Олимпиадные задания по математике 4 класс

Комментарий

Так как в задачах из первой и второй части нужно было только указать ответ без

пояснений, мы не можем отследить, как был получен тот или иной неверный ответ.

Скорее всего часто школьники указывали ответ наугад, когда не могли решить

задачу. Тем не менее, в некоторых задачах из всех неверных вариантов

предпочитался один. С большинством задач многие школьники справились.

Разберем те задачи, в которых доля неверных ответов была значительной.

Задача №1

На планете Бумбам живут бумы и бамы. У каждого бума 2 головы и 1 хвост, а у

каждого бама 1 голова и 3 хвоста. Сколько всего жителей на планете Бумбам, если у

них всего 33 головы и 34 хвоста?

А. 10 Б. 15 В. 20 Г. 18

Решение:

Количество бамов - число нечетное, иначе бы общее число голов у бамов и бумов

было четным, а их 33. При этом, сколько бы ни было бамов, общее число их хвостов

делится на 3. Значит, общее число хвостов бамов делится на 6 с остатком 3. Так как

34 делится на 6 с остатком 4, это значит, что общее число хвостов бумов должно

делиться на 6 с остатком 1. Так как у каждого бума всего 1 хвост, значит, число бумов

делится на 6 с остатком 1. При этом бумов не больше 16, иначе бы количество их

голов было больше 33. Значит, нам подходят только числа 1, 7 и 13. Переберем их.

Если бум 1, у него 2 головы и 1 хвост; значит, у всех бамов 31 голова и 33 хвоста. Этот

вариант не подходит, потому что 31 голова у 31 бама, а хвостов у них должно быть

93.

Если бумов 7, то у них 14 голов и 7 хвостов, значит, у бамов 19 голов и 27 хвостов.

Этот вариант тоже не подходит, так как у 19 бамов 51 хвост.

Если бумов 13, то у них 26 голов и 13 хвостов; значит, у бамов 7 голов и 21 хвост,

это верно для 7 бамов. Значит, всего жителей на планете Бумбам 13+7=20.

Ответ: В. 20.

Задача № 2

Один будильник спешит на 15 минут и показывает 8 часов 45 минут. Какое время

показывает другой будильник, который отстает на 10 минут?

А. 8 ч 50 мин Б. 9 ч 10 мин В. 8 ч 20 мин Г. 8 ч 55 мин

Решение

2

Разбор задач первой части заданий

Так как будильник, который спешит на 15 минут, сейчас показывает 8 часов 45

минут, значит, сейчас на самом деле 8 часов 30 минут. Значит, будильник, который

отстает на 10 минут, показывает 8 часов 20 минут.

Ответ: В. 8 ч 20 мин

Задача №3

У Незнайки было 10 кусочков бумаги, некоторые из них он разрезал на 4 части.

Всего получилось 22 кусочка. Сколько кусочков разрезал Незнайка?

А.3Б. 4 В. 5 Г. 6

Решение

_________При каждом разрезании общее количество кусочков увеличивается на 3 (был 1,

стало 4). Всего общее количество кусочков увеличилось на 22 – 10 = 12 кусочков.

Значит, было сделано 12:3 = 4 разреза.

Ответ: Б. 4.

Задача №4

Одноногий пират Сильвер нашел 3 сундука, в каждом из которых по 11

драгоценных камней и начал перекладывать их себе в карманы в таком порядке:

камень из левого сундука, потом из центрального, потом из правого, потом из

центрального, потом снова из левого и так далее. Когда он забрал последний камень

из центрального сундука, он остановился. В одном из двух крайних сундуков

осталось больше камней. Сколько?

А. 1 Б. 2 В. 5 Г. 6

Решение

Будем записывать количество камней в трех сундуках последовательностью из

трех чисел. Запишем, как менялись эти количества после каждого действия пирата.

11,11,11 -> 10,11,11 –> 10,10,11 –> 10,10,10 –> 10,9,10 –> 9,9,10 –> 9,8,10 –> 9,8,9 –>

9,7,9 –> 8,7,9 –> 8,6,9 –> 8,6,8 –> 8,5,8 –> 7,5,8 –> 7,4,8 –> 7,4,7 –> 7,3,7 –> 6,3,7 –> 6,2,7 –>

6,2,6 –> 6,1,6 –> 5,1,6 –> 5,0,6.

На этом пират Сильвер остановился. Больше камней осталось в правом сундуке.

Ответ: Г. 6.

