Разработка "ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА"

Анкудинова Л.Г. – учитель математики

высшей квалификационной категории

В помощь к учебнику геометрии

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА

ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО

ИНТЕГРАЛА

11 класс

2019 г

От автора

Понятие объема тела вводится в геометрии в 11 классе, но вычисление объемов тел, основанное на понятии интеграла, которое известно нам из курса алгебры и начала анализа, вводится после темы «Объем цилиндра».

Данная разработка показывает, что через определенный интеграл можно вычислить объем любой фигуры. Эти вычисления намного проще традиционных вычислений объемов, показанных в учебнике 10—11 классов Л.С. Атанасяна и др.

Для ребят, которые любят математику, есть хорошая возможность рассмотреть любую фигуру в разных позициях относительно начала координат.

В данном пособии можно увидеть, что через определенный интеграл можно с легкостью вычислить объем любой фигуры.

Желаю удачи!

Вычисление объемов тел

с помощью определенного интеграла.

Р ассмотрим способ вычисления объемов тел, основанный на понятии интеграла, которое известно из курса алгебры и начал анализа.

Пусть тело Т, объем которого нужно вычис­лить, заключено между двумя параллельными плоско­стями α и β. Введем систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна к плоскостям α и β, и обозначим буквами aиb абсциссы точек пересе­чения оси Ох с этими плоскостями (a<b). Будем счи­тать, что тело таково, что его сечение Ф (х) плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х и перпендику­лярной к оси Ох, является либо кругом, либо много­угольником для любого х принадлежащего [a;b] (при х = а и х =b сечение может вырождаться в точку, как, например, при x = а на рисунке). Обозначим площадь фигуры Ф (х) через S (х) и предположим, что S (х) — непрерывная функция на числовом отрезке [a;b].

Разобьем числовой отрезок [a;b] на п рав­ных отрезков точками а = х₀, х_1, х₂, ..., х_п = b и через точки с абсциссами x_i проведем плоскости, перпенди­кулярные к оси Ох. Эти плоскости разбива­ют тело Т на n тел: T_1, Т₂, ..., Т_п.

Если сечение Ф(х_i) — круг, то объем тела T_i
прибли­женно равен объему цилиндра с основанием Ф(х_i) и высотой ∆х_i= х_i- х_i-1= .

Если Ф(х_i) — многоугольник, то объем те­ла T_i приближенно равен объему прямой призмы с основанием Ф(х_i) и высотой ∆х_i.

И в том и в другом случае объем тела T_i приближенно равен S (х_i )• ∆х_i, а объем V всего тела Т можно приближенно вычислить по формуле

Приближенное значение V_n объема тела Т тем точнее, чем больше п и, следовательно, мень­ше ∆х_i Примем без доказательства, что lim Vn , при пстремящемся к бесконечности, равен

объему тела, т. е. V = lim Vn.

С другой стороны, сумма Vn является интег­ральной суммой для непрерывной функции S (х) на числовом отрезке [a;b], поэтому

В результате получается следующая формула для вычисления объема тел с помощью интеграла: .

Назовем ее основной формулой для вычисления объемов тел.

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

1). Рассмотрим прямоугольный параллелепипед так, чтобы высота h лежала на положительной полуоси Ох, а ребро b на положительной полуоси Oy.

Идокажем, что V=abh.

Возьмём некоторую точку Х на отрезке Oh и проведём через неё сечение параллелепипеда плоскостью, перпендикулярное к оси Ох, проходящей через точку Х. Так как нам дан прямоугольный параллелепипед, то все его боковые грани должны быть перпендикулярны основаниям. ОбозначимS(x) площадь сечения. В сечении получается прямоугольник равный основанию, так как OХ∥AB – это параллелепипед, OA∥Оh – так как параллелепипед прямоугольный и В₁ВОh по построению,  АО∥В₁В. Значит ОАВВ₁ – параллелограмм и по свойству параллелограмма АО=В₁В. Аналогично СС₁=DD₁, ОС₁=В₁D₁, АС=ВD. Следовательно, S(x)=S_основ=ab. Применяя основную формулу для вычисления объёма тел через интеграл, вычислим объём:

abh

Что и требовалось доказать.

