Исследование объектов с помощью математического и информационного моделирования

Ащеулова Д.В.

«Исследование объектов с помощью математического и информационного моделирования»

Процесс математического моделирования – это методика, позволяющая представлять в рамках компьютерной модели изучаемые процессы. Проведение моделирования предполагает осуществление четырех основных этапов: построение модели; запуск модели; анализ полученных показателей эффективности; оценка результатов.

Так как программное обеспечение математического моделирования отслеживает параметров элементов модели, оценка эффективн6ости процесса может быть получена на основе анализа выходных данных.

На основе математической модели можно построить самые точные методы анализа и прогнозирование показателей эффективности процессов.

Математическая модель – это совокупность математических зависимостей, описывающих функционирование системы. Она строиться по результатам теоретического и экспериментального исследования. Достоверность этой модели, соответствие ее реальному объекту проверяются экспериментально при сопоставлении результатов, полученных на объекте и на модели. Полученная математическая модель объекта является хорошим инструментом исследования. С ее помощью определяют интересующие исследователя характеристики предмета исследования, результаты влияния на него тех или иных факторов, оптимальные режимы функционирования и способы управления. Математические модели, полученные для описания предмета исследования, следует отличать от оптимизационных математических моделей, предназначенных для оптимизации их состояния.

Цель математического моделирования заключается в нахождении количественных характеристик (показателей, параметров) эффективности функционирования изучаемого процесса. Выявления количественных оценок взаимосвязей между его элементами. На основе результатов моделирования выбирают оптимальный или рациональный вариант исследуемого процесса. Характеристики изучаемого процесса могут быть различными. Чтобы выявить взаимосвязь между отдельными операциями, обосновать наиболее эффективные пути совершенствования процесса, а в конечном счете, оптимизировать процесс, необходимо разработать его модель.

Решение сложных задач в настоящее время немыслимо без моделирования процессов, нахождения оптимальных вариантов и системного анализа результатов.

Реальные объекты, с которыми приходится иметь дело, обладают бесконечным множеством свойств и характеризуются бесконечным множеством связей как внутри самого объекта, так и вне его. Переход к соответствующим моделям является наиболее сложным и ответственным этапом применения математического аппарата. В то же время можно указать и ряд общих требований, которые предъявляются к математической модели: достаточная точность, предельная простота и стандартная форма.

Представляя реальный объект с достаточной точностью, математическая модель в то же время должна быть по возможности проще, так как дальнейшая работа со сложной моделью не только затруднительна, но может оказаться и практически невозможной. Противоречивость этих требований нередко вынуждает поступиться точностью в интересах простоты, однако такой компромисс допустим только в тех пределах, при которых модель еще отражает существенные свойства реального объекта. Разработка методов упрощения реальных объектов и систем с целью построения предельно простых математических моделей является одной из центральных задач любой прикладной области.

Обеспечить достаточную точность модели – это значить при идеализации реального объекта все существенные свойства и связи, отвлекаясь от второстепенных, несущественных свойств и связей. Решение этого вопроса зависит не только от характера самого объекта, но и от поставленной задачи. Поэтому для одного и того же объекта может потребоваться не одна а несколько моделей, обслуживающих различные задачи при его проектировании или исследовании.

Важным методом упрощение модели является представление объекта или совокупности объектов в виде системы таких ее частей (компонентов), связь между которыми можно с достаточной точностью охарактеризовать функциями только одной переменной. Этот путь подсказывается самой структурой объекта.

Несмотря на огромное разнообразие систем, набор различных компонентов весьма ограничен, и в модели полученные раз в стандартной форме, могут затем многократно использоваться при моделировании сложных систем. В общем случае модели компонентов характеризуются нелинейными зависимостями. Однако многие задачи допускают их линеаризацию, что соответственно сильно упрощает и модели систем, которые в таких случаях описываются линейными уравнениями.

Для представления математических моделей широко используется аппарат теории множеств, матриц и графов.

Матрица – это совокупность чисел или объектов, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Числа или любые другие объекты, расположенные в клетках таблицы, называют элементами матриц. Матрица может иметь любое количество строк и столбцов. Над матрицами можно производить различные операции такие как: с умножением матрицы, с матричным произведением, с операциями над строками и столбцами, с произведением с диагональной матрицей, со степенями матриц, с многочленами матриц, с произведениями векторов, с определителем матрицы, с графом матрицы, с минорами матрицы, с разложением и вычислением матрицы, с блочными матрицами и т.д. Матрицы применяются для отображения структуры графа.