Комментарий

В этой задаче среди неправильных чаще всего встречался вариант А. По всей

видимости школьники либо невнимательно прочитали вопрос, (если бы вопрос был

не «Сколько?», а «На сколько?», то ответ А был бы верным. В правом сундуке на 1

камень больше, чем в левом), либо не проделали всю последовательность действий,

а потому не смогли угадать верный ответ.

Задача № 5

Как вы знаете, общее число точек на любых двух противоположных гранях

игрального кубика равно 7. Хулиган Вовочка нашел 10 таких кубиков и склеил их в

столбик, при этом количество точек на всех наружных гранях получилось

минимальным. Что это за количество?

3

Электронная школа Знаника

А. 147 Б. 210 В. 142 Г. 102

Решение

Заметим следующее свойство: У 8-ми кубиков, которые находятся не с краю, по

две пары противоположных граней оказываются снаружи. Значит, они всегда дают

в общую сумму точек на всех наружных гранях сумму 14*8=112. У двух крайних

кубиков одна грань попадает внутрь, а все остальные 5 становятся наружными.

Соответственно, сумма точек на всех наружных гранях будет минимальна, если у

крайних кубиков внутри столбика оказываются грани с 6-тью точками. Значит,

минимальное количество точек на всех наружных гранях равно 112 +

2*(1+2+3+4+5)=142.

Ответ: В. 142.

Комментарий

В этой задаче помимо правильных встречались так же варианты А и Г. Вариант Б

(210) практически никто не выбирал. 210 – это сумма всех точек на всех 10 кубиков, и

ясно, что на внешних гранях сумма будет меньше. Ошибочный вариант 147

появлялся, по всей видимости, из мнения, что сумма точек самой нижней грани в

столбике и самой верхней грани в столбике тоже должна быть равна 7, но это не

обязательно.

Задача №1

В классе в течение недели 20 учеников получили хотя бы одну «пятёрку», 15

учеников получили не менее двух «пятёрок», 13 учеников получили не менее трёх

«пятёрок», 8 учеников получили не менее четырёх «пятёрок», и 3 ученика получили

не менее пяти «пятёрок». Сколько всего «пятёрок» получили ученики класса в

течение недели?

А. 59 Б. Более 59 В. Не менее 59 Г. Определить нельзя

Решение:

Одну «пятёрку» получили 20 – 15 = 5 учеников. Две «пятёрки» получили 15 – 13 =

2 ученика. Три «пятёрки» получили 13 – 8 = 5 учеников. Четыре «пятёрки»

получили 8 – 3 = 5 учеников. Пять и больше «пятёрок» получили 3 ученика.

Следовательно, количество «пятёрок», полученных учениками класса в течение

недели, не менее 5 + 22 + 35 + 45 + 53 = 59.

Ответ. В. Не менее 59.

Комментарий:

Эту задачу в основном все решили правильно. С нею не справились те, кто не

понял, что когда в условии стоит «то-то не менее, чем то-то», то ответ тоже скорее

всего будет в терминах «то-то не менее, чем то-то». Хотя так бывает и не всегда. Но

важно бывает подумать о наименьшем возможном случае: когда по одной пятерке

ровно 20, по две пятерки ровно 15 итд. В данной задаче при таком подходе для

поиска решения (это, конечно, еще не само решение, потому что нужно уточнить,

почему получится именно наименьший возможный ответ) как раз получился бы

верный ответ: не менее 59.

Задача №2

По окончании хоккейного турнира две команды-победительницы набрали

одинаковое количество очков. Для установления одного победителя было решено,

чтобы эти команды провели между собой несколько игр до тех пор, пока одна из

команд не одержит 4 победы. Ничьих в этих играх нет. Какое наибольшее

количество игр может оказаться необходимым для определения победителя?

А. 6 Б. 7 В. 8 Г. 9

Решение:

Для установления победителя может понадобиться или 4 игры (если все игры

выиграет одна из команд), или 5 игр (одна из команд выиграет 4 игры, а вторая

одну), или 6 игр (одна из команд выиграет 4 игры, а вторая две), или 7 игр (одна из

команд выиграет 4 игры, а вторая три). Наибольшее количество равно 7.

Ответ. Б. 7.

Задача 2.

Разбор задач первой части заданий 3

Комментарий:

Эту задачу в основном все решили правильно. С нею не справились те, кто

ставил ответы наугад. Тут можно было ошибиться тем способом, чтобы сразу

поставить наибольший из возможных ответов, раз уж спрашивают про что-то

наибольшее (такого типа ошибок очень много).

Задача №3

Группа школьников должна подняться с 1-го этажа на 20-й. В лифт могут войти

не более 5 человек. Масса каждого школьника меньше 60 кг, но больше 50 кг.

