Решение олимпиадных задач по теме «Неравенства»

ИТОГОВОЕ ЗАДАНИЕ

ПО ПРОГРАММЕ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

по теме «Неравенства»

«Подготовка учащихся к олимпиадам по математике»

(модуль вариативной части повышения квалификации
по именному образовательному чеку)

Никитина Ирина Викторовна

МБОУ Школа №100 г.о. Самара

Дама сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж, корзину, картину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж, вместе взятые, и столько же, сколько картина, корзина и картонка, вместе взятые. Картина, корзина и картонка весили поровну и каждая из них больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той порода. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если к ней на весы добавить саквояж или чемодан. Докажите, что претензия дамы справедлива.

Решение. Обозначим массы предметов их первыми буквами: Д (диван), Ч (чемодан), С (саквояж), К (корзина, картина, картонка), а массу маленькой собачонки – буквой М.

Из условия задачи Д=Ч+С (1), Д=3 К (2), К>М (3), М+С>Д (4), М+Ч>Д (5).

Сложив неравенства (4) и (5) и воспользовавшись уравнением (1), найдём, что 2М>Д, с другой стороны, подставив условие (3) в уравнение (2), найдём, что Д>3М. Эти неравенства противоречивы: из них получается, что 2М>3М, т.е М<0. Таким образом, претензия дамы справедлива.

Дан прямоугольник АВСD. В нём берется произвольная точка и через нее проводятся две прямые, параллельные его сторонам. Они разбивают прямоугольник на 4 меньших прямоугольника. Докажите, что площадь хотя бы одного из прямоугольников, содержащих точки А или С, не больше ¼ площади всего прямоугольника.

Едет колонна автобусов. Автобус считается переполненным, если в нем едет более пятидесяти пассажиров. Инспекторы Подберезовиков и Подосиновиков остановили эту колонну. Подберезовиков подсчитал процент переполненных автобусов, а Подосиновиков – процент пассажиров, едущих в переполненных автобусах. У кого процент больше?

Найдите 11 чисел, каждое из которых равно квадрату суммы 10 остальных

Доказать, что для положительных чисел а₁, а₂, …, а_n справедливо неравенство

.

Докажите неравенство , где

Докажите, что при 0<a<1.

Решение. Найдём производную функции . <0 при . Значит f(a) убывает на промежутке (0;1). Следовательно,f(0)>f(1),гдеf(1)=3, т.е. при 0<a<1. ч.т.д.

Докажите, что sin ⁶x + cos⁶x 0,25 .

Решение. sin ⁶x+cos⁶x= (sin ²x + cos ²x)(sin⁴x – sin ²x cos ²x + cos ⁴x) =

= (sin ²x + cos ²x) – 3sin ²x cos ²x=sin² 2x.

т.к., то тогда .

т.е.sin⁶x +cos⁶x 0,25 .

Решите неравенство

.

Решение.Тогда

или, т.е. . Из неравенства получим

Ответ:.

Решите неравенство

.

Решение.Область определения неравенства задаётся условием . Обозначим ,. Заметим, что при х<0 выполняются неравенства и (поскольку arctgx<0 при х<0). Значит, при отрицательных х неравенство не выполняется.

Если же , то части неравенства меняют знак: и , откуда .

Ответ:[0;4].

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/372582-reshenie-olimpiadnyh-zadach-po-teme-neravenst