Граф – это схема, которая состоит из узлов (точек), соединенных ветвями. Узлы графа соответствуют переменным, а ветви – коэффициентам при этих переменных.

Для построения математической модели работа состоит в применении соответствующих математических методов с целью получения необходимых характеристик данной модели, а значит, и исследуемого реального объекта. Большое разнообразие математических методов можно свести к трем основным видам: аналитическим, графическим и численным.

Аналитические зависимости позволяют использовать эффективные методы оптимизации и получить соотношения, характеризующие повеление системы при изменении ее параметров. При подстановке в аналитические выражения численных значений можно контролировать точность вычислений.

Получение характеристик модели в аналитической форме желательно во многих отношениях. Прежде всего, представляется возможным провести исследование в общем виде, независимо от численных значений параметров системы.

Однако аналитические методы применимы только для простейших моделей. Из - за громоздкости аналитических выражений или невозможности их получения, значение аналитических методов ограничивается. В то же время аналитическая форма является основной при изложении и развитии математического аппарата.

Графические методы используются при решении теоретико – множественных уравнений, минимизация логических функций, статистической обработки результатов наблюдений и во многих других случаях. К сожалению, графические методы ограничены возможностями построений на плоскости или в трехмерном пространстве. Вследствие чего они применимы только для простых моделей. Особое место занимают методы теории графов, но и они теряют наглядность при усложнении модели. Практически графические методы часто используются совместно с аналитическими.

Численные методы, в зависимости от характера вычислительно процесса, подразделяются на прямые и итерационные. При использовании прямых методов результат получается путем последовательных операций над числами и его точность зависит исключительно от точности промежуточных начальных значений. Каждое последующее значение (итерация) вычисляется по одной и той же схеме, представляющей собой цикл вычислительного процесса. Необходимым условием работоспособности итерационного метода является сходимость последовательности итераций к искомой величине или совокупности величин, т.е. возможность получения результата с требуемой точностью. Практически требуется также достаточная скорость сходимости итерационного процесса, т.е. достижение требуемой точности таким количеством итераций, которое реализуется в данных конкретных условиях.

Графические методы обладают наглядностью и успешно используются как для иллюстрации аналитических методов, так и непосредственно в инженерных расчетах. Они особенно удобны, если не требуется высокая точность или если интерес представляет качественная картина происходящих процессов.

В настоящее время разработано огромное количество вычислительных процедур, обслуживающих различные задачи исследования математических моделей. К ним относятся, например, численные методы интегрирования и дифференцирования, решения систем различных типов алгебраических и дифференцированных уравнений, оптимизации и т.д.

Параметры системы можно рассматривать как детерминированные или случайные величины, что приводит соответственно к детерминированным или схоластическим моделям. Схоластические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарий теории вероятностей и математической статистики для из описания.

Выбор модели зависит от характера протекающих процессов и поставленной задачи исследования. Схоластические модели имеют важное значение при исследовании и проектировании больших систем со сложными связями и трудно учитываемыми свойствами.

С развитием вычислительной техники численные методы становятся незаменимым средством проектирования, организации производства и научных исследований.

Математическое моделирование получает широкое применение во многих областях знаний: от философских до ядерной физики, от проблем радиотехники и электроники до проблем механики и гидродинамики, физиологии и биологии, а также в изучении процесса обучения аспирантов в аспирантуре.

Список литературы

Ефимов Ю.Е. Математическая модель процесса обучения и ее идентификация. 1999.

Ю.Н. Алпатов. Синтез систем управления методом структурных графов. 1988.-184С.

Харари Ф. Теория графов. Москва 1973.-368с.

Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. 1975.-768с.

Беллман Р. Введение в теорию матриц. Москва 1969.-368с.

Виноградова Д.В.

«Применение математического моделирования в процессе отбора аспирантов»

В России движение к ученой степени посредством написания диссертации и ее защиты связано с обучением в аспирантуру, докторантуре, либо с прикреплением к организациям в качестве ученой степени. Таким образом, путь к получению ученой степени лежит через систему послевузовского профессионального образования, которая служит кузницей научных кадров в России.

