Теорема Птолемея

Разработка занятий элективного курса «Геометрия окружности» в 10 классе по теме «ТЕОРЕМА ПТОЛЕМЕЯ»

Занятие 1

Цели занятия

1. Образовательные:

Продолжить знакомство учащихся со свойствами вписанных четырехугольников, доказать теорему Птолемея, рассмотреть решения задач на свойства вписанных в четырехугольники и описанных около четырехугольников окружностей, познакомить учащихся с возможностями практического применения теоремы Птолемея.

2.Развивающие:

 Развивать геометрические представления учащихся.

Развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации. Способствовать развитию умения делать выводы и обобщения.

3.Воспитательные:

Развивать познавательную и творческую активность обучающихся.  

Задачи: 

-познакомиться с историческими материалами о теореме Птолемея;

-изучить различные способы существующих доказательств теоремы и её обобщений;
-определить применение теоремы Птолемея в практических задачах.

АКТУАЛИЗАЦИЯ

Когда около четырехугольника можно описать окружность?

Можно ли описать окружность около параллелограмма, ромба, трапеции?

ПРОБЛЕМА. ПОСТАНОВКА УЧЕБНОЙ ЗАДАЧИ.

Данная задача была предложена учащимся в домашней работе. Было рассмотрено довольно сложное решение с использованием теоремы косинусов и формул тригонометрии.

Задача.Пусть в круге данного радиуса R  известны хорды  АВ = с, АС = b и пусть требуется найти хорду 
ВС = а, соответствующую разности дуг, стягиваемых хордами АС и АВ.

ПОЗНАВАТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Теорема Птолемея

Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

      Доказательство.

Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность.

      Докажем, что справедливо равенство:

      Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD  был равен углу CBE 

      Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E), угол ADB  равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

      Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

      Складывая равенства (1) и (2), получаем:

      Теорема Птолемея доказана.

Далее учащимся предлагается решить домашнюю задачу с использованием теоремы Птолемея. Проведя диаметр AD и применяя теорему Птолемея к ч етырех­угольнику ABCD, имеем:

Отрезки BD и CD можно определить по теореме Пифагора, так как они являются катетами прямоугольных треугольников ABD и ACD, в которых известная гипотенуза AD = 2R и катеты b и c.

ПЕРВИЧНОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ ЗНАНИЙ

Задача 1. Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что

Пусть S — площадь четырехугольника ABCD, R — радиус его описанной окружности. Тогда S = S_ABC + S_ADC .Используя формулу для вычисления площади треугольника , получаем S=AC(AB ^. BC + AD ^. DC)/4R .

Аналогично S = BD(AB ^. AD + BC ^. CD)/4R. Приравнивая эти выражения для S, получаем требуемое.

Задача 2. На дуге CD описанной окружности квадрата ABCD взята точка P. Докажите, что 

Применяя теорему Птолемея к четырехугольнику ABCP и сокращая на длину стороны квадрата, получаем требуемое.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

По группам подготовить:

1. Исторические сведения о Птолемее

2. Различные доказательства теоремы Птолемея

3. Доказать с помощью теоремы Птолемея теорему Пифагора и теорему косинусов.

Занятие 2

В первой части занятия рассматриваются предложенные учащимися презентации, выполненные группами дома.

1 группа

Птолемей и его теорема.

Знаменитый александрийский астроном, математик и географ II века н. э. Клавдий Птолемей — одна из крупнейших фигур в истории науки эпохи позднего эллинизма. В истории же астрономии Птолемею не было равных на протяжении целого тысячелетия — от Гиппарха (II в. до и. э.) до Бируни (X—XI в. н. э.).

История довольно странным образом обошлась с личностью и трудами Птолемея. О его жизни и деятельности нет никаких упоминаний у историков той эпохи, когда он жил. Если, например, о его современнике римском естествоиспытателе и враче Галене известно, что он родился в Пергаме в 129 г. н. э. и умер около 201 г., то даже приблизительные даты рождения и смерти Птолемея неизвестны, как неизвестны и какие-либо факты его биографии.

Птолемею повезло в другом. Почти все его основные сочинения сохранились и были по достоинству оценены потомками, начиная от его младших современников (Веттий Валент и тот же Гален) и кончая астрономами наших дней. Основной труд Птолемея, широко известный ныне под названием «Альмагест», был переведен с греческого па сирийский, среднеперсидский (пехлеви), арабский, санскрит, латынь, а позднее — на французский, немецкий, английский и русский языки. Вплоть до начала XVII в. он был основным учебником астрономии.

Широкий круг читателей обычно связывает с именем Птолемея так называемую «систему мира Птолемея», где в центре расположена Земля, а вокруг нее по круговым орбитам обращаются Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер и Сатурн. При этом пять планет движутся не непосредственно вокруг Земли, а по малым кругам — эпициклам, центры которых обращаются вокруг Земли по другим кругам — деферентам.

