План-конспект урока геометрии в 9 классе «Решение задач»

УУД

Ученик научится или получит возможность научиться на уроке

Результаты освоения программы

личностные

предметные

метапредметные

Формирование познавательных УУД

Целеполагание. Умение структурировать знания, выбор наиболее эффективных способов решения. Построение логической цепочки рассуждений, анализ, обобщение.

Рефлексия способов и условий действия

Проявлять интерес к предмету, занимать позицию по обсуждаемому вопросу, толерантно относиться к мнению других.

Уметь работать с математическим текстом учебника, использовать понятийный аппарат, давать определения, выделять главное, систематизировать и обобщать, сравнивать.

Умение формулировать проблему,строить высказывание.

Определять правильный выбор эффективного способа решения задачи.

Формирование регулятивных УУД

Планирование, адекватно самостоятельно оценивать правильность выполнения действий и вносить свои коррективы.

Контроль. коррекция, волевая саморегуляция.

Умение самостоятельно планировать пути достижения целей.

Обучение способам корректировки своих действий.

Формирование коммуникативных УУД

Формулирование и аргументация своего мнения, учет разных мнений. Сотрудничество. Осуществлять взаимный контроль и оказывать необходимую взаимопомощь в сотрудничестве.

Формирование и аргументация своего мнения.

Формирование умений и навыков в использовании устной и письменной речи, для аргументированного отстаивания своей точки зрения.

Формирование личностных УУД

Готовность и способность к выполнению норм и требований школьной жизни, прав и обязанностей ученика.

Смыслообразование, мотивация на учебную деятельность.

Осознание ответственности за общее дело. Ответственное отношение к учению.

Формировать мотивацию на обучение, обучать навыкам коммуникативной компетентности.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Самоопределение

Давайте прислушаемся к словам поэта Владимира Михановского: «Кто сказал, что в науке поэзии нет? Нужно только понять и увидеть!»

Цель урока: Что-то понять и что-то увидеть!

На уроке мы найдем несколько способов решения одной задачи!

2. Актуализация знаний и фиксирование затруднений

Мини - опрос. (Повторение понятий, формул, теорем, определений)

Участвуют в повторении.

Вспомним, что называется медианой треугольника?

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Какие свойства медианы треугольника вы знаете?

Медиана треугольника делит треугольник на два равновеликих.

Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1считая от вершины.

Чем является медиана в равностороннем треугольнике?

Высотой и биссектрисой

Сформулируйте теорему косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Где находится центр вписанной в треугольник окружности?

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении его биссектрис.

Где находится центр описанной около треугольника окружности?

Центр описанной – на пересечении его серединных перпендикуляров.

Какие формулы вы знаете для нахождения площади треугольника? (для равностороннего треугольника?)

Формула Герона...

Какой отрезок называется средней линией треугольника?

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Какой четырехугольник называется параллелограммом?

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Какая формула связывает диагонали и стороны параллелограмма?

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

3. Постановка учебной задачи и построение проекта выхода из ситуации

Индивидуальная работа. Зафиксируйте выявленные проблемы. Найдите нужную формулу, свойства, теорему, обращаясь к учебнику.

Выполняют поиск нужного определения, свойства, формулы.

4. Закрепление с проговариванием во внешней речи

Предлагаю найти несколько способов решения этой задачи: В равнобедренном треугольнике с боковой стороной длинной 4 см. проведена медиана к боковой стороне. Найти длину основания треугольника, если длина медианы равна 3 см.

Выполняют построение чертежа

В

2

4 D

3 2

АС

Какой вывод можно сделать?

Посмотрите внимательно на рисунок к задаче, заметим, что АС является стороной двух треугольников АВС и ADC, причем в обоих треугольниках известны две другие стороны. Каким образом можно найти третью сторону?

Третью сторону можно найти по теореме косинусов, но для этого нужно знать величину угла, противолежащего неизвестной стороне.

Таким образом, задача свелась к нахождению величин углов АВС и ADC. Какой из углов можно найти?

Анализируя рисунок, замечаем, что в треугольнике АВD известны все три стороны. Следовательно,можно вычислить по теореме косинусов из треугольника АВD:

Из

не удовлетворяет условию задачи, .

Можно ли эту задачу решить другим способом?

Попробуем применить свойство медианы треугольника заключающегося в том, что медиана делит треугольник на два равновеликих.

Убедите нас в равенстве площадей треугольников АDB и АDC!

Медиана делит треугольник на два равновеликих. У них равные основания и одна и та же высота. По этому площади этих треугольников равны.

