Занимательная арифметика» я. И. перельмана

Уроки № 1, 2

в рамках недели математики

Внеурочная деятельность

«Занимательная арифметика» Я.И. Перельмана

Горшкова Н.Н.

Учитель математики МБОУ СОШ №6 г. Пушкино.

Цель мероприятия:

знакомство с жизнью и творчеством великого популяризатора науки Я.И. Перельмана;

поиск и поддержка талантливых детей.

повышение интереса к математике;

мотивация знакомства с той или иной темой поближе;

вовлечение учащихся в самостоятельную работу по математике.

Учебно-воспитательные задачи: создание условий проявления креативных способностей, соответствующих творческой деятельности учеников. Поощрение проявлений инициативности, изобретательности, смекалки в учебной и внеурочной деятельности школьников. Раскрытие творческого потенциала учащихся.

Оснащение: мультимедийный проектор, компьютер с презентацией,Оформление: стенд с книгами Я.И. Перельмана, фотографии.

Подготовка к мероприятию: мероприятие проводилось в рамках недели математики для учащихся 5-ых классов СОШ №6. За несколько недель до проведения урока старшеклассники должны были ознакомиться с творчеством Я.И. Перельмана, особое внимание уделить книге “Занимательная арифметика” и выбрать интересный материал, который удивит учащихся 5-ых классов.

Ход урока

Доклад на тему: “Жизнь и творчество Я.И. Перельмана”, подготовленный старшеклассниками школы (8класс), с презентацией.

Сообщения старшеклассников по теме: «Галерея числовых диковинок» из книги Я.И. Перельмана «Занимательная арифметика»

Яков Исидорович Перельман

Яков Исидорович Перельман родился в г. Белостоке Гродненской губернии в декабре 1882 г. Его отец, служивший счетоводом на суконной фабрике, скончался через год. На руках у матери осталось двое детей - Яков и его старший брат Осип. Жизнь этой семьи была непростой, но мать делала все возможное, чтобы мальчики получили хорошее образование.

Г. Белосток

Старший брат Осип

В городе было только одно учебное заведение - белостокское реальное училище, куда Яков поступил в 1895 г. Это училище славилось своими педагогами, которые не только давали знания, но и учили мыслить самостоятельно, развивали любознательность к самому процессу учебы.

Любимыми предметами Якова были математика и физика. Его учителя, несомненно, повлияли на жизненный выбор Якова. Они воссоздавали старые физические эксперименты, например, опыты Ньютона по разложению света, получение искусственной молнии. Умение видеть необычное в обычном довольно рано проявилось у Якова.

Первая публикация Якова Исидоровича относится к 1899 г. Началось все с книжки, в которое предвещался “конец света”, - огненный дождь должен был в 1900 г. уничтожить все живое на Земле. В преддверии XX в. Подобных зданий было немало. В возрасте 17-ти лет Яков решил написать статью, разоблачающую такие предсказания.

В газете “Гродненские губернские ведомости” был опубликован его очерк “По поводу ожидаемого огненного дождя”. Но ученикам под угрозой исключения запрещалось печататься в газетах и журналах. Так появился псевдоним “Я.П.”. Статья Перельмана занимала три больших столбца и производила солидное впечатление. Причем удачно выбранная форма непринужденной беседы весьма успешно сочеталась с точными подсчетами и яркими сопоставлениями. Так впервые был опробован стиль, который впоследствии станет визитной карточкой Я.И.Перельмана.

Летом 1901 г. Яков Перельман закончил белостокское реальное училище. В аттестате по 11 из 12 предметов стояли пятерки. Старший брат Осип к тому времени уже учился в петербургском Лесном институте. Туда же подал документы и Яков и был зачислен по конкурсу аттестатов. Яков Исидорович начал сотрудничать в журнале “Природа и люди”. Там он проработал без малого семнадцать лет. И за это время на страницах журнала было опубликовано более пятисот его очерков, статей, заметок.

Лесной институт славился высоким уровнем преподавания. Здесь уже во второй раз Перельману повезло с педагогами. Особо выделял он профессоров, читавших курс физики и математики. Именно тогда впервые Яков Перельман услышал, что математика и физика помогают выработать у человека правильное мировоззрение.

Дипломная работа Перельмана получила высшую оценку и была признана образцовой. Ему предлагали остаться в институте - и на кафедре физики, и на кафедре математики. Но к тому времени было написано уже более десятка очерков и заметок. Призвание литератора возобладало над всеми остальными интересами. Ведь в 1904 г., будучи студентом, он уже становится ответственным секретарем журнала “Природа и люди”.