Гражданин, планирующий получение послевузовского профессионального образования, должен:

-принять решения о поступлении в аспирантуру и подготовке диссертационной работы

-определить отрасль науки и научную специальность, по которой намечается подготовить диссертацию;

-выбрать организацию, в которой будет выполняться диссертационная работа;

-пройти собеседование с предполагаемым научным руководителем о руководстве с его стороны в период обучения в аспирантуре.

Послевузовское профессиональное образование (ППО) является высшей ступенью государственной образовательной системы и вносит значительный вклад в обеспечение кадровыми ресурсами науки, образования, промышленности.

Аспирантура – основная форма подготовки научно-педагогических и научных кадров в вузах и ряде научно-исследовательских организаций, состоящая в обучении по специальной программе под руководством персонального научного руководителя и подготовке кандидатской диссертации.

Цель обучения в аспирантуре - сформировать научное мышление на основе профессиональных навыков, реализовать творческий потенциал, получить дополнительные знания по специальности.

Аспиранты Братского государственного университета должны освоить в период обучения образовательную компоненту, а именно подготовиться и сдать кандидатские экзамены, изучить специальные дисциплины по профилю научной специальности, пройти педагогическую практику и выполнить научно-исследовательскую работу, с представлением её результатов на кафедре, где она проводилась. Не все аспиранты могут закончить аспирантуру, так как срок обучения небольшой (три года по очной форме обучения и четыре по заочной), которые отводятся им на углубленияобразования и выполнения научной работы и аспирант не успевает овладеть всеми знаниями, которые предлагает программа, и он может быть отчислен (для прекращения обучения могут быть как объективные, так и субъективные причины, например: не стремление сдачи кандидатских экзаменов, семейные обстоятельства, получение отсрочки призыва в армию и т.д.). Для того чтобы этого в дальнейшем не происходило, необходиморазработать математическую модель процесса обучения по отбору аспирантов в период поступления. Целью разработки математической модели процесса обучения является отбор аспирантов для поступления в аспирантуру, а также управление подготовкой кадров, направленное на достижение высокой результативности, отражающиеся в выполнении научных исследований, завершающихся защитой полученных результатов научной работы с присуждением ученой степени.

Для построения математической модели необходимо сначала строить граф связности, с помощью которого можно выяснить структурную взаимосвязь компонент (исходных параметров) таких, как научную работу, участие в конференциях (выход в статьях), педпрактика, характеристика аспиранта, характеристика руководителя. Затем построиться структурная схема, с - граф и математическая модель.

С - граф представляет собой схему, состоящую из узлов (точек), соединенных ветвями. Узлы графа соответствуют переменным (параметрам), а ветви - коэффициентам или функциональным связям при этих переменных. С - граф, построенный по структурной схеме, содержит столько взвешенных вершин, сколько элементарных звеньев(операторов) содержит структурная схема; столько узлов первого рода, сколько суммирующих элементов в структуре; столько узлов второго рода, сколько точек ветвления и столько узлов третьего рода, сколько сигналов является одновременно входными и выходными в структурной схеме. Таким образом, С — граф дает более полную картину структурной схемы системы, выделяя основные структурные элементы. Это важное свойство функционального значения звена в структурной схеме закладывается в математическую модель. Модель системы записывается в матричной форме. Она состоит из матрицы компонент графа - В, матрицы структуры - А и матрицы входных переменных. Однородное матричное уравнение системы полностью отражает функциональную зависимость компонент в структуре и позволяет представить процесс получения уравнения системы из отдельных компонент графа. Достоинство С - графа заключается в том, что матричная запись уравнения системы позволяет свести к минимуму и простоте процессу формирования матрицы.

Применение С - графа позволяет полностью упростить и формализировать процесс получения математической модели по отбору аспирантов и для усовершенствования планирования обучения. В данное время ведется дальнейшая разработка модели для повышения эффективности учебного процесса.

Список литературы

Ефимов Ю.Е. Математическая модель процесса обучения и ее идентификация. 1999.

Ю.Н. Алпатов. Синтез систем управления методом структурных графов. 1988.-184С.

Харари Ф. Теория графов. Москва 1973.-368с.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/317391-issledovanie-obektov-s-pomoschju-matematiches