Рабочая программа по геометрии 8 класс

№темы

Содержание

Кол-во часов по программе

Планируемое кол-во часов учителем

Контроль

Приме-чание

8 класс

1

Вводное повторение

3

3

Входная диагностика

2

Четырехугольники

18

18

к/р № 1

3

Площадь

18

18

к/р № 2

4

Подобные треугольники

24

24

к/р № 3, к/р № 4

5

Окружность

21

21

к/р № 5

6

Векторы

15

15

к/р № 6

7

Итоговое повторение

3

3

–

Всего:

102

102

6

№п/п

Тема раздела

Кол-во уроков в разделе

Методы, приемы активизации деятельности учащихся

Требования к достижению результата

Предметные

Личностные

Метапредметные

1

Вводное повторение

3

постановка учебной задачи;

эвристическая беседа;

анализ, выявление причинно-следственных связей;

проблемные вопросы.

1. Ученик научится (базовый уровень)

Ученик должен знать:

Основные понятия, формулировки теорем, определения по темам: «Треугольники», «Параллельные прямые».

Ученик должен уметь:

Уметь решать основные типы задач.

Типовые задания:

«Входная диагностика» (приложение).

2. Ученик получит возможность научиться (повышенный уровень)

Ученик должен знать:

Основные понятия, формулировки и доказательство теорем, определения по темам: «Треугольники», «Параллельные прямые».

Ученик должен уметь:

Уметь решать более сложные задачи.

Типовые задания:

«Входная диагностика» (приложение).

1) Ответственное отношение к учению, готовность и способность обучающегося к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.2) умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры. 3) Креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.

1.Познавательные:умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения, умозаключения (индуктивные, дедуктивные, по аналогии) и выводы; умения создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач. 2.Регулятивные: умение осуществлять контроль по образцуи вносить необходимые коррективы; способность адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения.3.Коммуникативные: развитие способности организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

2

Четырехугольники

18

постановка учебной задачи;

проблемные вопросы;

создание проблемной ситуации;

самостоятельная работа с учебником;

эвристическая беседа;

сравнение, сопоставление;

анализ, выявление причинно-следственных связей;

самоанализ и самооценка;

взаимопроверка и взаимооценка;

формулировка выводов;

подведение итогов работы.

.

1. Ученик научится (базовый уровень)

Ученик должен знать:

Понятие периметра многоугольника, определение выпуклого многоугольника, параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата и трапеции, формулировки свойств и признаков этих четырехугольников; знать формулу суммы углов выпуклого многоугольника; знать определение симметричных точек и фигур относительно прямой и точки.

Ученик должен уметь:

Применять свойства и признаки фигур при решении несложных задач; делить отрезок наn-равных частей; строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой и центральной симметрией.

Типовые задания:

К.р. № 1: 1 уровень (приложение).

2. Ученик получит возможность научиться (повышенный уровень)

Ученик должен знать:

Знать доказательства свойств и признаков параллелограмма, формулировку и доказательство теоремы Фалеса; знать доказательства и формулировки всех остальных изученных теорем.

Ученик должен уметь:

Уметь применять теорему Фалеса при решении задач; использовать знания о симметрии при решении задач, решать более сложные задачи.

Типовые задания:

К.р. № 1: 2 и 3 уровни (приложение).

1) Ответственное отношение к учению, готовность и способность обучающегося к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.

2) Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной
задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры. 3) Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта. 4) Креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.
5) Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
6) Способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений. 7)Формирование коммуникативной компетентности в общении со сверстниками и старшими в образовательной деятельности.

1.Познавательные:умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения, умозаключения (индуктивные, дедуктивные, по аналогии) и выводы; умения создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач. 2.Регулятивные:способность самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач; умение осуществлять контроль по образцуи вносить необходимые коррективы; способность адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения. 3.Коммуникативные: развитие способности организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками (определять цели, распределять функции и роли, взаимодействовать и находить общие способы работы, работать в группе, разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов, слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение)

3

Площадь

18

постановка учебной задачи;

проблемные вопросы;

создание проблемной ситуации;

самостоятельная работа с учебником;

эвристическая беседа;

сравнение, сопоставление;

анализ, выявление причинно-следственных связей;

самоанализ и самооценка;

взаимопроверка и взаимооценка;

формулировка выводов;

подведение итогов работы.

.

1. Ученик научится (базовый уровень)

Ученик должен знать:

Знать свойства площадей и формулы для вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, трапеции, треугольника; теорему Пифагора и обратную ей теорему.

Ученик должен уметь:

Уметь применять основные свойства площадей и формулы при решении несложных задач; применять теорему Пифагора и обратную ей теорему при решении задач.

Типовые задания:

К.р. № 2: 1 уровень (приложение).

2. Ученик получит возможность научиться (повышенный уровень)

Ученик должен знать:

Знать формулировки и доказательства всех изученных теорем, знать наизусть формулы площадей изученных фигур.