Какому из приведенных значений массы может равняться сумма масс всех

школьников, если лифт поднял их за 6 раз, а за 5 раз не мог этого сделать?

А. 2 т Б. 1 т 800 кг В. 1 т 700 кг Г. 1 т 200 кг

Решение:

Из условия следует, что школьников не менее 26, но не более 30. Следовательно,

масса всех школьников более 5026 = 1 т 300 кг, но менее 6030 = 1 т 800 кг. Поэтому

сумма масс всех школьников может равняться 1 т 700 кг.

Ответ. В. 1 т 700 кг.

Комментарий:

Эту задачу тоже в основном все решили верно. Как правило, ошибались тут те,

кто чуть-чуть напутал с вычислениями и выбрал вариант Б.

Задача №4

Часы на рис. 1 идут правильно, а на рис. 2 спешат на 5 с за 1

час. Сколько часов прошло с того момента, когда часы на рис. 2

показывали правильное время?

А. 240 ч Б. 360 ч В. 420 ч Г. 840 ч

Решение:

Разница между показаниями часов составляет 35 мин. Часы на рис. 2 спешат на

524 = 120 с = 2 мин в сутки. Следовательно, прошло 35:2 = 17 суток 12 ч или 24·17 + 12

= 420 ч с того момента, когда они показывали правильное время.

Ответ. В. 420 ч.

Комментарий:

С этой задачей тоже большинство справилось. Неверный вариант тут обычно

выбирали те, кто ставил наугад.

Задача №5

На занятие кружка по математике пришло несколько учеников. Во время занятия

каждый из них решил 2 задачи из предложенных 5. Известно, что для любых двух

кружковцев есть задача, которую один из них решил, а другой нет. Какое

наибольшее количество учащихся могло прийти на занятие?

А. 8 Б. 10 В. 11 Г. 12

Электронная школа Знаника

4

Решение:

Так как каждый ученик решил 2 задачи, и для любых двух кружковцев есть хотя

бы одна задача, которую один из них решил, а другой нет, то задача сводится к

нахождению количества различных наборов по 2 задачи из предложенных 5. Это

количество равно

5 4 10

2

Этот результат можно получить следующими

рассуждениями. В качестве первой задачи можно взять любую из 5, для любой

выбранной первой задачи есть 4 возможности для выбора второй, при этом любые

две задачи окажутся выбранными столько раз, сколькими способами их можно

переставить, то есть 2 раза. Число 10 и равно искомому количеству учащихся. Для 11

учащихся требования задачи не выполняются (11 > 10).

Ответ. Б. 10.

Комментарий:

С этой задачей справилось большинство. Ошибались тут в основном те, кто

выбирал наибольший ответ из предложенных (как было с Задачей 2), т.е. Г. Впрочем,

некоторые, похоже, подумали, что «совсем уж наибольший ответ выбирать не

стоит» (не всегда эффективная стратегия в тестовых заданиях кстати: работает

только примерно в 25% случаев) и выбрали В.

Задача №11

Дно детского квадратного бассейна выложено квадратными плитками, как

показано на рисунке. Всего использовано 625 плиток. Светлых плиток понадобилось

больше. На сколько?

А. На 25 Б. На 20 В. На 15 Г. На 10

Решение:

Так как 624 = 2525, то бассейн имеет размеры 2525 плиток. Так как по условию

светлых плиток больше, чем тёмных, а количество плиток в каждом ряду нечётно, то

левый дальний угол дна выложен светлой плиткой, все горизонтали и вертикали с

нечётными номерами — светлыми плитками, а с чётными — тёмными.

Подсчитаем количество светлых плиток. Оно равно 1 + 2 + 3 + … + 25, а

количество тёмных — 1 + 2 + 3 + … + 24 (см. рис.), разность между их количествами

равна (1 + 2 + 3 + … + 25) – (1 + 2 + 3 + … + 24) = 25.

Ответ. А. На 25.

Комментарий:

С этой задачей справилось большинство участвовавших. Неправильный ответ

тут, судя по всему, был, когда он выбирался наугад.

Задача №12

В комнате на полу лежит ковёр длиной 2 м 60 см и шириной 1 м 60 см так, что его

края находятся на одинаковом расстоянии от стен, равном 1 м 20 см. Чему равна

площадь комнаты?

Разбор задач третьей части заданий 3

А. 10 м2 Б. 16 м2 В. 20 м2 Г. 30 м2

Решение:

На рисунке изображён план расположения ковра на полу комнаты. Из него

следует, что длина комнаты равна 1 м 20 см + 2 м 60 см + 1 м 20 см = 5 м, а ширина

комнаты — 1 м 20 см + 1 м 60 см + 1 м 20 см = 4 м. Следовательно, площадь комнаты

равна 5м4 м = 20 м2.

