Проектная работа "Отношение площадей"

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя школа №8

«Отношение площадей»

Работу выполнили:

Бичевая Полина, ученица 11 класса, Солдатова Анастасия, ученица 11 класса,

МАОУ СШ № 8

Руководитель: Толкачева Наталья Сергеевна,

Коптелова Татьяна Анатольевна,

М АОУ СШ № 8

2019, Новосмолинский

Содержание

Введение…………………………………………………………………………….2

Глава 1 «Основные свойства соотношения площадей треугольников» .………4

Глава 2 «Применение двух утверждений при решении задач» …………………7

Глава 3 «Основные свойства соотношения площадей подобных многоугольников» ..…………………………………………………………………9

Заключение ..………………………………………………………………………12

Список используемой литературы ..……………………………………………13

Введение

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать»

Галилео Галилей

Как подготовиться к ЕГЭ по математике? Этим вопросом задаются все школьники, без исключения. В большинстве случаев основные трудности вызывают именно геометрические задачи. Как мы знаем, в алгебре, тригонометрии и началах математического анализа разработана целая серия решений типовых заданий. Следовательно, самым трудным в решении любой задачи – это планирование своих действий, то есть, если есть алгоритм, значит есть программа действий, а потому трудности, если они имеют место, носят чаще всего технический характер. При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов не существует, и выбрать наиболее подходящую к данному случаю теорему из их большого количества трудно. Так же, это связанно и с тем, что редко какая задача в геометрии может быть решена с использованием определенной формулы. При решении большинства задач не обойтись без привлечения разнообразных теорий, доказательств тех или иных утверждений, справедливых лишь при определенном расположении элементов фигур. Но и при хорошем знании теории приобрести навык в решении задач можно лишь решив их достаточно много, начиная с простых и переходя к более сложным, а самое главное, разумно владеть методами решения задач. Поэтому, научившись владеть приемами решения задач на пропорциональность – объективная возможность для решения геометрических задач повышенной сложности.

Цель: изучение теории вопроса и исследование приемов решений планиметрических задач с использованием свойств отношения площадей.

Актуальность проблемы: ежегодно усложняются задания ЕГЭ, и это требует углублённых знаний во всех разделах математики. Учебно–исследовательская работа «Отношение площадей» является дополнением изученных в школьной геометрии свойств площадей треугольников и многоугольников.

Гипотеза: овладение приемами решения задач на пропорциональность –

объективная возможность для решения геометрических задач повышенной

сложности.

Объект исследования: треугольники и выпуклые многоугольники.

Предмет исследования: пропорциональность при вычислении площадей треугольников и многоугольников.

Метод исследования: поисковый, практический, метод сравнения, анализа, метод изучения данных.

Задачи:

Изучение научно-методической литературы по данной теме.

Рассмотреть некоторые примеры из банка заданий ЕГЭ по математике на соотношение площадей

Научиться применять различные способы решения задач с использованием свойств площадей.

Классифицировать задачи, решаемые на отношения площадей многоугольников.

Практическая значимость: разработанные рекомендации могут быть использованы в профилактической работе среди учащихся, а также в процессе подготовке к ЕГЭ.

Структура: работа представлена введением, 3 главами, заключением, списком литературы.

Глава 1

Основные свойства соотношения площадей треугольников:

Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольника. Соответственно, площади этих треугольников равны.

Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади

Все 3 медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников. 

Площади треугольников, имеющих одинаковый угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Площади треугольников, имеющих одинаковое основание, относятся как высоты, проведенные к этим основаниям. 

Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота. 

Если прямые p и q параллельны, то

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Глава 2

При решении большинства задач этого раздела применяются два простых утверждения:

1) если точка М лежит на стороне ВС треугольника АВС, то площади треугольников АМВ и АМС пропорциональны отрезкам ВМ и СМ, т.е.

2) если прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС (или их продолжения) в точках Р и Q соответственно, то

Первое из этих утверждений вытекает непосредственно из формулы площади треугольника по стороне и опущенной не неё высоте: у треугольников АМВ и АМС одна и та же высота, опущенная из общей вершины А.

Второе утверждение можно вывести из формулы площади треугольника по двум сторонами углу между ними: у треугольников АРQ и АВС углы при общей вершине А либо равны, либо в сумме составляют 180°. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Пример 1.

В треугольнике АВС медиана AD и биссектриса ВЕ перпендикулярны и пересекаются в точке F. Известно, что площадь треугольника DEF равна 5. Найдите площадь треугольника АВС.