Ученик должен уметь:

Уметь доказывать теорему Пифагора и обратную ей теорему, уметь выводить формулы для вычисления площадей параллелограмма, трапеции, треугольника, применять знания при решении более сложных задач.

Типовые задания:

К.р. № 2: 2 и 3 уровни (приложение).

1) Ответственное отношение к учению, готовность и способность обучающегося к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.

2) Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной
задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры. 3) Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта. 4) Креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.
5) Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
6) Способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений. 7)Формирование коммуникативной компетентности в общении со сверстниками и старшими в образовательной деятельности.

1.Познавательные:умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения, умозаключения (индуктивные, дедуктивные, по аналогии) и выводы; умения создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач. 2.Регулятивные:способность самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач; умение осуществлять контроль по образцуи вносить необходимые коррективы; способность адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения. 3.Коммуникативные: развитие способности организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками (определять цели, распределять функции и роли, взаимодействовать и находить общие способы работы, работать в группе, разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов, слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение)

4

Подобные треугольники

24

постановка учебной задачи;

проблемные вопросы;

создание проблемной ситуации;

самостоятельная работа с учебником;

эвристическая беседа;

сравнение, сопоставление;

анализ, выявление причинно-следственных связей;

самоанализ и самооценка;

взаимопроверка и взаимооценка;

формулировка выводов;

подведение итогов работы.

.

1. Ученик научится (базовый уровень)

Ученик должен знать:

Знать определение пропорциональных отрезков и подобных треугольников, теорему об отношении площадей подобных треугольников и свойство биссектрисы треугольника; признаки подобия треугольников; теоремы о средней линии треугольника, точке пересечения медиан треугольника и пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Определения синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Значения синуса, косинуса, тангенса для углов 30, 45, 60.

Ученик должен уметь:

Уметь применять изученные определения и теоремы при решении задач, с помощью циркуля и линейки делить отрезок в данном отношении и решать задачи на построение.

Типовые задания:

К.р. № 3: 1 уровень (приложение).

2. Ученик получит возможность научиться (повышенный уровень)

Ученик должен знать:

Знать свойство биссектрисы треугольника; утверждения, сформулированные в задачах № 556, 558. все утверждения и теоремы, теоремы Чевы и Менелая.

Ученик должен уметь:

Уметь доказывать: признаки подобия треугольников; теорему о средней линии треугольника; основное тригонометрическое тождество; решать более сложные задачи.

Типовые задания:

К.р. № 3: 2 и 3 уровни (приложение).

1) Ответственное отношение к учению, готовность и способность обучающегося к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.

2) Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной
задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры. 3) Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта. 4) Креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.
5) Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
6) Способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.

1.Познавательные:умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения, умозаключения (индуктивные, дедуктивные, по аналогии) и выводы; умения создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач. 2.Регулятивные:способность самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач; умение осуществлять контроль по образцуи вносить необходимые коррективы; способность адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения. 3.Коммуникативные: развитие способности организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками (определять цели, распределять функции и роли, взаимодействовать и находить общие способы работы, работать в группе)

5

Окружность

21

постановка учебной задачи;

проблемные вопросы;

создание проблемной ситуации;

самостоятельная работа с учебником;

эвристическая беседа;

сравнение, сопоставление;

анализ, выявление причинно-следственных связей;

самоанализ и самооценка;

взаимопроверка и взаимооценка;

формулировка выводов;

подведение итогов работы.

.

1. Ученик научится (базовый уровень)

Ученик должен знать:

Знать возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности, определение касательной, свойство и признак касательной; какой угол называется центральным и какой вписанным, как определяется градусная мера дуги окружности, теорему о вписанном угле, следствия из нее и теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд; теоремы биссектрисе угла и о серединном перпендикуляре к отрезку, их следствия, а также теорему о пересечении высот треугольника; определения вписанной и описанной окружности в (около) многоугольника; теоремы об окружности, вписанной в треугольник, и об окружности, описанной около треугольника; свойства вписанного и описанного четырехугольников.

Ученик должен уметь:

Уметь решать несложные задачи: строить касательные окружности; строить центральные и вписанные углы; строить биссектрисы углов; высоты треугольников; строить окружности вписанные и описанные около треугольника.

Типовые задания:

К.р. № 4: 1 уровень (приложение).

2. Ученик получит возможность научиться (повышенный уровень)

Ученик должен знать:

Знать формулировки изученных теорем, утверждения в задачах № 724 и 729.

Ученик должен уметь:

Уметь доказывать: изученные теоремы; свойство и признак касательной; решать более сложные задачи.

Типовые задания:

К.р. № 4: 2 и 3 уровни (приложение).

1) Ответственное отношение к учению, готовность и способность обучающегося к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.

2) Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной
задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры. 3) Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта. 4) Креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.
5) Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
6) Способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений. 7)Формирование коммуникативной компетентности в общении со сверстниками и старшими в образовательной деятельности.

1.Познавательные:умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения, умозаключения (индуктивные, дедуктивные, по аналогии) и выводы; умения создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач. 2.Регулятивные:способность самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач; умение осуществлять контроль по образцуи вносить необходимые коррективы; способность адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения. 3.Коммуникативные: развитие способности организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками (определять цели, распределять функции и роли, взаимодействовать и находить общие способы работы, работать в группе, разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов, слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение)

6

Векторы

18

постановка учебной задачи;

проблемные вопросы;

создание проблемной ситуации;

самостоятельная работа с учебником;

эвристическая беседа;

сравнение, сопоставление;

анализ, выявление причинно-следственных связей;

самоанализ и самооценка;

взаимопроверка и взаимооценка;

формулировка выводов;

подведение итогов работы.

.

1. Ученик научится (базовый уровень)

Ученик должен знать:

Знать определение вектора, коллинеарных, сонаправленных, противоположно направленных, равных векторов, понятие суммы и разности векторов, произведения вектора на число.

Ученик должен уметь:

Уметь откладывать от точки плоскости вектор, равный данному, строить сумму и разность векторов по правилам треугольника, параллелограмма, многоугольника, решать задачи с помощью векторов.

Типовые задания:

1. Точки и - середины сторон и треугольника , а точки и лежит на стороне , причем , , .

а) Выразите векторы , , через векторы и .

б) Докажите с помощью векторов, что .

2. Большее основание трапеции относится к средней линии как 4 : 3, а меньшее основание равно 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.

2. Ученик получит возможность научиться (повышенный уровень)

Ученик должен знать:

Знать доказательства теорем о векторах.

Ученик должен уметь:

Уметь доказывать законы операций с векторами, применять знания в нестандартных, более сложных задачах.

Типовые задания:

1. В треугольнике - точка пересечения медиан , и . Постройте вектор и найдите его длину, если длина медианы равна .

2. В параллелограмме точки и лежат на стороне , а точка - на стороне , причем , . Выразите вектор через векторы и , если , .

3. Докажите, что если в равнобедренной трапеции высота равна средней линии, то ее диагонали взаимно перпендикулярны.

1) Ответственное отношение к учению, готовность и способность обучающегося к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.

2) Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной
задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры. 3) Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта. 4) Креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.
5) Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
6) Способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений. 7)Формирование коммуникативной компетентности в общении со сверстниками и старшими в образовательной деятельности.

1.Познавательные:умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения, умозаключения (индуктивные, дедуктивные, по аналогии) и выводы; умения создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач. 2.Регулятивные:способность самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач; умение осуществлять контроль по образцуи вносить необходимые коррективы; способность адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения. 3.Коммуникативные: развитие способности организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками (определять цели, распределять функции и роли, взаимодействовать и находить общие способы работы, работать в группе, разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов, слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение)

7

Итоговое повторение (3 часов)

№ урока

Дата

Тема урока

Коррекция

Вводное повторение(3 ч)

1/1

Признаки равенства треугольников, соотношения между сторонами и углами треугольника.

2/2

Свойства равнобедренного треугольника. Признаки и свойства параллельных прямых.

3/3

Входная диагностика

Глава 5. Четырехугольники (18 ч)

4/1

Многоугольники. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.

5/2

Параллелограмм. Свойства параллелограмма.

6/3

Параллелограмм. Признаки параллелограмма

7/4

Свойства и признаки параллелограмма

8/5

Трапеция. Виды и элементы трапеции.

9/6

Свойства трапеции.

Признаки равнобедренной трапеции.

10/7

Трапеция. Свойства и признаки.

11/8

Теорема о средней линии треугольника

12/9

Теорема о средней линии трапеции.

13/10

Теорема Фалеса. Теорема Вариньона.

14/11

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

15/12

Прямоугольник. Свойства и признаки прямоугольника.

16/13

Ромб и квадрат. Свойства и признаки.

17/14

Осевая и центральная симметрия

18/15

Решение задач по теме: «Четырёхугольники».

19/16

Решение задач по теме: «Четырёхугольники».

20/17

Контрольная работа № 1по теме «Четырехугольники»

21/18

Анализ контрольной работы

Глава 6. Площадь (18 ч)

22/1

Понятие площади многоугольника. Свойства площадей

23/2

Равносоставленные многоугольники.

24/3

Площадь квадрата, прямоугольника.

25/4

Площадь параллелограмма

26/5

Площадь параллелограмма. Решение задач.

27/6

Площадь треугольника

28/7

Площадь трапеции

29/8

Решение задач по теме: «Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции»

30/9

Теорема об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.

31/10

Теорема Пифагора

32/11

Обратная теорема Пифагора.