С именем Птолемея (l l в. н. э.) связаны наибольшие достижения греческой тригонометрии. И хотя Птолемей не знал синусов, косинусов, тангенсов, он, опираясь на труды Гиппарха(190 – 125 г. г. до н. э.) составил знаменитые таблицы хорд дуг окружностей с пятью верными знаками после запятой.. Заметим, что работать с хордами или с синусами – это фактически одно и то же, поскольку синус равен половине такой ходы. Таблицы хорд Птолемея, сохранившиеся до наших дней, соответствуют таблице синусов от 0° до 90° (через 0,25°)

Понятно, что таблица, была в первую очередь, вызвана к жизни потребностями астрономии. Она появилась в главной работе Птолемея «Альмагест». Наряду с тригонометрией на плоскости, в ней содержались элементы сферической тригонометрии, и прилагался каталог на 1028 звёзд. «Альмагест» для того времени давал полную картину мироздания. Не забудем, что по геоцентрической системе Птолемея мир прожил почти 13 столетий – вплоть до эпохи Коперника.
Нас же интересует теорема Птолемея, которая в древности звучала так: прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противоположных сторонах. 

2 группа

Рассматривает редко встречающееся в литературе доказательство теоремы Птолемея (с использованием метода площадей).

Докажем, что произведение диагоналей вписанного в круг четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон, или .

Обозначим: 



Заметим, что  (внешний угол треугольника АВК ) и  из треугольника АКD. Тогда . Очевидно, что (1) 

Проведем ВN АС
Очевидно, что АNВС равнобедренная трапеция и АN = ВС =b; NС = АВ =а; 

  (так как в трапеции АNВС АDN и СNВ имеют равную площадь). ЧетырехугольникАВСD состоит из двух треугольников: DСВи DАВ, а его площадь есть сумма площадей этих треугольников. .

Поскольку (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу), то ,

.

Так как  (стягивает такую же дугу, что и ), то и  (учитывая сказанное в начале). 

Таким образом  или  

(2) 

Сравнив (1) и (2) получим .
Теорема Птолемея доказана.

3 группа
1) Используя теорему Птолемея, доказать теорему Пифагора
Доказательство. Д ополним прямоугольный треугольник АВС до прямоугольника АDВС. По определению прямоугольника, его внутренние углы будут равны 90 градусов , значит, прямоугольник можно вписать в окружность. Следовательно, по теореме Птолемея, АС · BD + AD ·BC = AD · CD, но по свойству прямоугольника AB = CD, AD = BC и AC =BD. Поэтому AC² + BC² = AB².

Итак, теорема доказана.

2) Доказать теорему косинусов с помощью теоремы Птолемея.

Ре шение. Опишем окружность около АВС и проведем АD  ВС:

АВСD равнобедренная трапеция, обозначим 

ВD=АС=b; и CD=АВ=с;  . 

Проведем в трапеции высоты АN и DК, тогда  . 

Найдём .

Применим теорему Птолемея к трапеции АВСD, получим:

 , или.

Во второй части занятия проводится разбор задач повышенной сложности (олимпиадные), решаемые с помощью теоремы Птолемея.

Задача 1.

Дан параллелограмм ABCD. Окружность, проходящая через точку A, пересекает отрезки AB,AC и AD в точках P,Q и R соответственно. Докажите, что  AP ^. AB = AR ^. AD = AQ ^. AC.

Задача 2.

Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны d_a,d_b и d_c. Докажите, что  d_a + d_b + d_c = R + r.

Решение:

Пусть A₁,B₁ и C₁ — середины сторон BC,CA и AB. По теореме Птолемея  AC₁ ^. OB₁ + AB₁ ^. OC₁ = AO ^. B₁C₁, где O — центр описанной окружности. Поэтому cd_b + bd_c = aR. Аналогично  ad_c + cd_a = bR и  ad_b + bd_a = cR. Кроме того,  ad_a + bd_b + cd_c = 2S = (a + b + c)r. Складывая все эти равенства и сокращая на a + b + c, получаем требуемое.

Задача3.

Вписанная окружность касается сторон BC,CA и AB в точках A₁,B₁ и C₁. Пусть Q — середина отрезка A₁B₁. Докажите, что B₁C₁C = QC₁A₁.

Замечание. Утверждение задачи можно переформулировать следующим образом: точка Жергонна треугольника ABC совпадает с точкой Лемуана треугольникаA₁B₁C₁.

Задача 4.

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что  AB + AC2AD.

Домашнее задание:

Задача 1.

В треугольнике ABC известно, что BAC = 75^o,AB = 1, AC = . На стороне BC выбрана точка M, причём BAM = 30^o. Прямая AM пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке N, отличной от A. Найдите AN.

Решить задачу двумя способами:
1)ОбозначьтеAN через x, выразите BN и CN через радиус описанной окружности треугольника ABC и примените теорему косинусов к треугольникам ABN и ACN

2) воспользуйтесь теоремой Птолемея .

Задача 2.

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что AP = BP + CP.

Решить задачу двумя способами:

Используя теорему косинусов

Используя теорему Птолемея.

Рефлексия деятельности (итог работы).

1. Перечислите операции, которые пришлось вам сегодня использовать.

2. Какая из них далась вам труднее других?

3. Как вы преодолели встретившиеся трудности?

4. Достигли ли вы поставленной цели?

5. Над чем вам надо еще поработать?

6. Сможете ли вы справиться самостоятельно?

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/33569-teorema-ptolemeja