Методическая разработка «Ох уж эта тригонометрия»

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Республики Мордовия

«Ковылкинский аграрно-строительный колледж»

Методическая разработка

ЭЛЕМЕНТЫ

ТРИГОНОМЕТРИИ

Петрушина Валентина Владимировна

преподаватель математики

Содержание

Введение

Стандарт

Технологическая карта

Основная часть

Заключение

Список использованной литературы

Приложения

Введение

Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Еще задолго до новой эры вавилонские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны простейшие сведения из тригонометрии. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников». Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II веке до нашей эры. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц.

Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийской математикой в периодV-XII век нашей эры. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а ее половину (то есть «линию синусов»). Линия синусов именовалась ими «архаджива», буквально означало «половина тетивы лука». Индийцы составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд, измеренных частями (минутами) окружности для всех углов от 0 до 90 градусов. Индийским математикам были известны соотношения, которые в современных обозначениях пишут так:

sin ² α + cos ² α = 1;

cos α = sin (90^о-α).

ВXV – XVII веках в Европе было составлено и издано несколько тригонометрических таблиц, над их составлением работали крупнейшие ученые:

Н. Коперник (1540-1603);

И. Кеплер (1571-1630);

Ф. Виет (1540-1603).

В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 году при участии Л.Ф. Магницкого.

На первоначальных стадиях своего развития тригонометрия служила средством решения вычислительных геометрических задач. Ее содержанием считалось вычисление элементов простейших геометрических фигур, то есть треугольников. Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач.

Современный вид тригонометрии получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707-1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа - величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу («тригонометрический круг» или «единичная окружность»). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразное обозначение: sin α, cos α, tg α, ctg α. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии. Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н.И. Лобачевского.

Американский физик – теоретик Брайн Грин в одном из своих выступлений сказал:«Царство математики описывает законы, в которых существует наш мир». Мы мало задумываемся о том, что живем по законам математики. Мне хотелось бы немного рассказать о прикладном значении раздела математики - тригонометрия.Очень яркий пример применения тригонометрии в строительстве: каждый из вас, наверняка, бывая в Москве спускался в метро.

Знаете ли вы, что угол наклона всех эскалаторов московского метро равен 30^о. Зная это, количество ламп на эскалаторе и примерное расстояние между лампами, можно вычислить примерную глубину заложения станции. Расстояния между лампами, от входа на эскалатор до первой лампы и от последней лампы до выхода с эскалатора равны 6 м.

Стандарт

«Элементы тригонометрии».

Цели:

- обучающие: повторить основные тригонометрические формулы и закрепить их знания в ходе выполнения упражнений; показать прикладное значение тригонометрии в различных сферах деятельности человека;

- развивающие: продолжить развитие познавательного интереса к предмету, развивать вычислительные навыки, логическое мышление, навыки контроля и самоконтроля;

- воспитывающие: продолжить воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов, взаимной поддержки при работе группами.

Тип урока: обобщение и систематизация изученного материала.

Вид урока: комбинированный урок.

Методы проведения: словесно – наглядные.

Педагогические технологии: групповые и дифференцированные способы обучения; фронтально-коллективная деятельность при активном участии всех обучающихся; компьютерные технологии обучения.

Оснащение урока: проекционная техника, компьютер, презентация к уроку, рабочие тетради,учебники, чистые листы для математического диктанта, карточки с текстом рефлексивного теста.

Время занятия: 90мин.

Эпиграф урока: «Не бойтесь формул!

Учитесь владеть этим инструментом

Человеческого гения!

В формулах заключено величие и могущество разума…»

Марков А.А.

Основные этапы урока:

1. Организационный момент. Сообщение темы, целей.

2. Актуализация опорных знаний. Повторение начальных понятий тригонометрии и основных формул тригонометрии. Решение упражнений.

3. Сообщение из истории математики.

4. Математический диктант с взаимопроверкой.

6. Работа группами «Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений»

7. Подведение итогов, выставление оценок. Рефлексия.

8. Домашнее задание.