Лесной институт

Многое из напечатанного в журнале позже вошло в первую книгу Я.И.Перельмана “Занимательная физика”. Она увидела свет в 1913 году. Ни автор, ни издатель даже не предполагали, что книга будет иметь такой ошеломляющий успех. А между тем яркий калейдоскоп оригинальных парадоксов, разнообразных фактов, запоминающихся примеров, созданный Перельманом на ее страницах, буквально завораживал читателей. Хвольсон, профессор Петербургского университета, узнав, что книга написана не физиком, сказал автору, что ученых-лесоводов у нас предостаточно, а вот людей, которые умели бы так писать о физике, нет вовсе.

 Спустя несколько лет увидели свет “Занимательная астрономия, II часть “Занимательной физики”, “Занимательная геометрия”, “Занимательная арифметика”, “Занимательная алгебра”, “Занимательная механика”, а еще – “Фокусы и развлечения”, “Физика на каждом шагу”, “Загадки и диковинки в мире чисел” и т. д., всего более ста названий. Словом, целая научно-популярная библиотека.

“Занимательные” книги выдержали множество переизданий с незначительными изменениями.  И это еще один из парадоксов, как при такой огромной работе Перельман успевал заниматься еще миллионом самых разных дел: он преподавал, создавал новые учебные программы, редактировал журналы, участвовал в работе научных обществ, постоянно выступал с докладами. Работая в 1916–1917 гг. в петроградском “Особом совещании по топливу”, он впервые в России предложил перевести стрелку часов на час вперед в целях экономии горючего, что и было без промедления осуществлено.

Дом занимательной науки

 А в середине 30-х Перельман вместе с единомышленниками создал удивительный музей – “Дом занимательной науки”. Общеизвестно, что любая уважающая себя экспозиция пестрит предостерегающими надписями: “Руками не трогать!”, “За ограждения не заходить!”. Здесь же все было наоборот – обязательно трогать руками, вертеть так и эдак, даже попытаться сломать, если получится, словом – вовсю работать с экспонатами, большинство из которых пришли из перельмановских книг по математике, физике, астрономии. Были в музее и совершенно уникальные вещи, были и самые обычные. Но и они поражали экскурсантов своими возможностями. Так, простые торговые весы могли без труда отгадать любое задуманное число и фамилию.

Модель вечного двигателя

Даже буфет Дома занимательной науки был устроен с разными причудами. Наряду с обычными стаканами, блюдцами, чайными ложками здесь попадалась и “оперельманенная” посуда. Из бутылки, стоящей в битом льду, наливали кипящий чай, а чайная ложка таяла быстрее сахара, который она размешивала. Только потом изумленным посетителям объясняли, что бутыль – это сосуд Дьюара (наиболее совершенный термос), ложечка же сделана из сплава Вуда, тающего при температуре 68 градусов по Цельсию. Естественно, что от экскурсий не было отбоя. Экспозиция музея постоянно росла. Организаторы готовились открыть новые залы. Но их планам не суждено было осуществиться — началась Великая Отечественная война. В блокаду музей погиб.

 К началу войны Якову Исидоровичу было 59 лет. Холод и голод блокадного Ленинграда подточили его силы. На дежурстве в госпитале скончалась от истощения его жена, врач Анна Давидовна. А в 1942 г. не стало и самого Перельмана.

Мишкевич, автор книг и статей о творчестве Якова Перельмана подсчитал: за 43 года деятельности - 105 книг и брошюр, в том числе 47 научно-популярных, 40 научно-занимательных, 18 учебных пособий. Его именем назван кратер на обратной стороне Луны.

Живые и занимательные книги Перельмана удивят, заставят задуматься, приобщат к творчеству и исследовательской деятельности еще многие поколения школьников.

Сообщения старшеклассников по теме: « Галерея числовых диковинок»

Чем замечательно число 365, число дней года? Каким свойством оно обладает? Ответ на этот вопрос можно найти в книге Я.И. Перельмана.

_{Число 365}

Оно замечательно прежде всего тем, что определяет число дней в году. Далее, при делении на 7 оно дает в остатке 1; эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имеет большое значение для нашего семидневного ка­лендаря.

