Урок предпрофильного курса по теме: «Метод областей как один их самых рациональных методов решения неравенств и систем неравенств с параметрами»

Сценарий урока предпрофильного курса по теме: «Метод областей как один их самых рациональных методов решения неравенств и систем неравенств с параметрами».

Урок начинается со слов Блез Паскаля (слайд 1,2):

«Крупное научное открытие даёт  решение крупной проблемы , но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия»

Проблема исследования на уроке: подтверждение гипотезы о том, что метод областей является методом интервалов на плоскости.

Предмет исследования урока: неравенства и системы неравенств, содержащие параметры, и методы их решения.(слайд3).

Цели исследования : ( слайды 4, 5).

1.Рассмотреть метод областей как один из приемов решения неравенств и систем неравенств на плоскости..

2. Показать типы задач, которые могут быть решены с помощью данного метода.

3. Научить ребят выбирать те задачи, которые можно решить этим методом.

2.Ребятам предлагается решить неравенство: ≤ 0.

Ученики вспоминают о том, какой способ решения дробно-рациональных неравенств они знают. И пробуют решить неравенство с помощью метода интервалов в группах. Убеждаются, что применение метода интервалов уже в этом случае затруднено, так как взаимное расположение точек, отмечаемых на числовой оси, может изменяться в зависимости от значений параметра. Это означает необходимость сравнивать их между собой и рассматривать различные случаи. Встает вопрос о том, а можно ли по-другому решить данное неравенство, не прибегая к сравнениям. В этой ситуации может помочь метод областей.

3.Учитель сообщает тему урока и рассматривает алгоритм решения неравенств и систем неравенств с параметром методом областей.

Итак, при решении неравенств «методом областей» необходимо: ( слайд 6).

разложить данное неравенство на множители;

найти и построить уравнения заданных функций, разбивающих координатную плоскость на «частичные области»;

определить знак неравенства в каждой из получившихся областей;

ответить на заданный вопрос.

Выясняем общее и различия данного метода с методом интервалов.

4. После этого объясняется решение примера 1 с использованием слайда 7.

Пример 1.Найти все значения а, при которых неравенство

(1) выполняется для всех хиз промежутка 2 ≤ х≤ 3. (2)

Решение. Найдем решение неравенства (1).

На КП-плоскости числитель обращается в нуль на прямой х = 3а + 1, а знаменатель - на прямой х = 2– 2а. Эти прямые разбивают КП-плоскость на четыре частичные области I–IV.

В каждой из частичных областей выражениеF(a,x) с двумя переменными сохраняет знак и меняет его при переходе через границы этих областей. Чтобы установить знакF(a,x) в какой-либо из областей I-IV, достаточно взять любую точку из этой области.

Например, при а = 1, х = 2, F(1, 2) 0. Следовательно, всюду в I области

F(a,x) 0.

Аналогично, определяя знак выражения F(a,x)в других областях, получим, что неравенство выполняется в I и III областях, причем граница х = 3а + 1 является его решением, а граница х = 2– 2а не принадлежит множеству решений рассматриваемого неравенства .

П ересечение данного множества с множеством точек, удовлетворяющих неравенству (2) дает решение неравенства (1) на промежутке 2 ≤ х≤ 3.

Следовательно, неравенство (1) выполняется сразу для всех х из промежутка (2) при а < – и а ≥ _.

Ответ. а < – , а ≥ .

5. Следующий этап: применить метод областей к решению системы неравенств. Для этого решается пример 2 ( слайды 8, 9).

Пример 2.

Найти наименьшее значение параметра а , при котором система имеет хотя бы одно решение:

Н а плоскости (х;а) изобразим множество точек, удовлетворяющих системе.

а )Рассмотрим

f(х;а)=

f(х;a)=0, если

f(1;0)=0-|1|=-1<0

б )

Рассмотрим

f(х;а)=

f (х;a)=0, если

Это квадратичная функция, график – парабола,

Ветви вверх, вершина (1;-1) , х= 1 ось

симметрии. f(1;0)= 1² -2∙1-1=-2<0

Наименьшее значение параметра а, при котором система имеет хотя бы одно решение равно -1.

Ответ: -1.

6. Для закрепления метода областей идет работа в группах. Все решают пример 3. При необходимости обращаются за помощью к учителю. Затем проверяется решение с помощью презентации. ( слайды 10, 11).

7. После этого учитель просит по группам выбрать в предложенных сборниках из С5 те задания, которые можно решить с помощью данного метода. Эти задания даются группам на дом для того, чтобы к следующему уроку они подготовили проект от группы.

В ходе работы делается вывод, что более простым является метод областей. Кроме того этот метод позволяет решить большее количество задач. Часто при решении заданий с параметрами решение аналитическим способом является очень длинным и не всегда рациональным, тогда как решение этих задач методом областей значительно упрощает «выкладки» и дает возможность наглядно увидеть его решение.

Учениками определяются общие признаки задач подходящих под рассматриваемые методы:

В задаче дан один параметр а и одна переменная х.

Они образуют некоторые аналитические выражения F(x,a),G(x,a).

Графики уравнений F(x,a) =0, G(x,a) =0 строятся несложно.

И делается вывод, что метод областей является методом интервалов на плоскости.

( слайд 12).

8.Рефлексия.

Учитель задает вопрос, что понравилось на уроке и предлагает 7 вариантов ответов: (слайд 13).

1.Возможность работать с товарищами в группе.

2.Интересные и занимательные задачи.

3.У меня все здорово получалось.

4.Необычная ситуация.

5.Одобрение учителя .

6.На практике применил свои знания.

Ученики высказывают свои мнения.

9. Урок заканчивается словами Леонардо да Винчи:

«Знания, не рождённые опытом, матерью всякой достоверности, бесплодны и полны ошибок». ( слайд 14).

К уроку прилагается презентация и домашнее задание для групп (приложение 2)..

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/262347-urok-predprofilnogo-kursa-po-teme-metod-oblas