Методические рекомендации по теме «Показательные уравнения и неравенства»

Аметшаева Бахтли Экремовна

МБОУ «Вечерняя средняя школа»

Преподаватель математики

Методические рекомендации по теме «Показательные уравнения и неравенства»

Решение показательных уравнений

УравненияI вида сводятся к уравнению а^m = аⁿ

(а – основание степени

Если а^m = аⁿ, то m = n. m,n – показатели степеней)

Уравнения I вида решаются сведением обеих частей уравнения

к степени с одинаковым основанием.

Примеры:

5² = 5^3x+1 основания степеней в обеих частях уравненияодинаковые (5), то «отбрасываем» основания

2 = 3x +1 (решаем линейное уравнение )

- 3x = -1 Ответ: x =

2) 2^8x+1 = 4 основания степеней в обеих частях уравнения разные ( 2 и 4), то надо привести левую и правую части к степени с одним (одинаковым) основанием

2^8x+1 = 2² решаем, смотри пример 1 ) «отбрасываем» основания

8x + 1 = 2Ответ: x = .

3) основания степеней разные

и числа и 32 не являются целой степенью друг друга,

то надо привести левую и правую части к степени с одним (одинаковым) основанием:

т.к. = 2^-3 , а 32 = 2⁵ ,

то (2^-3)^{x + 3} = (2⁵)^2x-1 ; 2^-3x-9 = 2^{10x -5}; -3x – 9 = 10x - 5; -3x - 10x = -5 + 9;

-13x = 4; Ответ:x = - .

Показательные уравнения II вида .

Решаются при помощи вынесения за скобки общего множителя

3^{x + 1} – 2 3^{x – 2} = 25 Распишем сумму и разность показателей, используя свойства степеней

(по свойству степени а^{m + n} = a^maⁿ; по свойству степени а^{m - n} = a^m: aⁿ )

3^х3 - 23^х : 3² = 25 запишем деление в виде дроби

3^х3 - = 25 общий множитель вынесем за скобки

3^х(3 - ) = 25 выполняем действие в скобках

3^х = 25 делим обе части уравнения на , то 3^х = 9 ; х=2

Ответ: x = 2

Показательные уравнения III вида

сводятся кквадратным при помощи введения новой переменной.

1) 9^х - 4 3^х– 45 = 0 заметим , что 9^х = (3²)^х = (3^х)² , тогда запишем :

(3^х)² - 4 3^х – 45 = 0 обозначим (введем новую переменную) 3^х = m , получим уравнение

m²- 4m - 45 = 0 это квадратное уравнение относительно m, решим его :

D = 196

m₁ = 9 m₂ = -5 вернемся к прежней переменной

3^х = 9 3^х = -5

х = 2 нет решений !!!!

Ответ: х = 2

2) 25^х -6 5^х +5 = 0 заметим , что 25^х = (5²)^х = (5^х)² , тогда запишем :

(5^х)² - 6 5^х +5 = 0 обозначим (введем новую переменную) 5^х = m , получим уравнение

m²- 6m + 5 = 0 это квадратное уравнение относительно m, решим его :

D = 16

m₁ = 5 m₂ = 1 вернемся к прежней переменной

5^х = 5 5^х = 1

х = 1 х = 0

Ответ: х = 1 ; х = 0

Показательные неравенства I вида

( а^m>аⁿ;а^m аⁿ; а^m< аⁿ; а^m аⁿ)решаютсясведением обеих частей неравенства к степени с одинаковым основанием.

НО!!!!! ЕСЛИ 0 < а < 1

1) <!!! < 1 , y = -убывающая функция,

то x >3x – 4 поменяли знак при «отбрасывании» основания и решаем неравенство -2x > - 4 | : (-2) ; x < 2 Ответ:x < 2

2) <сведем левую и правую части неравенства к степени с одним

основанием

<, <

!!! < 1, y = - убывающая функция ,

То, 32 x +4 > 3x поменяли знак при «отбрасывании» оснований и решаем неравенство

32x – 3x > - 4; 29x > - 4 | : 29 ; x > - Ответ:x > -

НО!!!!!! ЕСЛИ а > 1

7^x+3 > 7^5x-1 !!! 7 > 1 ; y = 7^m – возрастающая функция ,

тоx + 3 > 5x-1 cохранили знак при «отбрасывании» основания и решаем линейное неравенство

x - 5x > - 1 – 3 ; - 4x > - 4 | : (-4) ; x < 1 Ответ: x < 1

2) 16 ^{5x – 2} < cведем левую и правую части неравенства к степени с одним

основанием

(2⁴)^5x-2 < 2^-1 ( см решение уравнений I вида)

2^20x-8 < 2 ^-1 !!! 2 > 1 ; y = 2^m – возрастающая функция,

то 20x – 8 < - 1 cохранили знак при «отбрасывании» основания и решаем линейное неравенство

20х < 7 | : 7 ; x < Ответ: x < .

Показательные неравенства II вида

Начало решения аналогично решению уравнений III вида

1) 3^2х – 3^х – 6 < 0 обозначим (введем новую переменную) 3^х = m, получим

неравенство

m² - m – 6 < 0 это квадратное неравенство относительно m,

решим его по алгоритму:

1. найдем корни : m₁ = -2 m₂ = 3

2. применим метод интервалов

-2 < m < 3

вернемся к прежней переменной

-2 < 3^х < 3¹

Левая часть этого двойного неравенства выполняется при любых значения x.

Решаем неравенство правой части 3^х < 3¹ 3>1 ,функция возоастающая, то знак неравенства сохраняем

x< 1 Ответ:x< 1

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/293192-metodicheskie-rekomendacii-po-teme-pokazateln