2 ). А теперь мы расположим прямоугольный параллелепипед так, чтобы высота h лежала на отрицательной полуоси Ох, а ребро b лежало на положительной полуоси Oy, и докажем, что V=bha.

Возьмём некоторую точку Х на отрезке Oh и построим через неё сечение параллелепипеда плоскостью, перпендикулярное оси Ох и проходящей через точку Х. Так как нам дан прямоугольный параллелепипед, то все его боковые грани перпендикулярны основаниям. Обозначим S(x) площадь сечения. В сечении получается прямоугольник равный основанию, так как OХ∥AB – это параллелепипед, OA∥Оh – так как параллелепипед прямоугольный и В₁ВОh по построению,  АО∥В₁В. Значит ОАВВ₁ – параллелограмм и по свойству параллелограмма АО=В₁В. Аналогично, СС₁=DD₁, ОС₁=В₁D₁,АС=ВD. Следовательно, S(x)=S_основ=ab. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел через интеграл, вычислим объём:

=bah

Что и требовалось доказать.

3). А теперь расположим прямоугольный параллелепипед так, чтобы ребро а лежало на положительной полуоси Ох, и проинтегрируем его от 0 до а. Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда буквами а,b,h, а его объём буквой V и докажем, что V=abh.

В

B

Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел через интеграл, вычислим объём:

Что и требовалось доказать.

4). Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда буквами a,b,h, а его объём буквой V и докажем, что V=abh.

Введём координатную плоскость так, чтобы реброа лежало на отрицательной полуоси Ох, а высота h на полуоси Oy. Возьмём некоторую точку Х и рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, проходящей через точку Х. Так как дан прямоугольный параллелепипед, значит боковые грани перпендикулярны основанию, следовательно, и сечение через точку Х будет параллельно боковой грани. Обозначим S(x) площадь сечения. В сечении получается прямоугольник равный боковой грани, так как OХ∥AB – это параллелепипед, OAОХ – так как параллелепипед прямоугольный, В₁ВОХ - по построению, ⟹OA∥BB₁. Значит ОАВВ₁ – параллелограмм и по свойству параллелограмма АО=В₁В. Аналогично СС₁=DD₁,OC₁=B₁D₁, АС=ВD. Следовательно, S(x)=S_основ=bh. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел через интеграл, вычислим объём:

Что и требовалось доказать.

Объем прямой призмы

Объем прямойn-угольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

1). Рассмотрим прямую n-угольную призму с объемом V и высотой h. Введем координатную плоскость так, чтобы ось Ох совпадала с боковым ребром призмы, а значит и с высотой h, а ось Оy проходила через основание и призма располагалась на положительной полуоси Ох. Возьмем некоторую точку Х и рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, т.к. призма прямая, следовательно сечение равно основаниям. ОХ∥АА₁ – т.к. дана призма, ОА∥ХА₁ –по построению. => ОАА₁Х – параллелограмм => ОА = ХА₁. Аналогично доказывается ВА = В₁А₁, СВ = С₁В₁, СD = D₁С₁, ЕD = Е₁D₁, ЕО= Е₁Х. Обозначим S(x) площадь сечения. Значит S(x)= =S_основ. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел через интеграл вычислим объем:

V= =S=Sx=S(h-0)=Sh.

Что и требовалось доказать.