Технологическая карта

Основная часть

Изучение тригонометрии на 1-ом курсе начинается с темы: «Радианная мера угла» и «Вращательное движение. А затем вводится понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Перед изучением темы я предлагаю вспомнить, с какими стандартными углами им приходилось работать в ходе изучения геометрии в школе. Обучающиеся обычно сразу же называют значения углов: 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰. С введением тригонометрической окружности все ограничения на углы отпадают. Именно, с изучения тригонометрической окружности начинаю объяснение нового материала, опираясь на учебник под редакцией М.И. Башмаков. Знакомство с числовой окружностью на конкретном примере В результате новый материал воспринимается ими намного легче.Например, полный оборот — 360° — обозначается как 2π радиан (так как длина L окружности радиусом R вычисляется по формуле L=2πR.ЕслиR=1, то L =2π). А всеми любимый (или ненавидимый) угол 45° равен π/4 радиан. Во всех тригонометрических функциях — синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе — можно без ущерба для здоровья заменять число π на 180°. Пишется это так: π → 180°. Обращаю внимание на то, что: данное правило работает только для тригонометрических функций! Например, мы спокойно можем записать sinπ = sin 180°. Вводится понятие угла в 1 радиан. Выводится формула перевода радианной меры угла в градусную

1 рад= , отсюда угол в α рад =

И наоборот, перевод градусной меру в радианную: 1⁰=

Закрепляем приобретенные знания на практике, решая упражнения в учебнике.

Для проверки уровня усвоения знаний и способности применять их на практике использую карты-задания для самостоятельного решения.

Карта – задание № 1

Перейдите от радианной меры угла в  градусную (значение тригонометрических функций вычислять не надо):

sinπ/3;

cos 7π/6;

tgπ;

sinπ/4;

tg 2π/3;

ctgπ/2;

sin 3π/2;

cos 5π/4.

Решение

Итак, перед нами восемь тригонометрических функций, аргументы которых заданы в радианах. Мы можем перейти от радианной меры аргументов к градусной по правилу: π → 180°. Имеем:

sinπ/3 = sin 180/3 = sin 60°;

cos 7π/6 = cos (7 · 180/6) = cos 210°;

tgπ = tg 180°;

sinπ/4 = sin 180/4 = sin 45°;

tg 2π/3 = tg (2 · 180/3) = tg 120°;

ctgπ/2 = ctg 180/2 = ctg 90°;

sin 3π/2 = sin (3 · 180/2) = sin 270°;

cos 5π/4 = cos (5 · 180/4) = cos 225°.

Ответ:

sin 60°; cos 210°; tg 180°; sin 45°; tg 120°; ctg 90°; sin 270°; cos 225°.

Итак, вместо непонятного множителя π мы получаем вполне вменяемое число, которое можно умножать и делить по стандартным правилам.

Теперь, когда мы умеем заменять радианную меру углов градусной, попробуем переписать всю тригонометрическую окружность. Основные правила останутся прежними: «нулевой градус» совпадает с положительным направлением оси ОХ, а углы откладываются в направлении против часовой стрелки. Но числа, стоящие на границах координатных четвертей, станут другими.

Отныне вместо непонятных «пи» и «пи-пополам» используем простую и понятную шкалу:

α∈ (0°; 90°) ⇒ это угол I координатной четверти;

α∈ (90°; 180°) ⇒ II координатная четверть;

α∈ (180°; 270°) ⇒ III координатная четверть;

α∈ (270°; 360°) ⇒ IV координатная четверть.

Хорошая новость состоит в том, что эти правила очень быстро откладываются в голове — стоит лишь немного потренироваться. Если же память на числа плохая, советую одну маленькую хитрость. Взгляните еще раз на границы координатных четвертей: 90°, 180°, 270° и 360°. Первая из них — 90° — это прямой угол, знакомый еще из курса средней школы. Его вы точно не забудете. Остальные углы отличаются друг от друга на эти же самые 90°. Взгляните: 90° + 90° = 180°; 180° + 90° = 270°; 270° + 90° = 360°. Таким образом, даже если вы забудете эти числа, их всегда можно восстановить, если просто запомнить, что прямой угол — это 90°. Определив, таким образом, в какой четверти лежит угол, можно с легкостью безошибочно установить знаки тригонометрических функций. Этим самым я подготавливаю почву для восприятия темы: «Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса» .