Ответ. В. 20 м2.

Комментарий:

С этой задачей справилось большинство. Основные неверные варианты ответов:

А и Б. Либо они выбирались наугад (пункт Г обычно не выбирался, возможно,

потому что «как-то слишком много»), либо являлись результатом ошибки при

перемножении чисел (это тоже объясняло бы то, что ответ Г выбирался редко).

Задача №13

Круглый торт, украшенный шоколадными цветочками, тремя прямолинейными

разрезами, разделили на кусочки так, что на каждом из них оказалось ровно по два

цветочка. Какое наибольшее количество цветочков могло быть на торте?

А. 14 Б. 16 В. 19 Г. 21

Решение:

Двумя прямолинейными разрезами круглый торт можно разделить не более, чем

на четыре части. Ещё один разрез может увеличить количество частей не более, чем

на три части. Поэтому наибольшее количество кусочков равно 7. Следовательно,

наибольшее количество цветочков на торте могло равняться 14.

Ответ. А. 14.

Комментарий:

Эту задачу в основном все решили, потому что первая приходящая на ум

картинка тут обычно правильная (если не считать случая, когда разрезы проходят

через одну точку). Наиболее частый неверный вариант ответа – Г – вероятно

выбирался потому, что в нем стоит наибольшее число из всех, а спросили тоже про

что-то «наибольшее». Второй по популярности неверный ответ Б выбирался, скорее

всего, из-за небольшой ошибки в вычислениях.

Задача №14

Какова площадь «пропеллера», изображённого на рисунке, если площадь одной

клетки равна 10 см2?

Электронная школа Знаника

4

А. 300 см2 Б. 200 см2 В. 160 см2 Г. 120 см2

Решение:

На рис. 1 площадь незакрашенной части квадрата, состоящей из 9 клеток, равна

площади 5 клеток. Следовательно, площадь закрашенной части равна площади 4-х

клеток. Поэтому площадь пропеллера равна 1044 = 160 см2.

Ответ. В. 160 см2.

Комментарий:

С этой задачей справилось большинство. Наиболее частый неверный вариант

ответа Б, вероятно, выбирался по причине неправильного перемножения чисел 10, 4

и 4.

Задача №15

Какое наибольшее количество различных квадратов можно сложить из 180

одинаковых спичек, если одну спичку нельзя использовать для построения двух

квадратов, и все спички должны быть использованы?

А. 8 Б. 9 В. 10 Г. 11

Решение:

Из условия следует, что количество спичек, используемых для построения

каждого квадрата, кратно 4. Поэтому задача сводится к нахождению наибольшего

количества отрезков различной длины, которые можно построить из 180:4 = 45

спичек. Оно равно 9, так как 1 + 2 + … + 9 = 45, а сумма любых 10 различных

натуральных чисел больше 55.

Ответ. Б. 9.

Комментарий:

С этой задачей справилось большинство. Наиболее распространенные неверные

варианты ответов В и Г выбирались, скорее всего, по уже выше упоминавшимся

принципам «спрашивают про что-то наибольшее» и «вряд ли правильным сделают

максимальный ответ» (см. комментарий к Задаче 5).

Задача №1

Из числа вычли сумму его цифр. Из полученного числа вновь вычли сумму его

(полученного числа) цифр, и так делали снова и снова. После четырех таких

вычитаний впервые получился нуль. Найти все такие числа. В ответе указать все

возможные варианты в порядке возрастания, записав их через запятую. Докажите,

что других нет.

Решение

Любое число минус сумма его цифр в десятичной записи делится на 9. Любое

число, в котором более одной цифры больше суммы своих цифр. Поэтому перед

четвертым вычитание получилось число 9. Число 9 может получиться только из

двухзначного числа. Причем это число делится на 9. А если двухзначное число

делится на 9, то сумма его цифр тоже 9 или это число 99. Легко заметить, что число

99 не удовлетворяет условию задачи. Поэтому после второго вычитания получилось

число 18 (9+9). А после первого – 27 (18+9). Видно, что подходят только числа от 30

до 39. Ответ: все числа от 30 до 39.

Ответ: 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39.