33/12

Приложения теоремы Пифагора.

34/13

Формула Герона.

35/14

Решение задач по теме: «Теорема Пифагора»

36/15

Решение задач по теме: «Площади фигур»

37/16

Решение задач по теме: «Площади»

38/17

Контрольная работа № 2 по теме «Площади»

39/18

Анализ контрольной работы

Глава 7. Подобные треугольники (24 ч)

40/1

Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники

41/2

Подобные треугольники. с.р.

42/3

Решение задач по теме: «Определение подобных треугольников»

43/4

Отношение площадей подобных треугольников.

44/5

Свойство биссектрисы треугольника.

45/6

Первый признак подобия треугольников

46/7

Первый признак подобия треугольников

47/8

Второй признак подобия треугольников.

48/9

Третий признак подобия треугольников.

49/10

Решение задач по теме: «Подобные треугольники»

50/11

Решение задач и подготовка к контрольной работе по теме: «Подобные треугольники» Проверочная работа.

51/12

Контрольная работа № 3по теме «Подобные треугольники»

52/13

Работа над ошибками.

53/14

Средняя линия треугольника.

54/15

Свойство медиан треугольника.

55/16

Деление отрезка в данном отношении. Обобщение теоремы Фалеса.

56/17

Теоремы Чевы и Менелая.

57/18

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

58/19

Практические приложения подобия треугольников. Задачи на построение.

59/20

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество

60/21

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°.

61/22

Решение задач по теме: «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника».

62/23

Контрольная работа 4 по теме: «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника».

63/24

Анализ контрольной работы

Глава 8. Окружность (21 ч)

64/1

Взаимное расположение прямой и окружности

65/2

Касательная к окружности. Свойство и признак.

66/3

Свойство и признак касательной. Касательная к кривой линии.

67/4

Взаимное расположение двух окружностей.

68/5

Решение задач по теме: «Касательная к окружности»

69/6

Градусная мера дуги окружности. Центральный угол.

70/7

Вписанный угол. Теорема о вписанном угле.

71/8

Углы между хордами и секущими

72/9

Углы между хордами и секущими

73/10

Теорема о квадрате касательной.

74/11

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

75/12

Решение задач по теме: «Углы, связанные с окружностью»

76/13

Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.

77/14

Теорема о пересечении высот треугольника.

78/15

Четыре замечательные точки треугольника

79/16

Вписанная окружность.

80/17

Описанная окружность

81/18

Решение задач по теме: «Вписанная окружность. Описанная окружность».

82/19

Решение задач по теме: «Окружность»

83/20

Контрольная работа № 5 по теме «Окружность»

84/21

Анализ контрольной работы

Глава 9. Векторы (15 ч)

85/1

Понятие вектора

86/2

Равные векторы.

87/3

Сложение векторов Правило треугольника.

88/4

Сложение векторов Правило параллелограмма.

89/5

Сумма более двух векторов. Правило многоугольника. Законы сложения.

90/6

Разность двух векторов.

91/7

Построение разности векторов двумя способами.

92/8

Умножение вектора на число.

93/9

Свойства умножения вектора на число

94/10

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

95/11

Применение векторов к решению задач. Теорема о средней линии трапеции.

96/12

Деление отрезка в данном отношении.

97/13

Решение задач и доказательство теорем с применением векторов.

98/14

Контрольная работа № 6 по теме «Векторы»

99/15

Анализ контрольной работы

Итоговое повторение (3 ч)

100/1

Четырёхугольники. Площадь многоугольника.

101/2

Подобные треугольники.

102/3

Окружность.

Диагностическая работа

I вариант

1. Луч AD – биссектриса угла А, На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что <ADB = < ADC, Докажите, что АВ = АС.

2. Отрезок DM – биссектриса треугольника CDE. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если < CDE = 68⁰.

3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны треугольника.

4. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высотуNK в точке О, причем ОК = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой MN.

II вариант

1. На сторонах углаD отмечены точки М и К так, что DM = DK. Точка P лежит внутри угла D и PK = PM. Докажите, что луч DP – биссектриса угла MDK.

2. Отрезок AD – биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АC в точке F. Найдите углы треугольника АDF, если < BAC = 72⁰.

3. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 12 см. Найдите стороны треугольника.

4. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектрисаEF, причем FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE.

Контрольная работа № 1

1 уровень

I вариант

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке О, . Найдите

Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен 20⁰.

Стороны параллелограмма относятся как 1 : 2,

а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма.

В равнобедренной трапеции сумма углов при большем основании равна 96⁰. Найдите углы трапеции.

* Высота , проведенная из вершины угла ромба , образует со стороной угол 30⁰, Найдите длину диагонали ромба, если точка лежит на стороне

II вариант

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке О, . Найдите

Найдите углы равнобедренной трапеции, если один из ее углов на 30⁰ больше второго.

Стороны параллелограмма относятся как 3 : 1, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма.