А теперь разберем конкретные примеры.

Карта – задание №2

Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции и знак этой функции:

sin 8π/9;

tg 12π/15;

cos 9π/10;

cos 7π/18;

sin 3π/5;

ctg 5π/3;

tg 4π/9;

cos 9π/20.

Решение

Для начала переведем все углы из радиан в градусы по правилу: π → 180°. А затем найдем координатную четверть, ориентируясь по границам: 90°, 180°, 270°, 360°. Имеем:

sin 8π/9 = sin (8 · 180/9) = sin 160°; т.к. 160° ∈ [90°; 180°], это II четверть; а »

tg 12π/15 = tg (12 · 180/15) = tg 144°; т.к. 144° ∈ [90°; 180°], это II четверть; а tg α во второй четверти имеет знак -

cos 9π/10 = cos (9 · 180/10) = cos 162°; т.к. 162° ∈ [90°; 180°], это II четверть; cos во второй четверти имеет знак «-

cos 7π/18 = cos (7 · 180/18) = cos 70°; т.к. 70° ∈ [0°; 90°], это I четверть; cos α во второй четверти имеет знак «+»

sin 3π/5 = sin (3 · 180/5) = sin 108°; т.к. 108° ∈ [90°; 180°], это II четверть; а »

ctg 5π/3 = ctg (5 · 180/3) = ctg 300°; т.к. 300° ∈ [270°; 360°], это IV четверть; ctg α в четвертой четверти имеет знак -

tg 4π/9 = tg (4 · 180/9) = tg 80°; т.к. 80° ∈ [0°; 90°], это I четверть;

tg α во второй четверти имеет знак «+»

cos 9π/20 = cos (9 · 180/20) = cos 81°; т.к. 81° ∈ [0°; 90°], это I четверть; cos во второй четверти имеет знак «+»

Ответы:

sin 8π/9, tg 12π/15, cos 9π/10 — это II координатная четверть; cos 7π/18 — это I координатная четверть; sin 3π/5 — это снова II координатная четверть; ctg 5π/3 — это вообще IV координатная четверть; tg 4π/9 и cos 9π/20 — это все I координатная четверть.

Как видите, далеко не всегда можно найти значение самой тригонометрической функции. Например, попробуйте вычислить cos 162° или sin 108°. Зато мы всегда можем определить, в какой координатной четверти находится данный угол.

До сих пор мы рассматривали углы α∈ [0°; 360°]. Но что произойдет, если, например, угол α = 420°? А как насчет отрицательных углов? Предлагаю разобрать и такие задачи. Тем более, схема решения практически ничем не отличается от «стандартных» углов.

Итак, что если угол α> 360°? Судя по тригонометрической окружности, точка сделает полный оборот — а затем пройдет еще чуть-чуть. Это самое «чуть-чуть» вычисляется очень просто. Достаточно отнять от исходного угла величину 360° (иногда это приходится делать несколько раз). С отрицательными углами работаем аналогично. Если добавлять к отрицательному углу величину 360°, мы очень скоро получим новый угол α∈ [0°; 360°]. Таким образом, вся схема решения выглядит следующим образом:

Перейти от радианной меры угла к градусной. Для этого достаточно сделать замену: π → 180°;

Если полученный угол оказался больше 360°, отнимаем от него по 360° до тех пор, пока новый угол не окажется на отрезке [0°; 360°];

Аналогично, если угол будет отрицательным, увеличиваем его на 360° до тех пор, пока он не попадет в отрезок [0°; 360°];

Выясняем, в какой координатной четверти находится полученный угол, ориентируясь на стандартные границы: 90°, 180°, 270° и 360°.

Карта - задание № 3

Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции:

sin 21π/6;

cos 19π/3;

sin (−25π/9);

tg (−11π/4).