Р ешение:

Треугольник ABD равнобедренный, так как его бис­сектриса BF является высотой. Поэтому

AF=FDS_AFE=S_DFE=5

Кроме того, ВС = 2ВD = 2АВ. Тогда по свойству биссектрисы треугольника

Следовательно,S_DEC=2S_ADE=4S_DEF=20,S_ADC=30. Значит, S_ABC=2S_ADC=60

Ответ: 60.

Пример 2. Докажите; что медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

Д оказательство:

Пусть М -точка пересечения медиан АА₁, ВВ₁, СС₁ треугольника АВС. Тогда

S_B1MC= S_B1BC=S_ABC) = S_ABC

Аналогично для остальных пяти треугольников. Таким образом, пло­щадь каждого из шести треугольников равна шестой части площади

исходного треугольника. Что и требовалось доказать.

Пример 3.

Найдите площадь треугольника, вершины которого - середи­ны сторон треугольника площади 4.

Р ешение:

S_ANB = MN ND sinN; S_MND = MN; S_ANB = S_MND

Аналогично,S_MAC = S_MND;S_BCD = S_MND

S_ABC = S_MND - S_MND = 4 -

Ответ: S_ABC=1

Глава 3

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Основные свойства соотношения площадей подобных многоугольников:

Отношение периметров двух подобных многоугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей двух выпуклых подобных многоугольников равно квадрату коэффици­ента подобия.

Но, такие задачи можно решить более лёгким способом- через соотношение площадей подобных треугольников

Пример 4.

Через середину М стороны ВС параллелограмма ABCD,площадь которого равна 1, и вершину А проведена прямая, пересека­ющая диагональ ВDв точке О. Найдите площадь четырёхугольникаOMCD.

Решение:

Из подобия треугольников ВОМ и DOA находим, что

Поэтому, , а так как , то

S_BOM=.

Следовательно,S_OMCD = S_BCD – S_BOM =

Ответ: .

Пример 5. Диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник натреугольники с площадями S_1, S₂, S₃ и S₄ (S ₁ и S₃-площади треугольников, прилежащих к противоположным сторонам четырёхугольника). Докажите, что S₁S₃=S₂S₄.

Д оказательство:

Пусть диагонали выпуклого четырёх­угольника ABCD пересекаются в точке О,

S_AOB = S₁, S_BOC = S₂, S_COD = S₃, S_AOD = S₄

Тогдаи , поэтому . Следовательно, S₁S₃=S₂S₄.

Что и требовалось доказать.

Пример 6.

Пусть ABCDE   и   A'B'C'D'E' — подобные     многоугольники

Известно, что Δ AВС Δ A'В'С';  Δ ACD Δ A'C'D' и Δ ADE   A'D'E' 
 Кроме  того,

Так как, вторые отношения этих пропорций равны, что вытекает из подобия многоугольников, то 

Используя   свойство   ряда   равных   отношений   получим:

, или 

где S и S' — площади данных подобных многоугольников.

Заключение

В ходе работы над проектом по теме «Отношение площадей» мы узнали много дополнительной информации. Задачи, поставленные в начале работы над проектом, были решены. Мы познакомились с приемами решений планиметрических задач с использованием свойств отношения площадей, привели примеры задач, которые в дальнейшем помогут нам успешно решить задачи по геометрии из ЕГЭ, также узнали, как применяются полученные знания на практике.

В ходе работы решено большое количество задач разного уровня сложности. Это позволило осмыслить и создать целостное представление о пропорциональности при вычислении площадей треугольников и выпуклых многоугольников, усвоить на практике приобретённые знания.

Таким образом, цель работы достигнута. Выдвинутая гипотеза подтвердилась.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Геометрия. Учебник для общеобразовательных учреждений. М: Провещение,2012.

2. Гордин Р.К., ЕГЭ 2010. Математика. Задача С4.Геометрия.

Планиметрия.М.:МЦНМО,2010.

3. Черняк А.А, ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка.

СП.:БХВ-Петербург,2015.

4.http:/oldskola1.narod.ru/Nikitin/0092.htm

5.http:/ru.solverbook.com/spravochnik/formuly-po-geometrii/treugolnik/otnoshenie-ploshhadej-podobnyx-treugolnikov/

6.https:/interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/otnoshenie-ploschadey-podobnyh-treugolnikov

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/353986-proektnaja-rabota-otnoshenie-ploschadej