2). Рассмотрим прямую n-угольную призму с объемом V и высотой h. Введем координатную плоскость так, чтобы ось Ох совпадала с боковым ребром призмы, а значит и с высотой h, а ось Оy проходила через основание и призма располагалась на отрицательной полуоси Ох. Возьмемнекоторую точку Х и рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, т.к. призма прямая, следовательно сечение равно основаниям. ОХ∥ЕЕ₁ – т.к. дана призма, ОЕ∥ХЕ₁ –по построению. => ОЕЕ₁Х – параллелограмм => ОЕ=Е₁Х. Аналогично доказывается, что АВ = А₁В₁, СВ = С₁В₁, СD = С₁D₁, ЕD = Е₁D₁и АО = А₁Х._. Обозначим S(x) площадь сечения. Значит S(x)=S_основ. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел через интеграл вычислим объем:

V==S=Sх =S(0-(-h)) = Sh

Что и требовалось доказать.

3). Рассмотрим прямую n-угольную призму с объемом V и высотой h. Введем координатную плоскость так, чтобы ось Ох совпадала с боковым ребром призмы, а значит и с высотой h, а ось Оy делила высоту пополам. Возьмем некоторую точку Х и рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, т.к. призма прямая, следовательно, сечение равно основаниям. АА₂∥ВВ₂ – т.к. дана призма, АВ∥А₂В₂ –по построению. => АА₂В₂В – параллелограмм => АВ=А₂В₂. Аналогично доказывается, что СВ=С₂В₂, СD=С₂D₂, ЕD=Е₂D₂и т.д._. Обозначим S(x) площадь сечения. Значит S(x)=S_основ. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел через интеграл вычислим объем:

V==S) = Sх =S = Sh

Что и требовалось доказать.

С

Объем наклонной призмы

Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Рассмотрим треугольную призму объемом V, площадью основания S и высотой h. Отменим точку О на одном из оснований призмы и направим ось Ох перпендикулярно к основаниям. Рассмотрим сечение призмы плоскость, перпендикулярной к оси Ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим буквой Х абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью Ох, а через S(x)-площадь получившегося сечения.

Д окажем, что площадь S(x) равна площади S основания призмы. Для этого заметим, что треугольники АВС (основание призмы) и А₁В₁С₁ (сечение призмы рассматриваемой плоскостью) равны. В самом деле, четырехугольник АА₁В₁В– параллелограмм (отрезки АА₁ и ВВ₁ равны и параллельны), поэтому А₁В₁=АВ. Аналогично доказывается, что В₁С₁=ВС и А₁С₁=АС. Итак, треугольники А₁В₁С₁ и АВС равны по трем сторонам. Следовательно,S(x)=S_основ. Применяя теперь основную формулу для вычисления объемов тел через интеграл, получаем:

V= = S = Sx = S(h-0)=Sh

Что и требовалось доказать.

Объём цилиндра

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

1). Рассмотрим цилиндр в горизонтальном положении и расположим его так, чтобы высота лежала на положительной полуоси Ох, а ось Oy проходила через центры кругов, лежащих в основаниях. С объёмом V, площадью основания S,R – радиус цилиндра и высотой h. Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, в точке Х, перпендикулярное оси ОХ. В сечении получается, круг. Обозначим его площадь через S(x), а через R₁ – радиус сечения. S(x) =

Докажем, что R₁=R.

Рассмотрим, четырёхугольник АВСD он прямоугольный. Ось ОА параллельна прямой ВС- так как ВС образующая. Плоскость сечения параллельна плоскости основания, по построению, значит АВСD-прямоугольник. А в прямоугольнике противоположные стороны равны, отсюда R₁=R.

Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при а=0, а b=h, получаем:

Что и требовалось доказать.

2 ). А теперь рассмотрим цилиндр в горизонтальном положении так, чтобы он лежал на отрицательной полуоси Ох с объёмом V, площадью основания S, и высотой h.

Рассмотрим сечение цилиндра – это круг с площадьюS(x) и радиусом R_1.

S(x) =

Аналогично доказываем, что R₁=R и заменяем R₁ на R. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел через интеграл, вычислим объём:

Что и требовалось доказать.

3 ). А теперь рассмотрим цилиндр в горизонтальном положении так, чтобы одна часть цилиндра лежала на отрицательной части оси Ох, а другая часть цилиндра лежала на положительной полуоси Ох, с объёмом V, площадью основания S, и высотой h.