Решение

Снова переводим все углы из радиан в градусы по правилу: π → 180°. Дальше уменьшаем или увеличиваем аргумент на 360° до тех пор, пока он не окажется на отрезке [0°; 360°]. И только затем выясняем координатную четверть. Получим:

sin 23π/6 = sin (23 · 180/6) = sin 690°. Очевидно, что 690° > 360°, поэтому выполняем преобразование: sin 690° → sin (690° − 360°) = sin 330°. Но 330° ∈ [270°; 360°], это IV четверть;

cos 19π/3 = cos (19 · 180/3) = cos 1140°. Поскольку 1140° > 360°, имеем: cos 1140° → cos (1140° − 360°) = cos 780° → cos (780° − 360°) = cos 420° → cos (420° − 360°) = cos 60°. Т.к. 60° ∈ [0°; 90°], это I четверть;

sin (−7π/9) = sin (−7 · 180/9) = sin (−140°). Но −140° < 0°, поэтому увеличиваем угол: sin (−140°) → sin (−140° + 360°) = sin 220°. Поскольку 220° ∈ [180°; 270°], это III четверть;

tg (−11π/4) = tg (−11 · 180/4) = tg (−495°). Т.к. −495° < 0°, начинаем увеличивать угол: tg (−495°) → tg (−495° + 360°) = tg (−135°) → tg (−135° + 360°) = tg 225°. Это уже нормальный угол. Т.к. 225° ∈ [180°; 270°], это III четверть.

Ответ:

sin 21π/6 — это IV координатная четверть;

cos 19π/3 — это I координатная четверть;

sin (−7π/9) и tg (−11π/4) — это III координатная четверть.

Во втором пункте пришлось вычитать 360° три раза — и только затем получился нормальный угол. Аналогично, в четвертом пункте пришлось прибавлять два раза по 360°, чтобы выйти на положительный угол.

Таким образом, добавлять и вычитать углы иногда приходится много раз — это не должно настораживать.

Связь между тригонометрическими функциями одного угла

Синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла связаны между собой. Всякая связь между выражениями задаётся в математике формулами. В тригонометрии формул - колоссальное количество. Но мы рассматриваем самые основные. Эти формулы так и называются: основные тригонометрические тождества.

Эти формулы надо знать обязательно. Без них вообще в тригонометрии делать нечего. Из этих основных тождеств вытекают ещё три вспомогательных тождества:

Задача №1

Найти значение sinx, если х - острый угол, а cos x=0,8.

Формулу, где имеются синус и косинус:

sin²x + cos²x = 1

Подставляем сюда известную величину, а именно, 0,8 вместо косинуса:

sin²x + 0,8² = 1

Ну и считаем, как обычно:

sin²x + 0,64 = 1

sin²x = 1 - 0,64

sin²x = 0,36

sinx = 0,6

Задачка почти элементарная. Но словечко "почти" здесь не зря стоит... Дело в том, что ответ sinx= - 0,6 тоже подходит... (-0,6)² тоже 0,36 будет.

Два разных ответа получаются. А нужен один. Второй - неправильный. Внимательно прочитать задание. Там зачем-то написано: ...если х - острый угол... А в заданиях каждое слово смысл имеет, да... Эта фраза - и есть дополнительная информация к решению.

Острый угол - это угол меньше 90°. А у таких угловвсе тригонометрические функции - и синус, и косинус, и тангенс с котангенсом -положительные. И для правильного решения в задании обязательно присутствует дополнительная информация.

Заключение

Пускай кому- то мил английский,
Кому – то химия важна,
Без математики же всем нам,
Но ни туда и ни сюда
Нам уравнения, как поэмы
И синусы поддерживают дух
Нам косинусы, будто песни,
А формулы приведения ласкают слух.

Слово “тригонометрия” впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое rpiycovov - треугольник, fiETpeco - мера. Иными словами, тригонометрия наука об измерении треугольников. Тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач в областях астрономии, мореплавания и в составлении географических карт.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

Перенесемся 20 веков назад. Возьмем прямоугольный треугольник. Что с ним делать?Древние люди знали!

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Гипотенуза (ТП) равна 5. Вычислим отношения сторон этого треугольника:

а/в=3/4; а/с=3/5; в/с=4/5; с/в=5/4 и т.д.

