Разработка открытого урока по теме «Правильные многогранники»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Самарской области

«Сызранский политехнический колледж»

РАССМОТРЕНО И ОДОБРЕНО

цикловой комиссией

спец.дисциплин по специальности 220105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»

Протокол № от

Председатель цикловой комиссии

____________________Пидодня Т.Е.

УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора по учебной работе

___________________Пидодня Т.Е.

Ход урока

Методические

рекомендации

Организационный момент

Объявление темы занятия. Проверка присутствующих на уроке

Мотивационная цель урока

Объявление цели урока

Желательно добиться формулировки цели от студентов с помощью наводящих вопросов

Актуализация опорных знаний

Вопрос: Какая фигура называется многоугольником?

Ответ: Многоугольником называется фигура, образованная замкнутой ломаной линией, а также часть плоскости, ограниченная этой линией. Стороны и вершины этой ломаной линии называются сторонами и вершинами многоугольника, сама ломаная называется контуром многоугольника, а ее периметр – периметром многоугольника.

Вопрос: Какой многоугольник называется выпуклым?

Ответ: Многоугольник называется выпуклым, если его контур есть выпуклая ломаная линия. Ломаная линия называется выпуклой, если она расположена по одну сторону от каждого отрезка, являющегося ее стороной, продолженной неограниченно в обе стороны.

Вопрос: Что такое диагональ многоугольника?

Ответ: Диагональю многоугольника называется отрезок прямой, соединяющий две не последовательные вершины многоугольника.

Вопрос: Какие многоугольники вы знаете?

Ответ: Многоугольник, имеющий три, четыре, пять и т.д. сторон, называется соответственно треугольником, четырехугольником, пятиугольником и т.д.

Вопрос: Что такое правильный многоугольник?

Ответ: Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и углы равны.

Вопрос: Что такое многогранник?

Ответ: Многогранником называется тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины граней – ребрами и вершинами многогранника.

Вопрос: Какой многогранник называется выпуклым?

Ответ: Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждой своей грани, неограниченно продолженной.

Вопрос: Что называют диагоналями многогранника?

Ответ: Отрезки прямых, соединяющие две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями многогранника.

Вопрос: Что такое призма?

Ответ: Призмой называется многогранник, у которого две грани – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами (основания призмы), а все остальные – параллелограммы (боковые грани), плоскости которых параллельны одной и той же данной прямой.

Вопрос: Что называется параллелепипедом?

Ответ: Параллелепипедом называется такая призма, основания которой - параллелограммы.

Вопрос: Что такое пирамида?

Ответ: Пирамидой называется многогранник, одна грань которого многоугольник (основание пирамиды), а все остальные грани треугольники (боковые грани пирамиды), имеющую общую вершину (вершина пирамиды).

Актуализация проводится в форме фронтального опроса. Ответы студентов не оцениваются, так как вопросы формулируются несложные.

В процессе фронтального опроса можно пользоваться мультимедийным проектором, проецируя вопросы на экран.

Изучение нового материала

Вступительное слово учителя.

Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, познакомимся с некоторыми видами многогранников, в частности, с правильными многогранниками; нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? Какие тела носят название тел Кеплера- Пуансо? И многие- многие другие… И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них? Данный материал пригодится нам при изучении темы “Объемы многогранников и при решении задач на комбинацию геометрических тел.

Итак, я приглашаю вас в “Мир многогранников”.

Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”.

Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники – простейшие фигуры на плоскости.

Мы начинаем знакомство с правильных плоских и пространственных фигур. Название “правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Правильные многоугольники – это многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, правильные многогранники – это многогранники, ограниченные правильными и одинаковыми многоугольниками.

До сих пор многоугольники нередко называют в науке по-гречески с окончанием “гон”: полигон – многоугольник, пентагон – пятиугольник (такой формы сверху здание Театра Российской Армии в Москве и Министерства обороны США в Вашингтоне), гексагон – шестиугольник (ячейка пчелиных сот сверху) и т.д.

Каждый из вас знаком с простейшими пространственными математическими фигурами, или многогранниками. По-гречески они оканчиваются на “эдр”. Тетраэдр напоминает пирамиду или треугольный пакет для молока или майонеза; куб, или гексаэдр – это известный всем с раннего детства кубик и т.д.

Рассмотрим развертку вершины многогранника. Каждая вершина может принадлежать трем и более граням.

Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324 - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360° - поэтому останавливаемся.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Эти тела еще называют

телами Платона.

Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих  школах приобретают рассуждения, с  помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.

Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый   или звездчатый пятиугольник.

Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех  основных элементов:  огня, земли, воздуха и воды.

Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера, устанавливающая связь между числом вершин, граней и ребер. В – Р + Г = 2.

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых “Начал” Евклида. Как говорилось раньше, эти многогранники часто называют также Платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли 4 стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух, пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.

Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому было нетрудно, тем более, что эти формы имеют природные кристаллы, например: форму куба имеет монокристалл поваренной соли (NaCl), форму октаэдра – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KAlSO4)2*12H2O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS) и т.д.

Теорема Эйлера. Пусть В --- число вершин выпуклого многогранника, Р --- число его рёбер и Г --- число граней. Тогда верно равенство В-Р+Г=2.