В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боковых сторон равна 48⁰. Найдите углы трапеции.

* Высота , проведенная из вершины угла ромба , образует со стороной угол 30⁰, длина диагонали равна 6 см. Найдите , если точка лежит на продолжении стороны

2 уровень

I вариант

Периметр параллелограмма равен 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.

Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каждая из них делит угол прямоугольника в отношении 4 : 5.

Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является его высотой и равна одной из его сторон.

В трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне , Найдите длину , если периметр трапеции равен 60 см.

* В параллелограмме биссектрисы углов и пересекаются в точке На прямых и взяты точки так, что Биссектрисы углов пересекаются в точке ,. Найдите

II вариант

Периметр параллелограмма равен 60 см. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.

Угол между диагоналями прямоугольника равен 80⁰. Найдите угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника.

Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является его высотой и равна половине неперпендикулярной к ней стороны параллелограмма.

В трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой угла Найдите длину , если периметр трапеции равен 35 см,.

* В параллелограмме Биссектрисы углов и пересекаются в точке На прямых и взяты точки так, что Биссектрисы углов пересекаются в точке .

Найдите

3 уровень

I вариант

В равнобокой трапеции длина боковой стороны равна , длины оснований равны Найдите углы трапеции.

В параллелограмме известно, что ,,. Найдите расстояния от вершин B и D до биссектрисы .

В ромбе биссектриса угла перпендикулярна стороне . Найдите углы ромба.

Внутри квадрата выбрана точка так, что треугольник – равносторонний. Найдите угол .

* Биссектриса угла С параллелограмма пересекает сторону в точке М и продолжение стороны за точку A – в точке N. Найдите периметр параллелограмма, если .

II вариант

В равнобокой трапеции боковая сторона равна меньшему основанию, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.

В параллелограмме ,,. Найдите расстояния от вершин M и P до биссектрисы .

Высота ромба делит его сторону пополам. Найдите углы ромба.

Внутри квадрата выбрана точка так, что треугольник – равносторонний. Найдите угол .

* В параллелограмме биссектриса угла А пересекает сторону в точке F и продолжение стороны за точку C – в точке E. Найдите периметр параллелограмма, если

Контрольная работа № 2

1 уровень

I вариант

Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника.

Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8 и 10 см.

* В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна см, , а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции

II вариант

Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше стороны. Найдите площадь треугольника.

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и гипотенузу треугольника.

Диагонали ромба равны 10 и 12 см. Найдите его площадь и периметр.

* В прямоугольной трапеции АВСD большая боковая сторона равна 8 см,, а высота BН делит основание АD пополам. Найдите площадь трапеции

2 уровень

I вариант

Смежные стороны параллелограмма равны 52 и 30 см, а острый угол равен 30⁰. Найдите площадь параллелограмма.

Вычислите площадь трапеции с основаниями , если

Дан треугольник На стороне АС отмечена точка К так, что АК = 6 см, КС = 9 см. Найдите площади треугольников АВК и СВК, если АВ = 13 см, ВС = 14 см.

* Высота равностороннего треугольника равна 6 см. Найдите сумму расстояний от произвольной точки, взятой внутри этого треугольника, до его сторон.

II вариант

Высота ВК, проведенная к стороне AD параллелограмма , делит эту сторону на два отрезка АК = 7 см и KD = 15 см. Найдите площадь параллелограмма, если .

Вычислите площадь трапеции с основаниями , если

Дан треугольник МКРНа стороне МК отмечена точка Т так, что МТ = 5 см, КТ = 10 см. Найдите площади треугольников МРТ и КРТ, если МР = 12 см, КР = 9 см.

* В разностороннем треугольнике большая сторона составляет 75% суммы двух других. Точка М, принадлежащая этой стороне, является концом биссектрисы треугольника. Найдите расстояние от точки М до меньшей стороны треугольника, если меньшая высота треугольника равна 4 см.

3 уровень

I вариант

На стороне AD параллелограмма взята точка Е так, что АE = 4 см, ED = 5 см, ВЕ = 12 см, BD = 13 см. Найдите площадь параллелограмма.

В остроугольном треугольнике проведены высоты АК и СЕ, СЕ = 12 см, ВЕ = 9 см, АК = 10 см. Найдите АС.

В равнобедренной трапеции AD высота ВК = 1 см, ВС = 2см. Найдите площадь треугольника KMD, если М – середина отрезка BD .

* В выпуклом четырехугольнике проведены диагонали. Известно, что площади треугольников ABD,ACD,BCD равны. Докажите, что данный четырехугольник является параллелограммом.

II вариант

В трапеции AD – большее основание, СК – высота, АВ = 5 см. На отрезке АК взята точка Е так, что АЕ = 3 см, ЕК = 6 см, КD = 1 см, ВЕ = 4 см. Найдите площадь трапеции.

В треугольнике угол А тупой, ВК и CD – высоты, ВК = 12 см, АК = 9 см, CD = 10 см. Найдите AD.