Рассмотрим сечение цилиндра. В сечении получается, круг с площадью S(x) и радиусом R_1.S(x)= .

Аналогично доказываем, что R₁=R и заменяем R₁ на R. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел через интеграл, вычислим объём:

Объём пирамиды

Объём треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

1)Рассмотрим треугольную пирамиду OABC объёмом V, площадью основания S и высотой h. Проведём ось Oxплоскости основания, чтобы пирамида располагалась на положительной полуоси, а вершина лежала в начале координат. Рассмотрим сечение A₁B₁C₁ пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через x абсциссу точки M₁ пересечёния этой плоскости с осью Ox, а через S(x) – площадь сечения. Выразим S(x)через S,hи x. Заметим, что треугольники A₁B₁C₁ и ABCподобны. В самом деле, , поэтому по двум углам Прямоугольные треугольники OA₁M₁ и OAM также подобны, т.к. имеют общий угол с вершиной O. Поэтому . Таким образом, . Аналогично доказывается, что и . Итак, треугольники A₁B₁C₁и ABC подобны с коэффициентом подобия . Следовательно, , или .

Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел, получаем

.

Ч то и требовалось доказать.

2) Рассмотрим треугольную пирамиду OABC объёмом V, площадью основания S и высотой h. Проведём ось Oxплоскости основания, чтобы пирамида располагалась на отрицательной полуоси, а вершина лежала в начале координат. Рассмотрим сечение A₁B₁C₁ пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через x абсциссу точки M₁ пересечёния этой плоскости с осью Ox, а через S(x) – площадь сечения. Выразим S(x)через S,hи x. Заметим, что треугольники A₁B₁C₁ и ABCподобны. В самом деле, , поэтому по двум углам

Прямоугольные треугольники OA₁M₁ и OAM также подобны, т.к. имеют общий угол с вершиной O. Поэтому . Таким образом, . Аналогично доказывается, что и . Итак, треугольники A₁B₁C₁и ABC подобны с коэффициентом подобия . Следовательно, , или .

Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел, получаем

.

Что и требовалось доказать.

3 )Рассмотрим треугольную пирамиду OABC объёмом V, площадью основания S и высотой h. Проведём ось Oxплоскости основания, чтобы пирамида располагалась на положительной и на отрицательной полуоси. Рассмотрим сечение A₁B₁C₁ пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через x абсциссу точки M₁ пересечёния этой плоскости с осью Ox, а через S(x) – площадь сечения. Выразим S(x)через S,hи x. Заметим, что треугольники A₁B₁C₁ и ABCподобны. В самом деле, , поэтому по двум углам Прямоугольные треугольники OA₁M₁ и OAM также подобны, т.к. имеют общий угол с вершиной O. Поэтому . Таким образом, . Аналогично доказывается, что и . Итак, треугольники A₁B₁C₁и ABC подобны с коэффициентом подобия . Следовательно, , или Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел, получаем

Что и требовалось доказать.

Объем усеченной пирамиды

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле

Рассмотрим усечённую пирамиду A₁B₁C₁ABC объёмом V, площадью основания S(площадь нижнего основания), S₁(площадь верхнего основания) и высотой h. Проведём ось Oxплоскости основания, чтобы пирамида располагалась на положительной полуоси, а вершина лежала в начале координат. Рассмотрим сечение A₂B₂C₂ пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через x абсциссу точки M₂ пересечёния этой плоскости с осью Ox, а через S(x) – площадь сечения, H_n-высота полной пирамиды. Выразим S(x)через S,h (высота усечённой пирамиды). Заметим, что треугольники A₂B₂C₂ иABCподобны. В самом деле, , поэтому по двум углам Прямоугольные треугольники OA₂M₂ и OAM также подобны, т.к. имеют общий угол с вершиной O. Поэтому . Таким образом, . Аналогично доказывается, что и . Итак, треугольники A₂B₂C₂ иABC подобны с коэффициентом подобия . Следовательно, , или .

