Решение банковских задач

ЗАДАНИЕ №17 ЕГЭ (профиль)

1. Задачи на дифференцированные платежи

Одной из основных целей при решении «банковских» задач является то, что нужно выбрать к какому виду относится данная задача. Для этого нужно выделить «ключевую» фразу: долг уменьшается на одну и ту же величину, каждый раз клиент выплачивает набежавшие проценты за период и 1/n часть основного долга(n- срок, на который берется кредит).

Задача 1.

31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение.

Х рублей – ежегодная плата.

I год:

II год:

После второго взноса кредит погашен полностью, значит, остаток равен нулю. Решим полученное уравнение.

Ответ: 2 622 050

Задача 2.

31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 6 944 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (т.е. за три года)?

Решение.

I год:

II год: =

III год:

После третьего взноса кредит погашен полностью, значит, остаток равен нулю. Решим полученное уравнение.

Ответ:2 916 000

Задача №3

Фермерское хозяйство «Сапфир» планирует купить культиватор, взяв кредит в банке 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит раз год равными платежами (кроме, может быть, последней) после зачисления процентов. Процентная ставка, предлагаемая банком – 10 % годовых. На какое минимально количество лет фермерское хозяйство может взять кредит, чтобы ежегодные  выплаты были не более 350 тысяч рублей?

Данная задача относится к первому типу, т.е. необходимо найти, за сколько периодов N  кредит будет выплачен полностью.

Решение

Итак, имеем А=1500 000 руб, а = 10%, р= 1+0,01*а=1,1.

N≥0, S≤ 350 000 руб,

В конце первого года долг составит: 1500 000 *1,1 – 350 000=1300 000 руб.

В конце второго года долг составит:1300 000 *1,1 – 350 000=1080 000 руб.

В конце третьего года долг составит: 1080 000 *1,1 – 350 000=838 000 руб.

В конце четвертого года долг составит: 838 000 *1,1 – 350 000=571800 руб.

В конце пятого года долг составит:571 800 *1,1 – 350 000=278980 руб.

В конце шестого года долг составит:278900 *1,1 =306878 руб.

Полученная сумма меньше 350 000 руб.

Ответ: кредит будет погашен за 6 лет.

Задача №4

Фермерское хозяйство «Колос» для покупки комбайна берёт 15 960 000 рублей в кредит под 30% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 30%), затем фермерское хозяйство  переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение

Итак, имеем А=15960000 руб, а = 30%, р= 1+0,01*а=1,3.

Пусть искомый ежегодный платёж составляет Х рублей.

Тогда в конце первого года клиент будет должен

1,3 * 15 960 000 − x = (20 748 000 − x) рублей.

Аналогично, в конце второго года его долг составит

(1,3 *(20 748 000 − x) − x) = 26 972 400 − 2,3x рублей,

а к концу третьего : 1,3 * (26 972 400 − 2,3x) − x = 35 064 120 − 3,99x рублей.

Однако по условию клиент должен выплатить кредит тремя равными платежами, то есть в конце третьего года его долг должен составить 0 рублей.

35 064 120 − 3,99x = 0, x = 8 788 000.

Ответ: 8 788 000 рублей.

Задача №4

31декабря 2018 года фермерское хозяйство «Хуторок» планируется взять кредит в банке для покупки животноводческой фермы под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем фермерское хозяйство переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму может взять фермерское хозяйство в банке, чтобы выплатить долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?

Решение

Пусть сумма кредита Х, а сумма ежегодного платежа S = 2928200  руб., а = 10%, р= 1+0,01*а=1,1, тогда распишем сумму долга для каждого года:

1 год: 1,1х–S.

2 год :(1,1х – S) 1,1 – S.

3 год : (1,1 ² х –1,1 S – S) 1,1 – S

4 год : 1,1 ⁴ х – S (1,1+1)(1,1² +1) .

После последней выплаты сумма долга стала равна нулю.

Составим и решим уравнение: 1,1 ⁴ х – S (1,1+1)(1,1² +1)

1, 4641х - 4,641S = 0

1, 4641х = 4,641* 2928200

х = 9282000

Ответ: 9282000 рублей.

Задача №5

31 декабря 2014 года фермер, занимающийся разведением цветов в теплицах,  взял в банке 1000000 рублей в кредит на приобретение удобрений. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем фермер переводит в банк очередной транш. Фермер выплатил кредит за 2 транша. В первый раз он перевел в банк 660000 рублей, во второй – 484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит фермеру?

Решение

Пусть А=1000000 рублей , первый транш S₁=660 000 рублей, второй транш S₂=484 000 рублей. Необходимо найти а, если р=1+0,01а.

Сумма долга после выплаты первого транша будет равна:

100000(1+0,01 а ) – 660000=340000+10000а.

Сумма долга после выплаты первого транша будет равна:

(340000+10000а) (1+0,01 а )  – 484000.

После выплаты второго транша сумма долга стала равна нулю.

Составим и решим уравнение:

(340000+10000а) (1+0,01 а )  – 484000= 0

100а² +13400а -144000 = 0/ :100

а² +134а – 1440 = 0

D = 23716 = 154² , а₁ = 10, а₂ = -144 - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 10%

2.Задачи на аннуитетные платежи

Аннуитетные платежи – это гашение долга равными порциями, в эту сумму входит набежавший процент за определенный период времени и плюс гашение основного долга . В результате должна получиться одна и та же сумма. Этот кредит не очень выгоден, т.к. основной долг погашается очень медленно. В первую очередь снимают набежавшие проценты, а во вторую очередь часть основного долга, дополняющую до некоторой суммы , поэтому проценты погашаются большие. Но банки должны предупреждать об этом клиентов и клиент выбирает вид платежа.

Прежде, чем решать задачу, перечислим все используемые в решении величины

с соответствующими обозначениями:

S – сумма кредита (в рублях);

n – срок кредита (в месяцах);

r – процентная ставка по кредиту (в процентах);

S

на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма

выплат после полного погашения составит 38 млн. рублей?

= *16* *

2*(n+1)+16=38,

2n+2+16=38,

2n=20,

n=10.

Значит, на 10 лет взят кредит.

Ответ: на 10 лет.

Задача №2

.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку r , если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.

Решение

Задача №3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку r , если известно, что последний платёж будет не менее 0,92 млн рублей.

Решение

S₁₀= + * = (1 +),

(1 + )=0.92,

80(1 + )=92,

= 12,

r = ,

r = 15.

Значит, 15% наименьшая возможная ставка.

Ответ: 15%

Задача 4.

15-го января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия

его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом

предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину

меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок

кредитования, на 15% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.

Решение

= S*+ * +* + … + * = * (9+8+7+…+1)= * * *9=

=S+ = =

=1,15S ,

=1,15S ,

5S(20+r)=115,

r=3.

Значит, кредит взят под 3% годовых

Ответ: 3%

Задача 5.

15-го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возвращается на r % по сравнению с номером предыдущего месяца;

Со 2-го числа 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяц.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения на 15% больше суммы, взятой кредит. Найдите r.

S%=S* + *+ *+ … + * = * (14 + 13 + 12 +…+1)= * * *14=r S,

Sобщ=S + = S(1 + r),

S(1 + r)=1,15 S,

r=0,15,

r= =2%.

Ответ:2%

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/362259-reshenie-bankovskih-zadach