Акция в рамках недели математики «Математический дозор»

АКЦИЯ НЕДЕЛИ МАТЕМАТИКИ

«Математический дозор»

Решения к заданиям «Математического дозора» 

Задание № 1.

Сколько натуральных чисел находится в промежутке от 6 до 6,4?

Решение:

Натуральными числами называются числа, которыми ведется счет предметов.

В промежутке от -6 до 6,4 находятся натуральные числа: 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Всего 6 натуральных чисел.

Ответ: 6.

Примечание: число 0 в школьном курсе математики не относится к множеству натуральных чисел N. Иногда для удобства построения математической теории это число присоединяют к множеству натуральных чисел, получая расширенное множество N₀.

Задание № 2.

В доме, в котором живёт Сергей, один подъезд. На каждом этаже по 4 квартиры. Сергей живёт в квартире № 19. На каком этаже живёт Сергей?

Решение:

Чтобы найти этаж, на котором находится квартира № 19, выполним деление с остатком: 19 = 4 ∙ 4 + 3, т.е. 4 этажа и еще 3 квартиры. Значит, указанная квартира находится на 5 этаже.

Ответ: 5. 

Задание № 3.

Значение какого из следующих выражений является наибольшим?

1) 2,3+2 2)   3)   4)   
Решение:

Вычислим или оценим значения данных выражений:

2,3 + 2 = 4,3; 

< , т.е.  < 4; 

2 = = ,  < 4; 

=  =  = 4,75. 

Значит, наибольшее значение имеет последнее выражение. 

Ответ: 4. 

Задание № 4.

Поезд «Енисей» отправляется из Новосибирска в 16:54, а прибывает в Красноярск в 04:40 на следующий день (время отправления и прибытия московское). Сколько приблизительно часов поезд находится в пути?

Решение:

С 16:54 до полуночи поезд находится в пути 7 ч 6 мин, от полуночи до 04:40 еще 4 ч 40 мин. Всего: 7ч 6 мин + 4ч 40 мин= 11ч 46 мин, т.е. приблизительно 12 часов (по правилам округления).

Ответ: 12. 

Задание № 5.

Кофейник на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 630 р. Сколько рублей стоил кофейник до распродажи?

Решение:

Решим задачу по действиям:

найдем, сколько рублей составляют 1% первоначальной цены кофейника: 630:60 = 10,5 (руб.); 

найдем, сколько рублей составляют 100%, т.е. первональную цену кофейника: 

10,5 ∙ 100 = 1050 (руб.).

Примечание:

Задачу можно решить по правилу нахождения числа по его проценту.

Чтобы найти число по его дроби, выраженной в процентах, нужно его известную часть разделить на эту дробь: 630 : 60% = 630 : 0,6 = 1050 (руб.).

Ответ: 1050. 

Задание № 6.

Какая из фигур на рисунке имеет наибольшее число осей симметрии?

2) 

3) 4) 

Решение:

Фигура 1) – круг имеет бесконечно много осей симметрии. Все остальные фигуры из задания – многоугольники, имеют конечное число осей симметрии.

Ответ: 1. 

Задание № 7.

Сила тока в участке цепи вычисляется по формуле I = U/R (закон Ома). Пользуясь этой формулой, вычислите сопротивление цепи с напряжением

U = 220 Вольт и силой тока I = 5 Ампер. Ответ дайте в Омах без указания единиц измерения. 

Решение:

Из формулы I = U/R выразим сопротивление: R = U/I. Подставим в эту формулу данные значения U = 220В и I = 5А: R = 220/5; R = 44(Ом).

Ответ: 44. 

Задание № 8.

Аня, Денис, Катя и Слава бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Денис.

Решение:

Чтобы найти вероятность события, надо число благоприятных исходов разделить на число всех исходов. Всего детей 4, игру может начинать каждый из 4-х, т.е. число всех возможных исходов равно 4. А вероятность того, что игру будет начинать конкретный ребенок, например, Денис равна ¼ или 0,25.

Ответ: 0,25. 

Задание № 9.

Вычислите высоту Эйфелевой башни в Париже (в метрах), если она отбрасывает тень длиной 400 м в тот момент, когда длина тени стоящего рядом с ней шеста длиной 1,5 м равна 2 м.

Решение:

Высота шеста составляет ¾ части от длины его тени. Значит, и высота Эйфелевой башни в этот момент также сотавляет ¾ от длины ее тени, т.е. 300 м.

x 

1,5 

2 

400

Обоснование решения следует из подобия треугольников (см. рисунок): 

; x = 300. 
Ответ: 300. 
Задание № 10.

Решите уравнение: 

Решение: 

;  ; x – 1 = 3; x = 3 + 1; x = 4. 

Ответ: 4. 

Задание № 11.

