Решение задач методом координат в пространстве

“Решение задач методом координат в пространстве.”

Содержание

Часть 1

1.Введение...............................................................................................................3

Часть 2

2.1.Понятие нормали и уравнение плоскости.........................................5

Часть 3

3.1.Угол между двумя прямыми в пространстве..............................................22

3.2.Угол между двумя плоскостями в пространстве.....................................23

3.3.Угол между прямой и плоскостью в пространстве...........................25

3.4.Расстояние от точки до плоскости в пространстве............................26

4.Заключение....................................................................30

5.Использованная литература и источники.............................................................................................31

Часть 1

Введение

В своей работе мне бы хотелось представить несколько способов решения задач методом координат. Знание решения задач методом координат дает возможность выполнить задание части С2 в Едином Государственном Экзамене наиболее удобным способом, поэтому исследование методики решения задач будет актуально для выпускников девятых-одиннадцатых классов.

Объектом моего исследования является метод координат в пространстве, с помощью которого можно найти угол между двумя прямыми, между двумя плоскостями и т. д. Одной из целей исследования стало ознакомление широкой аудиотории выпускников с решением задач методом координат в качестве наиболее простого способа выполнения части С2 в ЕГЭ.

Метод координат удобен тем, что для нахождения угла между плоскостями нет необходимости искать этот угол непосредственно на чертеже. Достаточно лишь найти координаты трех точек плоскостей, а затем и вычислить координаты нормалей к плоскостям. В большинстве случаев, алгоритм действий в координатном методе намного проще, чем при решении обычным способом, поскольку обычный способ требует от ученика отличного знания теорем и развитого воображения.

Часть 2

Система координат в пространстве

Система координат в трехмерном пространстве выглядит следующим образом:

О
сьX — абсцисс, ось Y – ординат, а ось Z — ось аппликат; причем оси X,Y,Z взаимно перпендикулярны. Каждая точка в пространстве имеет координаты (x, y, z). Допустим, точка А имеет координаты (2; -3;1), - это означает, что по оси абсцисс т. А имеет координату 2, по оси Y — (-3), а по оси Z — 1.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вычесть координаты начала.

Существуют базовые правила нахождения координат вектора:

1) Координаты равных векторов соответственно равны. Если даны векторы а{x1; y1; z1} и b{x2; y2; z2}, то x1=x2, y1=y2 , z1=z2 ;

2)Чтобы найти каждую координату разности 2-ух векторов, нужно вычесть из соответствующих координат 1-го вектора соответствующие координаты 2-го. Если а{x1; y1; z1} и b{x2; y2; z2}, то а - b имеет координаты {x1-x2; y1-y2; z1-z2};

3)Чтобы найти каждую координату суммы 2 или > векторов, нужно сложить соответствующие координаты этих векторов. Если а{x1; y1; z1}  и b{x2; y2; z2}, то  а + b  имеет координаты {x1+x2; y1+y2; z1+z2};

4)Если умножить вектор на число, то его каждая координата умножится на это число. Если а{x; y; z}  - данный вектор, n – данное число, то вектор n*a имеет координаты {n*x; n*y; n*z}.

Необходимо вспомнить, что длина вектора рассчитывается по формуле:

Расстояние между двумя точками рассчитывается по формуле:

Ч
тобы найти координаты середины вектора, необходимо найти сумму соответствующих координат и поделить ее на 2:

Понятие нормали и уравнение плоскости, вычисление координат нормали

Чтобы использовать метод координат при решении задач, необходимо понять, что такое нормальный вектор (нормаль к плоскости) и что представляет из себя уравнение плоскости.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Ax + By + Cz + D = 0.

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормальным вектором, или нормалью к плоскости.

ЧислаA, B, C и D — постоянные, причем числа A, B иCне могут одновременно равняться нулю, так как, если допустить, что они одновременно равняются нулю, тогда нормаль будет иметь координаты {0;0;0}, а это означает, что нормаль — точка, находящаяся в начале координат, что противоречит ее определению.