Число=В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То, что эйлерова характеристика равна 2 для некоторых знакомых нам многогранников, видно из таблицы.

Учащиеся вслух проговаривают названия правильных многогранников, глядя на слайд.

Следующий вид многогранников – тела Архимеда. Чем же они отличаются от Платоновых тел? Грани тел Архимеда – правильные многоугольники нескольких типов.

Итак, Архимедовых тел 13, кроме тела на рисунке в центре. Чем же этот многогранник “хуже” остальных архимедовых тел? Архимедовы тела обладают свойством: любые две вершины можно совместить так, что все грани многогранника попарно совпадут друг с другом. Многогранник на рисунке в центре этим свойством не обладает. Древние греки обладали высокоразвитым чувством гармонии и не удивительно, что этот многогранник не попал в число архимедовых тел. В течение двух тысячелетий он находился в “тени” и был “изобретен” в середине нашего столетия независимо несколькими математиками в разных странах. В нашей литературе этот многогранник часто называют телом Ашкинузе, по имени советского математика, который первым обратил на него внимание.

Среди невыпуклых однородных многогранников существуют аналоги платоновых тел - четыре правильных невыпуклых однородных многогранника или тела Кеплера - Пуансо.

Как следует из их названия, тела Кеплера-Пуансо - это невыпуклые однородные многогранники, все грани которых - одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.

Послушаем теперь студентку, которая расскажет, как многогранники используются в различных сферах жизни и деятельности человека:

Многогранники в искусстве. В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да  Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции''. Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия '‘ на переднем плане изобразил додекаэдр.

Многогранники в архитектуре. Наука геометрия  возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. В конечном счете в основе всей техники так или иначе лежит геометрия, потому что она появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров. И технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему и людям искусства геометрическое воображение необходимо, как геометру или архитектору. Математика, в частности геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники и преобразования мира.

    Различные геометрические формы находят свое отражение практически во  во всех отраслях знаний:  архитектура,  искусство. Во всем облике японского строения очевидна идея преобразования пространства, подчинения его новой логике - логике "завоевания" природного ландшафта, которому противопоставлена четкая геометрия проникающих архитектурных форм.

Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц. Пирамида Хуфу, самая дальняя на рисунке, является самой большой. Пирамида его сына находится в середине и смотрится выше, потому что стоит на более высоком месте. Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.

Пирамиды стоят на древнем кладбище в Гизе, на противоположном от Каира, столицы современного Египта, берегу реки Нил. Некоторые археологи считают, что, возможно, на строительство Великой пирамиды 100 000 человек потребовалось 20 лет. Она была создана из более чем 2 миллионов каменных блоков, каждый из которых весил не менее 2,5 тонн. Рабочие подтаскивали их к месту, используя пандусы, блоки и рычаги, а затем подгоняли друг к другу, без раствора.

Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта. Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из

массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в     ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню.

В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в Александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем - столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет.

слайд 1

слайд 2

В процессе объяснения материала можно дублировать ключевые фразы на экране для удобства их восприятия.

слайд 3

слайд 5

Здесь целесообразно дать учащимся под запись следующее: Правильными многогранниками

называют выпуклые многогранники, все грани и все углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники.

слайд 6

Здесь можно раздать студентам развертки многогранников

слайд 7

слайд 8

Здесь целесообразно дать учащимся под запись следующее: существует пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Эти тела еще называют

телами Платона.

слайд 9

Важную информацию можно сформулировать лаконично и дать под запись, дублируя на экране.

Здесь целесообразно дать учащимся под запись следующее: Теорема Эйлера: Число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум, то есть В – Р + Г = 2.

слайд 12

слайд 13

слайд 14

слайд 15

слайд 18

слайд 19

слайд 20

слайд 21

слайд 22

слайд 23

Первичное закрепление знаний + обобщение изученного материала.

Самостоятельная работа студентов + Решение задач

Работа студентов по карточкам с заданиями.

Решение задач у доски с помощью преподавателя.

№1. №34

Ребро куба равно a. Вычислить площадь диагонального сечения.

S_AA1C1C = a*AC

AC =

S_AA1C1C = a*a 2 = a²2

№2. Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проведенной через середины трех ребер, выходящих из одной вершины.

MN =

PM = PN = MN =

HM =

S =

№3. Вычислите периметр и площадь сечения, проходящего через концы трех ребер, выходящих из вершины куба. Ребро куба равно а.

S = ½*a * a *sin60 =

P = 3* a= 3 a.

Работу по карточкам оценивать не нужно, так как целью этой работы является контроль качества усвоения нового материала.

Работа у доски оценивается, так как здесь студенты применяют знания и умения, приобретенные на прошлых занятиях.

Учебная рефлексия урока

Выяснить, был ли усвоен теоретический материал (работа с карточками), смогли ли учащиеся применить новый материал на практике (решение задач), были ли обобщены знания, полученные на предыдущих уроках (решение задач).

Рефлексию лучше проводить в форме «вопрос - ответ»

Подведение итогов урока. Выставление оценок

Подвести итог – была ли выполнена цель урока, какие возникли трудности.

Объявление домашнего задания.

Выставление оценок за урок.

Домашним заданием может быть такое: склеить по развертке один из правильных многогранников.