Задача 1. Показать, что площади треугольников равны (рис. 1)

Задача 2. Как соотносятся площади треугольников и параллелограмма? (рис. 2)

Задача 3.  Пусть О – произвольная точка внутри параллелограмма.  

Найти площадь четвертого треугольника, если известны площади трех остальных. (рис. 3)

Задачи группы 1)

1. Какое общее понятие, способ действия, принцип объединяет задачи группы1?

2. Какие специальные приемы используются в каждом случае?

3. Какой уровень можно приписать этим задачам? Почему?

Ответ

Общее понятие- площадь параллелограмма и площадь треугольника, а ещё общее, что объединяет эти задачи, это понятие «высота»

Способы действия:

анализ заданной в условии задачи конфигурации в целом и отдельно ее элементов с точки зрения включения площади для решения задачи;

отбор элементов заданной конфигурации, которые будут необходимы для применения выбранных свойств площадей или объемов;

выбор конкретных свойств и формул площади, связанных с заданной конфигурацией, в частности общего понятия «высота»

нахождение площади или объема выбранных фигур или тел, их отношения;

Метод действия: метод площадей

приемы: любой метод состоит из приемов. Например, метод площадей состоит из приемов, основанных на использовании свойств параллелограмма, треугольника, использовании формул площадей этих фигур, признаков равенства фигур, метода дополнительных построений, метода сравнения и алгебраических преобразований

Уровень: возможно первая задача 1 уровня, вторая- второго, а третья- третьего уровня. Хотя, возможно 2 и 3 задачи 3 уровня…

Группа 2 

Задача 1. Вася нес 3 одинаковых кулька карамелек, а Петя -  такой же кулек с карамельками и кулек ирисок. Один нес 36 конфет, а другой нес 27 конфет. Сколько конфет было в каждом кульке?

Задача 2. В равнобедренном треугольнике одна из медиан делит его периметр на две части: 12 см и 9 см.  Определить стороны треугольника.

Задачи группы 2)

1. Какое общее понятие, способ действия, принцип объединяет задачи группы 2?

2. Какой уровень можно приписать этим задачам? Почему?

Ответ

Я решала задачи: первую действиями, вторую уравнением, хотя можно было по действиям в частях. Но, что их объединяет, так это то, что задачи имеют не одно решение. Думаю, что общий способ – арифметический.Принцип - это основание правила - усвоить его можно только одним путем - открыть, обнаружить в какой-то ситуации. В данном случае, общий принцип - найти 2 решения задачи.

2 уровень

Группа 3 

Задача 1.

 На лужайке росли 35 жёлтых и белых одуванчиков. После того как 8 белых облетели, а 2 жёлтых побелели, жёлтых одуванчиков стало вдвое больше, чем белых. Сколько белых и сколько жёлтых одуванчиков росло на лужайке вначале?

Задача 2. 

Король сказал королеве: 
  – Сейчас мне вдвое больше лет, чем было Вам тогда, когда мне было столько лет, сколько Вам теперь. Когда же Вам будет столько лет, сколько мне теперь, нам вместе будет шестьдесят три года. 
Интересно, сколько лет каждому из них?

Задачи группы 3)

1. Что объединяет задачи группы 3?

2. Почему эти задачи не являются аналогичными?

3. Какой уровень можно приписать задачам группы 3?

4. На основе заданий группы 3 разработать систему заданий всех трех уровней.

Ответ

Обе задачи решаются алгебраическим способом- с помощью системы уравнений

Наверное, первая задача 2 уровня, а вторая – 3 уровня.

1 уровень, думаю, решить готовую систему уравнений по образцу (известному правилу подстановки или сложения). Хотя надо эту систему ещё и составить по содержанию задачи, пожалуй, это 2 уровень.

1 уровень – действие по образцу, формально-имитационное воспроизведение способа действия  в знакомых условиях  без выделения  существенного отношения в материале задания.

Решить систему уравнений

2 уровень- действие, опирающееся на выделение существенного основания (общего принципа, предметного отношения) способа действия.

Решить задачу с помощью системы уравнений (задача типовая, на движение):

Легковой автомобиль за 3,5 часа проехал то же расстояние, что и грузовой за 5 часов. Найдите их скорости, если известно,  что легковой автомобиль двигался на 30 км/ч быстрее грузового.

3 уровень- ориентация на границы способа действия (конструирование или перестройка общего способа действия). Действие ученика опирается на функциональное представление задачной ситуации и  предполагает возможность преобразования любых ее элементов:  цели,  условий, средств,  способов. Иными словами, включение обобщенного способа действия в состав личных ресурсов.

Задача.

Сейчас вы видите только часть решения некоторой задачи. Попробуйте по этой части сформулировать всю задачу.

Пусть стороны прямоугольника будут х и у см. Тогда имеем:

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/252019-obespechenie-individualnogo-progressa-uchenik