Приглашаю к доске ученика, подготовившего второй способ решения.

Раз мы заговорили о площади треугольника, обратите внимание на то, что в треугольнике ADB известны все три стороны.

Использует презентацию.

Следовательно, площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона. Значит, станет известна площадь и треугольника ADC.

Пустьтогда

составляем уравнение:

Получили иррациональное уравнение. Чтобы его решить возведем обе части уравнения в квадрат и сделаем проверку корней. Так как при возведении обеих частей уравнения в квадрат, могут появиться лишние корни.

получили биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной:

возвращаемся в нашу подстановку:

АС =

Сделаем проверку корней. Отрицательные корни, очевидно, не подходят по смыслу задачи.

Присм. треугольник АВС получается равносторонним, следовательно, медиана АD является высотой. Значит треугольникADC – прямоугольный. Применяя теорему Пифагора для прямоугольного треугольникаADC, получаем, что , что противоречит условию. Следовательно,.

Это противоречие можно доказать, используя формулу высоты в равностороннем треугольнике

Какой вывод можно сделать, сравнивая эти способы решения?

Они примерно равнозначны, но во втором способе вычисления оказались намного сложнее и, кроме того, пришлось проверять, почему см. не удовлетворяет условию задачи.

Предлагаю решить эту задачу,используя дополнительные построения внутри треугольника. Если провести все три средние линии треугольника, то можно решить задачу, используя свойство диагоналей и сторон параллелограмма.

Попробуем?

Учащиеся выполняют дополнительные построения:

В

2

M D

3 2

АN C

Докажите, что четырехугольник AMDN – параллелограмм.

(по свойству средней линии треугольника). Четырехугольник, в котором противолежащие стороны равны и параллельны, является параллелограммом.

Какая формула связывает диагонали и стороны параллелограмма?

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Приглашаю к доске ученика, подготовившего решение задачи, основываясь на свойстве диагоналей и сторон параллелограмма.

Использует презентацию.

Пусть, тогда

Составляем уравнение:

не удовлетворяет условию задачи.

До сих пор все дополнительные построения проводились нами внутри треугольника.А что, если мы выйдем за пределы данного треугольника. Посмотрим на треугольник как часть какой-то фигуры, какого-то четырехугольника?

Приглашаю ученика для построения чертежа к этой задаче.

Достроим треугольник до параллелограмма.

ВK

2 3

4

3 2

А С

Какие новые данные появились в условии задачи?

В полученном параллелограмме известны обе диагонали (6 и 4 ) и одна из сторон.

Предложите решение задачи?

Применив теорему о сумме квадратов сторон параллелограмма, получим АС.

Попробуйте решить эту задачу самостоятельно

Какой вывод можно сделать, сравнивая способы решения при дополнительных построениях?

Способ с дополнительными построениями за пределами треугольника самый рациональный, более интересный, оригинальный.

Решение в одну строчку.

5. Самостоятельная работа и проверка по эталону.

Сформулируйте условие аналогичной задачи для равностороннего треугольника

Так как стороны треугольника равны, следовательно, достаточно указать длину медианы.

Задача: В равностороннем треугольнике проведена медиана к одной из сторон. Найдите стороны треугольника, если длина медианы равна 3 см.

Предлагаю решить вам задачу в общем виде: Найти стороны равностороннего треугольника, если длина медианы равнаm . Найти периметр треугольника, площадь треугольника, радиусы вписанной и описанной окружностей.

Учащиеся выполняют задание самостоятельно, в парах

Так как медиана в равностороннем треугольнике является высотой, а высота находится по формуле , то;

Так как площадь равностороннего треугольника находится по формуле , то ;

.

;

6. Самоконтроль и самооценка

7. Рефлексия учебной деятельности 

Что мы вспомнили при решении нашей задачи?

Ученики подводят итоги своей работы, анализируя, что им удалось, а что осталось для самостоятельной проработки.

Определение и свойства медиан треугольника.

Определение и свойства средней линии треугольника.

Где находятся центр вписанной в треугольник окружности и описанной около треугольника окружности.

Что задачу можно решить путем дополнительных построений внутри треугольника.

Что задачу можно решить путем дополнительных построений за пределами треугольника.

Формулу Герона.

Формулу, связывающую стороны и диагонали параллелограмма.

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способы решения этой задачи мы определили не все. Еще можно решить эту задачу, используя теорему Фалеса. Попробуйте найти этот способ!

Но этот способ мы рассмотрим на следующем уроке.