В параллелограмме , диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ. Прямая, проходящая через середину отрезкаBD – точку М параллельно AD, пересекает сторону АВ в точке К, МК = 4 см. Найдите площадь треугольникаAMD.

* В выпуклом четырехугольнике проведены диагонали. Известно, что площади треугольников ABD и ACD равны, а площади треугольников ACD и BCD не равны. Докажите, что данный четырехугольник является трапецией.

Контрольная работа № 3

1 уровень

I вариант

Дано:, СО = 4, DO = 6, АО = 5.

Найти: а) ОВ; б) АС : BD; в) .

В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 7 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK МК = 8 см, MN = 12 см, KN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если

Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК АС,

ВМ : АМ = 1 : 4. Найдите периметр ВМК, если периметр АВС равен 25 см.

* В трапеции АВСD (AD и BC – основания) диагонали пересекаются в точке О, AD = 12 см,

ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см²

II вариант

Дано:, MP = 8, MN = 12, ME = 6.

Найти: а) MK; б) PE : NK; в) .

В треугольнике АВС АВ = 12 см, ВС = 18 см,

, а в треугольнике MNK MN = 6 см,

NK = 9 см. . Найдите сторону АС и угол С АВС, если МК = 7 см

Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О так, что , АО : ОВ = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см.

* В трапеции АВСD (AD и BC – основания) диагонали пересекаются в точке О, , Найдите меньшее основание трапеции, если большее равно 10 см.

2 уровень

I вариант

Дано: АО = 6,8 см, СО = 8,4 см, ОВ = 5,1 см,

OD = 6,3 см. Доказать: АСBD.

Найти:а)DB : АС; б) ; в)

Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О, BD = 16 см. На стороне АВ взята точка К так, что ОК и ОК = 4см. Найдите сторону ромба и вторую диагональ.

В выпуклом четырехугольнике АВСD АВ = 9 см, ВС = 8 см, CD = 16 см, AD = 6 см, BD = 12 см. Докажите, что АВСD – трапеция.

* В равнобедренном треугольнике MNK

с основанием МК, равным 10 см, MN = NK = 20 см. На стороне NK лежит точка А так, что

АК : AN = 1 : 3. Найдите АМ.

II вариант

Дано: BD = 3,1 см, ВЕ = 4,2 см, ВА = 9,3 см,

ВС = 12,6 см. Доказать: DЕАС.

Найти:а)DЕ : АС; б) ; в)

Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. На стороне АВ взята точка К так, что ОК ,

АК = 2 см, ВК = 8 см. Найдите диагонали ромба.

АВСD – выпуклый четырехугольник, АВ = 6 см,

ВС = 9 см, СD = 10 см, DA = 25 см, АС = 15 см. Докажите, что АВСD – трапеция.

* В равнобедренном треугольнике АВС

АВ = ВС = 40 см, AC = 20 см. На стороне ВС отмечена точка Н так, что ВН : НС = 3 : 1.

Найдите АН.

3 уровень

I вариант

К диагонали АС прямоугольника проведен перпендикуляр DЕ так, что АЕ = 8 см, СЕ = 4 см. Найти: а) АВ : ВС; б) ; в)

АВСD – прямоугольная трапеция ( ). Точка Е лежит на основании AD так, что СЕ AD и АE = DE. Точка О – середина диагонали АС.

Доказать: ВО : ВС = CD : AD.

Найти: площадь пятиугольника , если площадь треугольника равна 20 см².

ДиагональBD трапеции делит ее на два подобных треугольника. Найдите BD, если основания ВC и AD равны 8 см и 12,5 см соответственно.

* На сторонах MN и NK треугольника MNK взяты точки А и В соответственно так, что. . Отрезок NE является биссектрисой ,

АЕ : ВЕ = 2 : 3. Найдите отношение NK к MN.

II вариант

К диагонали BD прямоугольника проведен перпендикуляр AK так, что BK = 5 см, DK = 15 см. Найти: а) ВС : CD; б) ; в)

В прямоугольной трапеции АВСD. Точка K лежит на основании AD так, что АK = KD и BK ВC. Точка О – середина диагонали BD.

Доказать:AB : AD = BO : BC.

Найти: площадь треугольника , если площадь пятиугольникаравна 30 см².

ДиагональAC трапеции равна 8 см и делит ее на два подобных треугольника. Найдите основание BС, если AD равно 16 см.

* На сторонах PO и PS треугольника OPS взяты точки А и В соответственно так, что. . Биссектриса PС треугольника OPS делит сторону OS на два отрезка так, что ОС : CS = 4 : 3. Найдите отношение PB к PA.

Контрольная работа № 4

1 уровень

I вариант

Средние линии треугольника относятся как 2 : 2 : 4, а периметр треугольника равен 45 см. Найдите стороны треугольника.

Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая стороны АВ и ВС в точках E и F соответственно. Найдите EF, если сторона АС равна 15 см.