Другая особенность числа 365 не связана с календарем:

365 = 1010 + 1111 + 1212,

т. е. 365 равно сумме квадратов трех последовательных чи­сел, начиная с 10:

_{102+112+122=100+121 + 144 = 365}

Но и это еще не все, - тому же равна сумма квадратов двух следующих чисел, 13 и 14:

_{132+142=169+196 = 365.}

На указанном свойстве числа 365 основана задача С. А. Рачинского, изображенная на известной картине «Трудная задача» Богданова-Бельского:

^{102+ 112+ 122+ 132+ 142}_?

³⁶⁵

Таких чисел немного наберется в нашей галерее ариф­метических диковинок.

Число Шехерезады

Кто из вас читал волшебные арабские сказки из сборника «Тысяча и одна ночь»? Мы их знаем: «Волшебная лампа Алладина», «Сказка про Али-Бабу и сорок разбойников» и другие. Не читали? Прочитайте обязательно, но сегодня мы поговорим о другом, о фокусах, связанных с этим числом. Поможет нам опять замечательная книга Я.И. Перельмана «Занимательная арифметика».

Следующее на очереди у нас число 1001— прослав­ленное число Шехерезады. Вы, вероятно, и не подоз­ревали, что в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается также своего рода „чудо", которое могло бы поразить воображение сказочного султана неменее мно­гих других чудес Востока, если бы он способен был интересо­ваться арифметическими диковинками.

Чем же замечательно число 1 001?С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избран­ному разряду так называемых „простых" чисел. Оно делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13 — на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. Но не в том диковинка, что число 1 001 = 71113, — здесь нет еще ничего волшебного. Замечательнее то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из самого умноженного числа, только написанного дважды. Например:

8731 001=873 873,

2071 001=207 207,

_{и т. д.}

И хотя этого и следовало ожидать, так как

8731 001 = 873 1 000 + 873 = 873 000 + 873,

все же, пользуясь указанным свойством числа Шехерезады, можно достичь результатов совсем неожиданных, кажущихся волшебными, по крайней мере человеку неподготовленному.

Сейчас поясним, в чем дело.

Фокус

Кружок товарищей, не посвященных в арифметичес­кие тайны, вы можете поразить следующим фокусом.

Пусть кто-нибудь напишет на бумажке — секретно от вас — трехзначное число, какое хочет, и затем пусть припи­шет к нему еще раз то же самое число. Получится шестизнач­ное число, состоящее из трех повторяющихся цифр.

Предложите тому же товарищу или его соседу разде­лить — секретно от вас — это число на 7; при этом вы заранее предсказываете, что остатка не получится. Результат передается новому соседу, который, по вашему предложению, де­лит его на 11; и хотя вы не знаете делимого, вы все же смело утверждаете, что и оно разделится без остатка.

Полученный результат вы направляете следующему соседу, которого просите разделить это число на 13,— деле­ние снова выполняется без остатка, о чем вы заранее преду­преждаете.

Результат третьего деления вы, не глядя на полученное число, вручаете первому товарищу со словами:

— Вот число, которое вы задумали! Так и есть: вы угадали. Какова разгадка фокуса?

Разгадка фокуса

Этот красивый арифметический фокус, производящий на непосвященных впечатление волшебства, объясняется очень просто: вспомните, что приписать к трехзначному чи­слу его само — значит, умножить его на 1 001, т. е. на произве­дение71113.Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к задуманному числу его само, должно будет поэтому делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13. А в результате деления последовательно на эти три числа (т. е. на их произведение — 1 001) оно должно, ко­нечно, снова дать задуманное число.

Выполнение фокуса можно при желании видоизменить так, чтобы иметь возможность объявить загадчику число, ко­торое получается у него в итоге выкладок. Вы знаете, что ше­стизначное число, над которым начинают проделывать вычи­сления, равно произведению:

(задуманное число)  7  11  13.

Поэтому, если вы попросите разделить шестизначное число сначала на 7, потом на 11, потом на задуманное, то с уве­ренностью можете объявить конечный итог всех делений: 13.

Повторяя фокус, вы попросите производить деление в ином порядке: сначала на 11, потом на задуманное число и на 13. Последнее деление должно дать в частном 7. Или сначала на 13, потом на задуманное число и на 7; конечный итог 11.

Читайте книги Я.И. Перельмана и узнаете много интересного о других диковинных числах 10001, 10101, 111111.

Числовые пирамиды

А теперь поговорим о числовых пирамидах. Что это такое? Найдем ответ в книге Я.И. Перельмана. Красиво? Завораживает? Сколько чудес таит арифметика!