Увеличим стороны треугольника в 2 раза – 6, 8, 10. Рассмотрим отношения сторон, сходственных первому треугольнику: а/в=6/8=3/4; а/с=6/10=3/5; с/и=10/8=5/4 и т.д.

«При сохранении величин углов в прямоугольном треугольнике отношения соответствующих сторон не меняется».

Это утверждение очень важно, настолько важно, что эти отношения заслужили свои специальные названия, свои имена: а/с=sinx;b/c=cosx;a/b=tgx;b/a=ctgx. Эти имена назвали тригонометрическими функциями угла х.

Использованная литература:

Башмаков М.И. МАТЕМАТИКА (алгебра и начала математического анализа, геометрия), учебник-М.: Академия, 2017.

Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа 10-11 классы, учебник – М.: Просвещение, 2017.

Алгебра и начала анализа 10 класс. Дидактические материалы.  Просвещение, 2012.

Н.Н Решетников - лекции «Тригонометрия в школе», Просвещение, 2010.

Интернет - ресурсы:

Образовательный сайт - RusCopyBook.Com - Электронные учебники и ГДЗ

Сайт Образовательные ресурсы Интернета - школьникам и студентам. http://www.alleng.ru/edu/educ.htm

Сайт Учительский портал - http://www.uchportal.ru/

Приложение 1

ysinα

-tgαtgα

-√3 √3√3

ctgα

-√3-1-1 - √3/3-3π/2π/2√3/311√3

2π/3 1 π/3

3π/4 π/4

- √3/3 √3/3

5π/6 π/6

x

-√3 -1 0 1 √3

π

cosαα

- 5π/6-π/6

√3/3 7π/6 11π/6 - √3/3

5π/4 -3π/4 -π/4 7π/4

4π/3 -2π/3 -π/3 5π/3

√3

1

-ctgα

√3 -√3 -√3

1)πрад = 180°π /2 рад = 90°3π /2 рад = 270°2πрад = 360°

π /6 рад = 30° π/4рад = 45° π /3 рад = 60°π /2 рад = 90°

2) Период sinα и cosα–2πn,гдеnZ; т.е. sin (α + 2πn) = sinα

сos (α + 2πn) = cosα

Период tgα и ctgα–πn,гдеnZ; т.е. tg (α + πn) = tgα

сtg (α + πn) = ctgα

3)ctgα = tgα ∙ctgα = 1

4)cos (- α ) = cosαsin (- α) = - sinαtg (- α) = - tgα сtg (- α) = - сtgα

I. Основное тригонометрическое тождество

sin²α + cos²α = 1sinα=; cosα =

II. Формулы сложения

sin (α ± β) = sinα ∙cosβ ± sinβ ∙cosα

cos(α + β) = cosα ∙ cosβ -sinα ∙ sinβcos(α - β) = cosα ∙ cosβ +sinα ∙ sinβ

tg (α ± β) = с tg (α ± β) =

III. Синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла

sin 2α= 2sinα ∙cosα

c os 2α = 1 - 2 sin²α

c os 2α = cos²α -sin²α

cos 2α = 2cos²α - 1

tg 2α = с tg 2α =

IV. Формулы понижения степени

2sin²α = 1 - cos 2αилиsin²α =

2cos²α = 1 + cos 2αилисоs²α =

V. Синус, косинус, тангенс и котангенс половинного угла

sin² = или sin=

соs²=или соs =

tg²= или tg= ; с tg= ;

VI. Формулы суммы и разности синусов и косинусов

sinα + sinβ = 2 ; sinα - sinβ = 2

cosα + cosβ = 2 ; cosα - cosβ = -2

VII. Формулы приведения

sin(±α ± ) = … сos(±α ± ) = … tg(±α ± ) = … ctg(±α ± ) = …

1.Установитьчетверть, в которой находится точка, полученная при повороте на угол (±α ± )

2. Установить знак данной функций в полученной четверти

3. Если - целое, то оставить прежнюю функцию, если - дробное - поменять на обратную функцию

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/339068-metodicheskaja-razrabotka-oh-uzh-jeta-trigono