В прямоугольном треугольнике АВС ( АС = 5 см, ВС = 5см. Найдите угол В и гипотенузу АВ.

В треугольнике АВС , ВС = 7 см, ВН – высота. Найдите АН.

В трапеции АВСD продолжения боковых сторон пересекаются в точке К, причем точка В – середина АК. Найдите сумму оснований трапеции, если AD = 12 см.

II вариант

Стороны треугольника относятся как 4 : 5 : 6, а периметр треугольника, образованного его средними линиями, равен 30 см. Найдите средние линии треугольника.

Медианы треугольника MNK пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне MK и пересекающая стороны MN и NK в точках A и B соответственно. Найдите MK, если сторона АB равна 12 см.

В прямоугольном треугольнике PKT ( PT = 7см, KT = 7 см. Найдите угол K и гипотенузу KP.

В треугольнике АВС , высота ВН равна 4 см. Найдите АС.

В трапеции MNKP продолжения боковых сторон пересекаются в точке E, причем EK = KP. Найдите разность оснований трапеции, если NK = 7 см.

2 уровень

I вариант

На стороне СВ треугольника АВС выбрана точка D так, что BD : DC = 3 : 2, точка К – середина отрезка АВ, точка F – середина отрезка AD, KF = 6 см, . Найдите ВС и .

В прямоугольном треугольнике АВС ( АC = 4 см, СВ = 4см, СМ – медиана. Найдите угол ВСМ.

В равнобедренной трапеции основания равны 8 и 12 см, меньший угол равен . Найдите периметр и площадь трапеции.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медианы пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если ОА = 13 см, ОВ = 10 см.

В трапеции ABCD (ВСAD) АВBD, BD = 2 , AD = , СЕ – высота треугольника BCD, а tg. Найдите ВЕ.

II вариант

На стороне АМ треугольника АВМ выбрана точка Н так, что АН : НМ = 4 : 7, точка С – середина стороны ВН, АМ = 22 см, . Найдите СO и

В прямоугольном треугольнике MNK ( KM = 6 см, NK = 6см, KD – медиана. Найдите угол KDN..

В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 6 см, меньшее основание 10 см, а меньший угол равен . Найдите периметр и площадь трапеции.

В прямоугольном треугольнике АВС (медианы пересекаются в точке О, ОВ = 10 см, ВС = 12 см. Найдите гипотенузу треугольника.

В трапеции ABCD, АС = 6 , ВС = 6, DЕ – высота треугольника ACD, а tg. Найдите CЕ.

3 уровень

I вариант

В прямоугольном треугольнике АВС ( BC = 1 м, . В каком отношении делит гипотенузу высота, проведенная к ней?

В прямоугольном треугольнике АВС (медианы СК и ВМ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О. Найдите гипотенузу АВ, если ОМ = см.

Диагональ АС равнобедренной трапеции перпендикулярна к боковой сторонеCD, ВЕ АС (Е АС), основания трапеции равны 10 см и 8 см. Найдите АЕ : ЕС.

В равнобедренном треугольнике АВС угол при основании ВС равен . Найдите отношение высот BN и AM.

В прямоугольнике на сторонах АВ и CD отмечены точки M и N так, что АМ : МВ = 1 : 3, CN : ND = 2 : 5. Найдите отношение площадей четырехугольников AMND и MBCN.

II вариант

В прямоугольном треугольнике MNK ( KN = 1 дм, . В каком отношении делит гипотенузу высота, проведенная к ней?

В прямоугольном треугольнике АВС (медианы ВМ и СК пересекаются в точке О. Из точки С на ВМ опущен перпендикуляр СЕ так, что МЕ = 20 см. Найдите гипотенузу АВ, если МС = 30 см, точка О лежит на отрезке МЕ.

В равнобедренной трапецииоснования равны 5 см и 13 см. ДиагональBD перпендикулярна к боковой стороне АВ, СКBD (KBD). Найдите BK : RD.

В равнобедренном треугольнике MNK угол при основании MK равен . Найдите отношение высот ME и NH.

В прямоугольнике на сторонах NK и MP отмечены точки E и F так, что NE : EK = 3 : 4, MF : FP = 2 : 3. Найдите отношение площадей четырехугольников MNEF и PKEF.

Контрольная работа № 5

1 уровень

I вариант

АВ и АС – отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О радиуса 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см.

Дано:.

Найти:.

ХордыMN и PK пересекаются в точке Е так, что МЕ = 12 см, NE = 3 см, РЕ = КЕ. Найдите РК.

Окружность с центром О и радиусом 16 см описана около треугольника АВС так, что Найдите стороны АВ и ВС треугольника

II вариант

MN и PK – отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О радиуса 5 см. Найдите длины отрезков MN и MK, если MO = 13 см.

Дано: .

Найти:.

ХордыAB и CD пересекаются в точке F так, что AF = 4 см, BF = 16 см, CF = DF. Найдите CD.