Подx, y иzмы можем подставить координаты любой точки, находящейся на данной плоскости, и получится верное равенство.

ЧислоD - это коэффициент, показывающий проходит плоскость через начало координат, или нет. Если D=0, то данная плоскость проходит через начало координат, если же плоскость не проходит через начало координат, тогдаDможет быть равно любому числу, однако, для простоты вычислений, мы берем D,равное 1.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости, не проходящей через начало координат, выглядит так:

Ax + By + Cz + 1 = 0.

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

A*1 + B*0 + C*1 + 1 = 0. То есть A + C + 1 = 0.

Для точки N:

A*2 + B*(−2) + C*0 + 1 = 0; 2A − 2B + 1 = 0.

Аналогично для точки K:

4A + B + 2C + 1 = 0.

Получили систему из трех уравнений:

A + C + 1 = 0

2A − 2B + 1 = 0

4A + B + 2C + 1 = 0

После того, как мы решили полученную систему, у нас получилось, что нормаль имеет следующие координаты: n{1/6; 2/3; (-7/6)}.

Можно каждую координату вектора нормали умножить на одно и то же число, чтобы избавиться от знаменателя для удобства дальнейших вычислений. В данном случае, мы умножаем на 6. Получается, что координаты нормали равны: {1; 4; -7}. Обратим внимание, что при умножении координат вектора на одно и то же число, изменяется лишь длина вектора, что не играет роли для вычисления углов в задачах. Однако, координаты точки ни в коем случае нельзя умножать на одно и то же число с той же целью, поскольку меняется расположение самой точки.

Часть 3

Угол между двумя прямыми в пространстве

Задача.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1,

стороны основания которой равны 5, а боковые ребра равны 12. Найдите

угол между прямыми AC и BC1.

Решение.

Прямые, как правило, задаются парой точек. Если ввести систему

координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим

так называемый направляющий вектор для прямой:

Угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами.

Введем систему координат в пространстве направив ось Ох по стороне

АВ, ось Оу – по стороне AD, ось Oz – по стороне АА1. Тогда нетрудно найти

координаты точек А (0, 0, 0), С(5, 5, 0), В((5, 0, 0) и С1(5, 5, 12). Векторы AC{5;5;0}, BC1 {0;5;12}. Угол между векторами рассчитывается по формуле:

П
одставляя координаты векторов AC{5;5;0},BC1 {0;5;12} в формулу, мы получаем, что:

У
гол между двумя плоскостями в пространстве

Задача.

В прямоугольном параллелепипедеABCDA1B1C1D1, известны ребра: AB=8, AD=6, CC1=2. Найдите угол между плоскостями BDD1 и AD1B1.

Решение:

У гол между двумя плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям. Рассчитывается он по той же формуле, что и угол между двумя прямыми, только вместо координат векторов, лежащих на прямых, необходимо брать координаты нормалей.

Именно в данном случае нам понадобится умение вычислять координаты нормали к плоскости. О том, как это делается, было разобрано выше.

Итак, пусть т. А — начало координат. Ось ОХ проходит по отрезку AD,ось ОY – по AB, ось OZ – по AA1.

Найдем координаты нормали к плоскости BDD1.Для этого нужно знать координаты трех ее точек.

Т. В имеет координаты (0, 8, 0).

Т.D — (6,0,0)

Т.D1- (6,0,1)

Так как плоскость BDD1 не проходит через начало координат, то она имеет следующее уравнение: Ax+By +Cz +1 = 0. Далее составляем уравнения:

8В + 1 = 0

6А +1 =0

6А + С +1 =0

После того как мы решим эту систему, мы получим следующий ответ:

n {-1/8; -1/6; 0}. Чтобы избавиться от знаменателя, умножим каждую координату нормали на 24. Получаем: n {-3; -4; 0}.

Теперь находим координаты нормали к плоскости AD1B1.Эта плоскость проходит через начало координат, поэтому она имеет уравнение Ах + Вy + Cz = 0.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/305207-reshenie-zadach-metodom-koordinat-v-prostrans