Открытый урок: «Задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда»

ГБПОУ ШАПТ

Одинцов С. Е.

Открытый урок.

Тема урока: Задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда..

Цели урока:

Образовательные: формирование у учащихся умений построения сечений тетраэдра и параллелепипеда различными плоскостями; закрепление алгоритма построения сечений и отработка навыков построения сечений многогранников;

Воспитательные: воспитание чувства взаимопомощи, умения работать индивидуально над поставленными задачами, воспитание интереса к предмету и потребности в приобретении знаний;

Развивающие: развитие у учащихся пространственного воображения, развитие графической культуры и математической речи.

Задачи урока:научиться строить сечения тетраэдра и параллелепипеда различными плоскостями.

Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, работа в парах, индивидуальная.

Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, модели многогранников.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Изучение нового  материала.
4. Закрепление изученного материала.
5. Подведение итогов урока.
6. Домашнее задание.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Организационный момент

Сообщение темы, цели и задач урока учащимся. Выяснить были ли трудности с выполнением домашней работы.

– На предыдущем уроке мы познакомились с двумя  видами многогранников: тетраэдром и параллелепипедом, а сегодня мы научимся  строить сечения этих многогранников различными плоскостями.

2. Актуализация опорных знаний

Устная фронтальная  работа по вопросам теории данной темы, с целью  актуализации знаний учащихся. Повторение изученного материала: аксиом стереометрии, следствий из аксиом, способов задания плоскостей, терминов и определений, связанных с тетраэдром и параллелепипедом.

Вопросы:

1) Какие многогранники вы знаете? Назовите, покажите их модели.
2) Дайте определение тетраэдра.
3) Назовите элементы тетраэдра, показывая их на модели.
4) Дайте определение параллелепипеда.
5) Назовите элементы параллелепипеда, показывая их на модели.
6) Сформулируйте свойства, которыми обладает параллелепипед.
7) Сколько необходимо точек, чтобы провести прямую на плоскости?
8) Какая фигура получается при пересечении двух плоскостей? 
8) Сформулируйте аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. 
9) Сформулируйте свойство параллельных плоскостей.

Демонстрация иллюстраций аксиом стереометрии и свойств параллельных плоскостей в презентации к уроку. (Слайды 2, 3, 4)

3. Изучение нового материала

При решении многих стереометрических задач используют сечение многогранника плоскостью, поэтому необходимо уметь строить на чертеже их сечения различными плоскостями.

1) Определение секущей плоскости

Секущей плоскостью многогранника называют такую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

2) Сечения тетраэдра и параллелепипеда

Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

Демонстрация сечений тетраэдра и параллелепипеда. (Слайд 5)

3) Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны, сформулировать следующим образом: если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

4) Алгоритм построения сечений многогранников:

а) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет две общие точки, и провести через данные точки прямые; 
б) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет одну общую точку, построить вторую общую точку и провести через них прямую; 
в) определить грани, с которыми секущая плоскость не имеет общих точек, построить две общие точки,  и провести через них прямую; 
г) выделить отрезки прямых, по которым секущая плоскость пересекает ребра многогранника, заштриховать полученный многоугольник.

II. Объяснение нового материала.

Введение понятия секущей плоскости и сечения (слайд 2)

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями.

Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называетсясечением многогранника2) Сечения тетраэдра и параллелепипеда

Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

Демонстрация сечений тетраэдра и параллелепипеда. (Слайд 5)

3) Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны, сформулировать следующим образом: если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

4) Алгоритм построения сечений многогранников:

а) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет две общие точки, и провести через данные точки прямые; 
б) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет одну общую точку, построить вторую общую точку и провести через них прямую; 
в) определить грани, с которыми секущая плоскость не имеет общих точек, построить две общие точки,  и провести через них прямую; 
г) выделить отрезки прямых, по которым секущая плоскость пересекает ребра многогранника, заштриховать полученный многоугольник.

Ответить на вопросы (слайд 3):

- Будет ли плоскость α являться секущей плоскостью? Почему? (Точки тетраэдра лежат по обе стороны от плоскости α).

- Каким образом секущая плоскость будет пересекать грани тетраэдра? (По отрезкам). (слайд 4)

- Какая фигура (многоугольник) будет являться сечением тетраэдра? (Треугольник).

Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то в сечении могут получиться либотреугольники,либочетырехугольники.(слайд 5).

Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда? (т.к. параллелепипед имеет шесть граней, то в сечении могут получиться либо треугольники, либо четырехугольники, либо пятиугольники, либо шестиугольники). (слайд 6).

III. Повторение изученного материала.

Алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости.

а) Построить линию пересечении выделенной плоскости и плоскости, в которой лежит прямая.

б) Точка пересечения построенной прямой с данной является искомой.

Задача: Построить точку пересечения прямой АВ с выделенной плоскостью.(слайд 7).

IV. Решение задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. (слайд 8)

Рассмотрим примеры построения различных сечений тетраэдра и параллелепипеда, для этого решим следующие задачи.

На ребрах AB,AD,CD тетраэдра ABCD отмечены точки Q,N,P . Построить сечение тетраэдра плоскостьюQNP. ( Для построения сечений ищем отрезки, по которым секущая плоскость пересекает каждую грань) (слайд 9).

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, В, С.(слайд 10)

Постойте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через указанные точки.

(слайд 11).

Построение (рис 1):

V. Алгоритм построения сечения многогранника плоскостью.

Давайте попробуем сформулировать вывод (алгоритм) как построить сечение многогранника плоскостью.

(слайд 12)

Построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника (тетраэдра, параллелепипеда).

2. Полученные точки, лежащие в одной грани, соединить отрезками.

3. Многоугольник, ограниченный данными отрезками, и есть построенное сечение.

Замечание:Если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по каким-либо отрезкам, то эти отрезки параллельны.

VI. Практическая работа. (слайд 13).

Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через указанные точки.

VII. Проверьте правильность построения сечения. (слайд 14).

VIII. Итог урока:

Давайте вспомним этапы построения сечений тетраэдра (параллелепипеда, куба).

Какие многоугольники могут при этом получиться?

X. Домашнее задание.§4. п. 14 № 72, №82(а,б), № 83(б).

VII. Проверьте правильность построения сечения. (слайд 14).

VIII. Итог урока:

Давайте вспомним этапы построения сечений тетраэдра (параллелепипеда, куба).

Какие многоугольники могут при этом получиться?

X. Домашнее задание.(слайд 15)§4. п. 14 № 72, №82(а,б), № 83(б).

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/308504-otkrytyj-urok-zadachi-na-postroenie-sechenij-