В следующих витринах галереи нас поражают число­вые достопримечательности совсем особого рода — некото­рое подобие пирамид, составленных из чисел. Рассмотрим по­ближе первую из них.

Пирамида1

Как объяснить эти своеобразные результаты умно­жения?

Чтобы постичь эту странную закономерность, возьмем для примера какой-нибудь из средних рядов нашей числовой пирамиды:

123 456 9 + 7.

Вместо умножения на 9 можно умножить на (101),т. е. приписать 0 и вычесть множимое:

123 456 9 + 7 = 1 234 560 + 7  123 456 =

Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из одних единиц.

Мы можем уяснить себе это исходя и из других рассу­ждений. Чтобы число вида 12 345 ... превратилось в число вида 11 111 нужно из второй его цифры вычесть 1,из третьей 2,из четвертой 3,из пятой 4и т. д. Иначе го­воря, вычесть из него то же число вида 12 345 укороченноена свою последнюю цифру, т. е. вдесятеро уменьшенное и предварительно лишенное последней цифры.

Теперь понятно, что для получения искомого резуль­тата нужно наше число умножить на 10, прибавить к нему сле­дующую за последней цифру и вычесть из результата перво­начальное число (а умножить на 10-и отнять множимое — зна­чит, умножить на 9).

Пирамида 2

Сходным образом объясняется образование и следу­ющей числовой пирамиды, получающейся при умно­жении определенного ряда цифр на 8 и прибавлении после­довательно возрастающих цифр.

Особенно интересна в пирамиде последняя строка, где в результате умножения на 8 и прибавления 9 происходит превращение полного натурального ряда цифр в такой же ряд, но с обратным расположением.

Попытайтесь объяснить эту особенность.

Получение странных результатов уясняется из следующей строки:

12 345 8 + 5 =

т.е.12 345 8+ 5= 111 111 12 346. Но, вычитая из числа 111 111 число12 346, составленное из ряда возрастающих цифр, мы, как легко понять, должны получить ряд убыва­ющих цифр: 98 765.

Пирамида 3

Вот, наконец, третья числовая пирамида, также требу­ющая объяснения. Эта пирамида является прямым следствием первых двух.

Связь устанавливается очень легко. Из первой пирамиды мы знаем уже, что, например:12 345 9 + 6 = 111 111. Умножив обе части на 8, имеем:

(12 345 8  9) + (6  9) = 888 888.

Перельман пишет, что многие наивные люди считают пирамиды все же неразгаданными. В своей книге автор объяснил закономерности.

Читайте и вы тоже будете знать!

¹ Почему 12 3459 + 6 дает именно 111 111, было показано при рассмотрении предыдущей числовой пирамиды.

Девять одинаковых цифр.

Нельзя не вспомнить о девяти одинаковых цифрах.Конечная строка первой из рассмотренных пирамид

12 345 678  9 + 9 = 111 111 111

представляет образчик целой группы интересных арифмети­ческих курьезов, собранной в нашем „музее" в таблицу:

12345679 9 = 111111111

12345679 18 = 222222222

12345679 27 = 333333333

1234567936= 444444444

1234567945= 555555555

1234567954= 666666666

12345679 63 = 777777777

1234567972= 888888888

12345679 81 = 999999999.

Откуда такая закономерность в результатах?

Примем во внимание, что 12 345 678 9+ 9 = (12 345 678+ 1)  9 = 12 345 679 9.

Поэтому

12 345 679 9=111 111 111.А отсюда прямо следует, что

12 345 679  9  2 = 222 222 222,

12 345 679  9  3 = 333 333 333,

12345 679  9  4 = 444 444 444.

В то время, когда на слайдах появляются пирамиды, ребятам предлагают проверить верность равенств на выбор, кому какое нравится.

Подведение итогов

Читайте замечательные книги Я.И. Перельмана, знакомьтесь с красивыми опытами по физике, фокусами, шарадами и т. д., вы узнаете много интересного о мире, который нас окружает!

Список литературы:

Перельман Я.И. Занимательная физика. Книга 1. – М., 1972.

Перельман Я.И. Занимательная арифметика. – М., 1994.

Мишкевич Г.И. Доктор занимательных наук. – М., 1986.

Ресурсы Internet: www.fictionbook.ru/author/perlman_yakov_isid

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/372401-zanimatelnaja-arifmetika-jai-perelmana