Рассмотрим усечённую пирамиду A₁B₁C₁ABC и, применяя основную формулу для вычисления объёмов тел, получаем

.

Теперь сделаем замену H_n на b. Получаем

Заменим(b-a) на h. Т.к ∆A₂B₂C₂ ~∆ABC, как основания пирамиды = , и на . Получаем,

Что и требовалось доказать.

Объем конуса.

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

h

Рассмотрим _∆OXA и _∆OHA₁._∆OXA подобен _∆OHA₁ , по острому и прямому углу. Из подобия треугольника следует, что

или ,откуда т.к. , то

Что и требовалось доказать.

2)Рассмотрим конус с объёмом V, радиусом основания R и высотой H. Введём ось OX. Расположим конус так, чтобы высота H совпала с осью ОХ и лежала на отрицательной полуоси OX. Вершина конуса лежала в начале координат. Возьмём произвольную точку X и проведём через неё сечение, перпендикулярное оси ОХ. В сечении конуса получился круг с центром в точке X. Площадь сечения обозначим S(x), а радиус – R₁.

Рассмотрим_∆A₁OX и _∆AOH._∆A₁OX подобен _∆AOH по острому углу AOH и прямым углам AHO и A₁XO.

Отношение их сторон будет:

; ;

Что и требовалось доказать.

3 )Рассмотрим конус с объёмом V, радиусом основания R и высотой h. Введём ось OX. Расположим конус так, чтобы высота H совпадала с осью ОХ и лежала на отрицательной полуоси OX. А ось ОУ проходила через основание конуса. На оси OX возьмём произвольную точку X и проведём через неё сечение, перпендикулярное оси ОХ. В сечении конуса получается круг с центром в точке X. Обозначим радиус этого круга R₁ , а площадь сечения через S(x).

Рассмотрим_∆AOH и _∆A₁XH._∆AOH подобен _∆A₁XH по острому углу AHO и прямым углам A₁XH и AOH.

; ;

=

Что и требовалось доказать.

4 )Рассмотрим конус с объёмом V, радиусом основания R₁, и высотой h. Расположим конус так, чтобы высота H совпадала с осью ОХ и лежала на положительной полуоси ОХ. На оси ОХ возьмём произвольную точку Х и проведём через неё сечение, перпендикулярное оси ОХ. В сечении конуса получается круг, с центром в точке Х. Обозначим радиус этого круга R, а площадь сечения через S(x).

Р ассмотрим_∆А₁ОН и _∆АХН._∆А₁ОН подобен _∆АХН по острому углу А₁ОН и прямым углам А₁ОН и АХН. Из подобия треугольников следует, что

; ;

х

Что и требовалось доказать.

5)Рассмотрим конус с объёмом V, радиусом основания R и высотой h. Введём ось ОХ. Расположим конус так, чтобы высота совпадала с осью ОХ и лежала как на положительной, так и на отрицательной полуоси ОХ. На оси ОХ возьмём произвольную точку Х и проведём через неё сечение, перпендикулярное оси ОХ. В сечении конуса получился круг, с центром в точке Х. Обозначим радиус этого круга R₁, а площадь сечения S(x). Рассмотрим _∆ А₁ХМ и _∆AMN._∆ А₁ХМ подобен _∆ANM по острому углу AMN и прямым углам А₁ХМ и ANМ.

Из подобия треугольников следует, что

; = ; =

= ; = ;

=

Объем усеченного конуса.

ОбъемV усеченного конуса, высота которого равна h, радиусы оснований равны R₁ и R₂, вычисляется по формуле:

Найдем объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований ( ), а высота h.

Дополним данный усеченный конус до полного. Пусть х - его высота. Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конус: одного с радиусом основанияR₁ и высотой х, другого с радиусом основания R₂ и высотой x-h.

Из подобие конусов находим x:

;

Объем усеченного конуса равен:

V= π π

.

Объем шара.