На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами А и Б телезрители голосовали за каждого из них. Сколько всего тысяч телезрителей проголосовало за первые 30 минут дебатов? 

Решение:

На рисунке видно, что через 30 минут от начала голосования кандидаты А и В получили одинаковое число голосов: за каждого из кандидатов проголосовали по 25 тысяч телезрителей, т.е. всего проголосовало 50 тысяч телезрителей.

Ответ: 50. 

Задание № 12.

Прочитайте задачу: «На изготовление 400 деталей первый рабочий затрачивает на 3 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 20 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?»

Выберите уравнение, соответствующее условию задачи: 

Решение:

Проанализируем каждое из данных уравнений:

Уравнение составлено в предположении, что x ч – время, которое первый рабочий затрачивает на изготовление 400 деталей. Тогда (x + 3) ч – время, которое второй рабочий затрачивает на изготовление 480 деталей. Уравнение связывает производительности труда рабочих. В правой части уравнения число 20 надо прибавить, т.к. первый рабочий за час делает на 20 деталей больше, чем второй. Данное уравнение не соответствует условию задачи. 

При составлении уравнения буквой x (деталей в час) обозначена производительность труда второго рабочего, а уравнение связывает время работы первого и второго рабочих. 480/х ч – время, которое второй рабочий затарачивает на изготовление 480 деталей. По условию задачи производительность первого рабочего должна быть равна (x + 20) деталей в час, а не (x – 20). Данное уравнение не соответствует условию задачи. 

Уравнение выражает зависимость между временем работы первого рабочего и временем работы второго рабочего, а буквой x (деталей в час) обозначенапроизводительность труда первого рабочего, тогда по условию задачи производительность труда второго рабочего (x – 20) деталей в час, а не (x + 20) деталей в час. Данное уравнение не соответствует условию задачи. 

Уравнение связывает производительности труда рабочих. 

x ч – время, которое второй рабочий затрачивает на изготовление 480 деталей,

(x–3) ч – время, которое первый рабочий затрачивает на изготовление 400 деталей. По условию задачи, первый рабочий за час делает на 20 деталей больше, чем второй. Разность производительностей первого и второго рабочих равна 20 деталям в час, что и отражено в уравнении. Данное уравнение соответствует условию задачи.

Примечание: корень уравнения не является ответом на вопрос задачи. Для нахождения производительности первого рабочего надо выполнить еще 2 действия: из найденного при решении корня уравнения вычесть 3 и разделить 400 на полученную разность. 

Ответ: 4. 

Задание № 13.

Имеется 2 пакетика семян редиса весом по 10 г. Известно, что расход семян составляет 3,5 г на 1 м². Какое количество целых прямоугольных грядок длиной

3 м и шириной 60 см можно засеять этими семенами? 

Решение:

60 см = 0,6 м

10  2 = 20 (г) – масса семян редиса; 

3  0,6 = 1,8 (м²) – площадь одной грядки; 

1,8  3,5 = 6,3 (г) – масса семян для посадки на одну грядку; 

20 : 6,3 = 3 (шт.) – грядок можно засеять. 

Данного количества семян хватит, чтобы засеять 3 целых прямоугольных грядки. 

Ответ: 3. 

Задание № 14. 


О 
Меньшая сторона прямоугольника равна 6. Угол между диагоналями равен 60. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника. 

Решение:

По условию AD = 6. Равные диагонали прямоугольника пересекаются в центре описанной окружности О и при пересечении делятся пополам, т.е. OD = ОА. Значит, треугольник АOD равнобедренный. Кроме того, OD и ОА являются радиусами окружности. По условию,  АOD = 60⁰. Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60⁰, то такой треугольник является равносторонним. Следовательно, OD = ОА = AD = 6.

Ответ: 6. 

Задание № 15.

Кристалл искусственного алмаза представляет собой октаэдр (см. рисунок). Его поверхность состоит из восьми равных равносторонних треугольников со стороной 1 мм. Вычислите площадь поверхности кристалла в мм². Ответ округлите до целого числа.

Решение:

Площадь поверхности кристалла S равна сумме площадей составляющих ее восьми равных равносторонних треугольников: S = 8 S_.

1

1/2 

h

Площадь одного из восьми равных треугольников можно вычислить по формуле площади треугольника: . Высоту треугольника h при а=1 можно найти по теореме Пифагора (см. рисунок):  . Тогда  .

А площадь поверхности кристалла S=8=2 (мм²). 

  1,73. Следовательно, S  2  1,73 = 3,46 (мм²). Округлив результат до целых по правилам округления, получим: 3,46  3 (мм²). 

Ответ: 3.

Примечание: для нахождения площади S_ равностороннего треугольника со стороной a можно было сразу воспользоваться известной формулой: S_ = .

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/331609-akcija-v-ramkah-nedeli-matematiki-matematiche