Окружность с центром О и радиусом 12 см описана около треугольника MNK так, что Найдите стороны MN и NK треугольника

2 уровень

I вариант

В треугольник вписана окружность так, что три из шести получившихся отрезков касательных равны 3 см, 4 см, 5 см. Определите вид треугольника.

Точки А и В делят окружность с центров О на дуги АМВ и АСВ так, что дуга АСВ на 60⁰ меньше дуги АМВ, АМ – диаметр окружности. Найдите углы АМВ, АВМ, АСВ.

Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е так, что АE = 3 см, ВЕ = 36 см, СЕ : DE = 3 : 4. Найдите CD и наименьшее значение радиуса этой окружности.

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.

II вариант

В прямоугольный треугольник вписана окружность радиусом 2 см так, что один из получившихся отрезков касательных равен 4 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 24 см.

Точки Е и Н делят окружность с центров О на дуги ЕАН и ЕКН так, что дуга ЕКН на 90⁰ меньше дуги ЕАН, ЕА – диаметр окружности. Найдите углы ЕКА, ЕАН, ЕКН.

ХордыMN и PK пересекаются в точке A так, что MА = 3 см, NA = 16 см, PA : KA = 1 : 3. Найдите PK и наименьшее значение радиуса этой окружности.

В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведенная к ней, равна 12 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.

3 уровень

I вариант

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, и радиус окружности, описанной около треугольника, стороны которого равны 20 см, 26 см, 26 см.

Расстояния от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

Точка М лежит на хорде АВ так, что АМ : ВМ = 4 : 3, АВ = 14 см. Расстояние от центра окружности до точки М равно 4 см. Найдите радиус окружности.

Точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, Найдите

II вариант

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, и радиус окружности, описанной около треугольника, стороны которого равны 16 см, 17 см, 17 см.

Расстояния от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны 9 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

Точка Е делит хорду АВ так, что ВЕ на 1 см меньше АЕ. Радиус окружности равен 9 см, АВ = 15 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки Е.

Точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, Найдите

Контрольная работа № 6

1 уровень

I вариант

Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте векторы, равные: а) ; б) .

На стороне ВС ромба ABCD лежит точка К так, что ВК = КС, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы , через векторы и

В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.

* В треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Выразите вектор через векторы и

II вариант

Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте векторы, равные:а) ;б)3 .

На стороне СD квадрата ABCD лежит точка Р так, что СР = РD, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы , через векторы и

В равнобедренной трапеции один из углов равен 60⁰, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

* В треугольнике MNK О – точка пересечения медиан. ,,. Найдите число .

2 уровень

I вариант

Начертите неколлинеарные векторы , и . Постройте векторы, равные:

а); б) .

На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки К и Е так, что ВК = КС, СЕ : ЕD = 2 : 3. Выразите векторы , через векторы и

В трапеции АВCD, боковые стороны равны 10 и 12 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

* В треугольнике АВС В₁– середина АС, точка А₁ лежит на стороне ВС так, что ВА₁ : А₁С = 1 : 2. Используя векторы докажите, что середина ВВ₁ лежит на прямой АА₁.

II вариант

Начертите неколлинеарные векторы , и . Постройте векторы, равные:

а); б) .

На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отмечены точки M и N так, что AM = MB, AN : ND = 3 : 4. Выразите векторы , через векторы и

В трапеции MNKP, боковые стороны равны 8 и 10 см, а меньшее основание 5 см. Найдите среднюю линию трапеции.

* В трапеции АВСDBC : AD = 1 : 2, Е – середина боковой стороны СВ, точка М лежит на АЕ так, что АМ : МЕ = 4 : 1. Используя векторы докажите, что точка М лежит на диагонали BD.

3 уровень

I вариант

АВСD и ADEF – параллелограммы, имеющие общую сторону. Постройте вектор такой, что .

На стороне CD и диагонали АС параллелограмма ABCD лежат точки Р и Е так, что DP : PC = 3 : 2, AE : EC = 4 : 3. Выразите вектор через векторы и

В прямоугольной трапеции меньшее основание равно меньшей боковой стороне, один из углов , а средняя линия 10 см. Найдите периметр трапеции.

* В трапеции АВСD основания AD и ВС относятся как 3 : 1, Е – середина стороны АВ. Докажите, что .

II вариант

АВСD и CFED – параллелограммы, имеющие общую сторону. Постройте вектор такой, что .

На стороне AB и диагонали BD параллелограмма ABCD лежат точки N и M так, чтоAN : NB = 3 : 2, BM : MD = 5 : 2. Выразите вектор через векторы и

В прямоугольной трапеции меньшее основание в два раза меньше меньшей боковой стороны, один из углов , а средняя линия 14 см. Найдите периметр трапеции.

* В параллелограмме АВСD точка Р – середина отрезка CD, М – середина стороны ВС, отрезки BD и АМ пересекаются в точке О. Докажите, что .