Объем шара радиуса R равен

1 )Рассмотрим положение шара радиуса R и с центром в точке О₁таким образом, чтобы ось OY была касательной к окружности и проходила через точку O, а ось OX была расположена на положительной полуоси OX и проходила через диаметр OB. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси OX и проходящей через точку M этой оси, является кругом с центром в точке M. И расположим точку M на оси OX так, чтобы она находилась между точкамиO и O₁. Обозначим радиус круга через , а его площадь через S(x), где x-абцисса точки М. Выразим площадь сечения S(x) через x и R (радиус шара). Рассмотрим треугольникO₁CM – этот треугольник прямоугольный, так как площадь сечения перпендикулярна оси OX по условию. Таким образом, по теореме Пифагора, мы можем выразить черезR и X, получим:

Так как площадь сечения , то подставив в данное выражение выраженное через R и X, получим S(x)= (2Rx-x²)

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки M на диаметре шара OB, то есть для всех X, удовлетворяющих условию 0≤X≤2R. Применяя основную формулу для вычисления объёма тела с помощью определённого интеграла, получим:

Что и требовалось доказать.

2)А теперь рассмотрим положение шара радиуса R с центром в точке О₁ таким образом, чтобы ось OX была расположена на отрицательной полуоси OX и проходила через диаметр КО. А ось OY была касательной к окружности, проходящей через точку О. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной оси OX и проходящей через точку М, этой оси является кругом с центром в точке М. И расположим точку М на этой оси OX так, чтобы она находилась между точками О₁ и О. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(x), где x – абцисса точки М.

Выразим площадь сечения S(x) через X и R (радиус шара).

Рассмотрим треугольник О₁ СМ – этот треугольник прямоугольный, так как площадь сечения перпендикулярна к оси OX по условию. Таким образом, по теореме Пифагора, мы можем выразить r через X и R, получим:

Так как площадь сечения , то подставив в данное выражение выраженное через R и x, получим

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре шара KO, то есть для всех Х, удовлетворяющих условию -2R≤x≤0. Применяя основную формулу для вычисления объёма шара с помощью определённого интеграла, получим:

Что и требовалось доказать.

3)Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О расположенный таким образом, чтобы начало координат совпадало с центром шара.

Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга черезr, а его площадь через S(x), где x-абцисса точки М.

Выразим площадь сечения S(x) через x и R (радиус шара).

Рассмотрим треугольник ОСМ – прямоугольный, т.к площадь сечения перпендикулярна оси ОХ по условию. Таким образом, по теореме Пифагора, мы можем выразить r через R и X, получим:

Так как площадь сечения S(x)= , то подставив в данное выражение выраженное через R и x, получим S(x)=(R²-x²).

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре шара АВ, т.е. для всех x, удовлетворяющих условию -R≤x≤R. Применяя основную формулу для вычисления объёма тела с площадью определённого интеграла, получим;

Что и требовалось доказать.

Объем шарового сегмента.

Рассмотрим шар, пересечённый плоскостью ,проходящий через точку B. И данная плоскость , будет разделять наш шар на два сегмента. Отрезки АВ и ВС диметра АС, перпендикулярного к секущей плоскости, является высотами сегментов.

Пусть радиус шара равен R, а высота сегмента AB = h. Проведём ось ОХ перпендикулярно к плоскости , тогда площадь S(x) произвольного сечения шарового сегмента плоскостью, перпендику-лярной к оси ОХ, выражается формулой: (доказанной раннее при выведении формулы объёма шара) при R-h≤x≤R.

Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел с помощью определённого интеграла, где R и R - h – пределы интегрирования, получим:

О бъем шарового сектора.

Рассмотрим конус вращения с вершиной в центре шара, лежавшая внутри такого конуса, называется шаровым сектором. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента, высоты h, и конуса высоты (R-h) . Поэтому его объём является суммой объёмов шарового сегмента V₁ и конуса V₂:

Таким образом, имеем:

, где r – радиус конуса.

Из прямоугольного треугольника АОО₁ находим , получаем:

, получаем

Что и требовалось доказать.

27