Комментарий

Большинство школьников получили верный ответ, но не смогли его полностью

обосновать. Чаще всего в качестве обоснования участники рассматривали числа 29 и

40, для которых требовалось меньше 4-х и больше 4-х операций соответственно,

откуда делался вывод, что все числа меньше 30 и больше 39 не подходят. Это

действительно так, но делать вывод для всех чисел на основании конкретных

примеров нельзя, поэтому такие решения засчитывались, как не полностью верные.

Задача №2

Нужно переложить одну спичку так, чтобы равенство стало верным:

Решение

2

Разбор задач третьей части заданий

Комментарий

С этой задачей справились практически все школьники.

Задача №3

Четыре спортсмена, Антон, Николай, Алексей и Кирилл, заняли первые четыре

места в соревновании по легкой атлетике, причем ни одно место не было разделено

между двумя спортсменами.. На вопрос, какое место занял каждый из них, трое

болельщиков ответили:

1 – й: «Антон – второе место, Кирилл – третье ».

2 – й: «Антон – первое место, Николай – второе место».

3 – й: «Алексей – второе место, Кирилл – четвертое место».

Оказалось, что каждый болельщик ошибся ровно один раз. Кто занял четвертое

место?

Решение

Рассмотрим высказывание 3-го болельщика. Предположим, что Кирилл занял 4-

ое место, тогда 2-ое место занял Антон так как, первый болельщик ошибся в том, что

Кирилл занял 3-е место. С другой стороны Николай не мог быть 2-ым, значит, из

высказывания второго болельщика следует, что Антон занял 1-ое место, но он не

может быть одновременно и 1-ым и 2-ым. Значит, Кирилл не занял 4-ое место,

отсюда Алексей занял 2-ое место. Значит, Николай не может быть 2-ым, отсюда

Антон первый из высказывания 2-го болельщика, значит Антон не занимал 2-го

места, отсюда из высказывания первого болельщика Кирилл занял 3-е место. А это

значит, что 4-ое место занял Николай.

Ответ: Николай.

Комментарий

Большинство учеников привели полное решение, но встречались работы, в

которых приводилось только какие утверждения верные, а какие нет, а вариант, что

верными могут быть другие утверждения не рассматривался. В таких работах был

получен верный ответ, но доказательство считалось не полным. В этой и подобных

задачах необходимо не только приводить ответ, который удовлетворяет всем

условиям, но и доказывать, почему никакой другой ответ не подходит.

Задача №4

Четверо владельцев автомобилей решили провести гонки из четырех заездов,

при этом меняясь в каждом заезде автомобилями. В результате каждый из

владельцев проехал на каждом автомобиле.

3

Электронная школа Знаника

 В первом заезде Дмитрий был на автомобиле Василия, а во втором Василий

- на автомобиле Евгения.

 Николай выиграл третий заезд на своем автомобиле «Москвич», причем он

выиграл и все остальные заезды.

 На «Камазе» во втором заезде ехал Евгений, а в четвертом заезде ехал

Дмитрий.

 В четвертом заезде автомобиль «Камаз» пришел вторым после «Волги».

Кому принадлежит автомобиль «Форд Фокус»?

Решение

Из 4-го условия Николай ехал на Волге в 4-ом заезде и выиграл его, а Дмитрий

занял второе место на Камазе. В первых 2х заездах Николай был на Форде и на

Камазе, но во втором он не мог ехать на Камазе, так как на нем ехал Евгений, значит

в 1-ом заезде Николай ехал на Камазе, а во втором на Форде. Автомобиль Евгения не

Камаз и не Форд, так как во втором заезде на автомобиле Евгения ехал Василий, а

Евгений и Николай ехали на Камазе и на Форде соответственно. Так же Москвич не

является автомобилем Евгения, так как Москвич машина Николая. Значит

автомобиль Евгения – Волга. Значит автомобиль Василия либо Камаз либо Форд.

Так как Дмитрий ехал в 4-ом заезде на Камазе, а в первом на автомобиле Василия, то

автомобиль Василия – не Камаз. Значит автомобиль Василия – Форд.

Ответ: Василию.

Комментарий

Многие участники получили верный ответ, но далеко не все смогли привести

полное решение. Часто был пропущен целый кусок обоснования. Скорее всего в уме

школьники проделали все необходимые логические шаги, поэтому смогли верно

заполнить таблицу, кто и на какой машине ехал в каждом из заездов, но посчитали

не нужным приводить в работе длинные пояснения, почему таблица заполнялась

именно так и никак иначе. К сожалению, такие решения жюри засчитывало как

неполные, потому что в работе должны в письменном виде присутствовать

обоснования всех фактов, на основании которых получен ответ, если эти факты не

являются общеизвестными.__

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/305505-olimpiadnye-zadanija-po-matematike-4-klass