План- конспект на тему «Предел функции на бесконечности»

Ход урока

Время (минута)

Действия преподавателя

Действия обучающихся

Учебные материалы и ресурсы

1

2

3

4

5

Организационный этап

4 мин

Приветствовать обучающихся, отметить отсутствующих.

Проверить подготовленность обучающихся к учебному занятию(разделить на две команды).

Приветствовать.

Подготовится к учебному занятию.

Проверка выполнения домашнего задания

6 мин

Ответы на вопросы по домашнему заданию.(конспект)

Контроль усвоения материала. Теоремы о пределах, составить кластер на доске.

Ответить на вопросы

Показать домашнее задание.

Подготовка обучающихся к работе на основном этапе

10 мин

Воппрос: «Мое понятие о бесконечности?»

Бесконечность — используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характеристика чисел.

Бесконечность –сколь угодно большое(малое), безграничное число.

Если рассмотреть координатную плоскость то ось абсцисс(ординат) уходит на бесконечность, если ее безгранично продолжать влево или вправо (вниз или вверх).

Сообщение темы и целей уроков.

Цели: Тема «Предел функции на бесконечности»

Участвовать в опросе.

Подготовить тетради и ручки.

Алгебра и начала математического анализа.

Формирование новых знаний и способов деятельности

15 мин

Консультация:

Теперь давайте перейдем к пределу функции на бесконечности:

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч [a; +∞), и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Посмотрим немного другой случай:

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч (-∞; a], и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Предел называется пределом функции f при x стремящемся к бесконечности.

Опр.1. (по Коши). Пусть задана функция y=f(x): X à Y и точка a является предельной для множества X. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для всех xX, удовлетворяющим неравенствам 0 < |x-a| < δ, выполняется |f(x) – A| < ε.

Опр.2.(по Гейне). Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если для любой последовательности {x_n}ε X, x_n≠anN, сходящийся к a, последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к числу A.

Теорема. Определение предела функции по Коши и по Гейне эквиваленты.

Доказательство. Пусть A=lim f(x) – предел функции y=f(x) по Коши и {x_n} X, x_nanN – последовательность, сходящаяся к a, x_n à a.

По данному ε > 0 найдем δ > 0 такое, что при 0 < |x-a| < δ, xX имеем |f(x) – A| < ε, а по этому δ найдем номер n_δ =n(δ) такой, что при n>n_δ имеем 0 < |x_n-a| < δ

Но тогда |f(x_n) – A| < ε, т.е. доказано, что f(x_n)à A.

Пусть теперь число A есть теперь предел функции по Гейне, но A не является пределом по Коши. Тогда найдется ε_o > 0 такое, что для всех nN существуют x_nX, 0 < |x_n-a| < 1/n, для которых |f(x_n)-A| >= ε_o. Это означает, что найдена последовательность {x_n} X, x_n≠anN, x_n à a такая, что последовательность {f(x_n)} не сходится к A.

Внимательно слушать консультацию. Записывать важные информации.

Интернет. Википедия.

Алгебра и начала математического анализа.

Первичная проверка понимания изученного материала

5 мин

Пределы на бесконечности:

-на плюс бесконечности,

-на минус бесконечности,

-на бесконечности.

Ответить на вопросы

Интернет. Википедия.

Закрепление новых знаний и способов деятельности

15 мин

Пример. Найти

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на x

Воспользуемся свойством предел частного равен частному пределов:

Ребята, вспомните предел числовой последовательности

Получим:

Ответ:

Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к бесконечности.

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.

Воспользуемся свойствами предела на бесконечности

Воспользуемся свойствами предела на бесконечности

Предел числителя равен: 5-0=5; Предел знаменателя равен: 10+0=10

Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к бесконечности.

Решение.Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.

Воспользуемся свойствами предела на бесконечности

Предел числителя равен: 0; Предел знаменателя равен: 8

Решить примеры вместе с преподавателем.

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 Мордкович, Москва 2014

Применение знаний и способов деятельности

10 мин

Творческое задание

Составить кластер.

Групповая работа. Составить кластер

Обобщение и систематизация знаний

5 мин

Объяснить межпредметные связи. Приводить примеры из жизни.

Попросить команд приводить похожие примеры.

Контроль и самоконтроль усвоения знаний и способов деятельности

5 мин

Контрольные вопросы

Что означает существование предела функции на бесконечности?

Какую асимптоту имеет график функции y=1/х⁴?

Какие вы знаете правила для вычисления пределов функции на бесконечности?

С какими формулами вычисления пределов на бесконечности вы познакомились?

Ответить на контрольные вопросы.

Коррекция знаний и способов деятельности

5 мин

Скорректировать выявленные недостатки в знаниях обучающихся.

Работа на доске.

Информация о домашнем задании

3 мин

Задание на дом

Конспектировать пройденную тему.

Записать домашнее задание

Алгебра и начала анализа

Подведение итогов занятия и рефлексия

5 мин

Дать качественную оценку работы всей группы и отдельных обучающихся. Рефлексия «Мне понравилось… Мне не понравилось…»