Рабочая программа по курсу: «Замечательные неравенства, их обоснование и применение»

Приложение

к основной образовательной программе

основного общего образования

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

«Ницинская средняя общеобразовательная школа»

Рабочая программа

курса

« Замечательные неравенства, их обоснование и применение»

для 10-11 классов

Составитель:

Полякова Маргарита Адольфовна,

учитель математики,

с. Ницинское, 2019г

Пояснительная записка

Программа ориентирована на обучающихся старших классов (10 – 11) общеобразовательной школы, имеющих базовую подготовку по математике и рассчитана на 140 часов.

Предлагаемый курс дополняет базовую программу по математике, позволяя обучающимся пройти путь от способов решения простых числовых неравенств, встречающихся в школьной программе до обоснования замечательных неравенств Коши–Буняковского, Чебышева и др.

Полученные навыки решения этих неравенств необходимы обучающимся для дальнейшего обучения в высших учебных заведениях математического профиля. Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления обучающихся, исследовательских навыков. Материал курса позволяет показать обучающимся как красоту и совершенство, так сложность и изощренность математических методов.

Цель курса:изучение избранных классов неравенств с переменными, научное обоснование методов их получения, а также применение изученного теоретического материала при решении неравенств.

Задачи курса:

- закрепление основ знаний о неравенствах и их свойствах;

- расширение представления о неравенствах;

- формирование умений решать неравенства с переменными;

- повышение общей математической культуры;

- развитие логического мышления обучающихся

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Часть I. Замечательные неравенства (40 ч)

Введение(1)

Предмет, изучению которого посвящен данный курс. Исторические сведения. Преемственная связь с базовым курсом школьной математики. Средние величины и неравенство Коши.

1. Числовые неравенства и их свойства (6ч) .

Понятие положительного и отрицательного действительного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства. Понятия «меньше», «не больше», «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства.

Простейшие свойства числовых неравенств. Монотонность функции и числовые неравенства.

2. Основные методы установления истинности числовых неравенств (7ч).

Сравнение двух чисел – значений числовых выражений «по определению», путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами, метод введения вспомогательной функции, метод использования «замечательных» неравенств и некоторые другие. Примеры.

3. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными (8ч).

Частные случаи неравенств Коши. Их обоснования и применение. Краткое введение. О применении неравенств с параметрами и об умении подбирать, сочинять неравенства с параметрами

Неравенство-следствие. Равносильные неравенства. Методы установления истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод анализа, метод синтеза, метод подстановки, метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод понижения степеней. Примеры.

4. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных (8ч).

Индукция вообще и применение её в математике, схема её применения. Некоторые модификации метода математической индукции. Примеры.

5. Неравенство Коши-Буняковского. Его применений к решению задач (6ч).

Формулируется и обосновывается теорема, устанавливающая соотношение Коши- Буняковского. Геометрическая интерпретация неравенства. Векторный вариант записи этого неравенства.

6. Неравенства подсказывают методы их обоснования (4ч).

Метод Штурма. Примеры.

Использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенств;

Геометрические неравенства, устанавливающие соотношения между длинами сторон треугольника.

Часть II. Средние величины: их свойства и применение (100ч.).

7.Введение(1ч.).

Средние величины в школьном курсе математики, физики. Многообразие «средних»

Средние величины в школьном курсе математики, физики. Многообразие «средних»(39ч.).

Среднее арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое и соотношения между ними в случае двух параметров. Геометрическая интерпретация.

Среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое, их существование и свойства.

Симметрические средние. Теорема Мюрхерда. Круговые неравенства и методы их доказательства.

Среднее арифметическое взвешенное и его свойства. Координаты центра масс конечной системы материальных точек.

Средние степенные и средние взвешенные степенные и их свойства. Примеры. Вывод неравенства Коши-Буняковского с помощью тождества Лагранжа.

Среднее арифметическое взвешенное и его свойства. Координаты центра масс конечной системы материальных точек.

Средние степенные и средние взвешенные степенные и их свойства. Примеры.

8. Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения (14ч).

Введение. Исторический экскурс. П.Л. Чебышев и его научное наследство.

Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной последовательности.

Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши-Буняковского.

9. Генераторы замечательных неравенств (28ч).

Перечисляются основные способы получения замечательных неравенств, как ранее изученные, так и совершенно новые:

10. Применение неравенств (18ч).

Задачи на оптимизацию. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции с помощью замечательных неравенств.

Требования к уровню подготовки выпускников

В результате изучения курса обучающиеся должны знать:

- понятие «больше», «меньше», «не больше», «не меньше» для действительных чисел и их свойства;

- основные методы сравнения двух чисел: «по определению», сравнение их отношений с единицей, сравнение их степеней, сравнение их с промежуточным числом, метод использования «замечательных неравенств»;

- основные методы установления истинности неравенств с переменными: метод анализа, метод синтеза, метод «от противного», метод использования тождеств, метод подстановки (введение новых переменных), метод оценивания (усиление и ослабления);

- схему применения метода математической индукции;

- неравенство Коши для произвольного числа переменных;

- соотношение Коши-Буняковского;

- неравенство Чебышева;

- средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое двух положительных чисел, их геометрическое интерпретация.

В результате изучения курса обучающиеся должны уметь:

- применять основные методы сравнения двух чисел;

- применять основные способы доказательства истинности неравенств с переменными;

- применять метод математической индукции для доказательства неравенств;

- применять неравенство Коши-Буняковского при n = 2;

-применять замечательные неравенства для нахождения наибольшего и наименьшего значений функций, решения несложных задач на оптимизацию.

Ожидаемый результат изучения курса:

- знание обучающимися методов решения неравенств с использованием свойств, входящих в них функций;

- умение самостоятельно добывать информацию и осознанно ее использовать при выполнении заданий;

- приобретение опыта в нахождении правильного и рационального пути решения неравенств;

- практика работы в группе: умение распределять обязанности, учитывать мнение каждого члена группы, адекватно оценивать работу одноклассников (при условии коллективной формы организации обучения).

Методическое сопровождение

Формы организации учебных занятий: групповые, индивидуально-групповые, фронтальные, классные и внеклассные.

Основные виды учебной деятельности: лекция, семинар, дискуссия, практикум, беседа выступления с докладами, рефератами, мультимедийными презентациями.

Техническое оснащение занятий: компьютер, мультимедийный проектор, демонстрационный экран.

Рекомендуемые темы для дискуссий:

«Легко ли определить знак числа или найти наибольшее из двух данных чисел, если числа заданы как значения некоторых числовых выражений?» (Часть I,1);

«Можно ли использовать вычислительную технику (микрокалькулятор) для сравнения значений числовых выражений? Ожидания и заблуждения».(Часть I.2);

«Самое лучшее из решений. За и против». (Часть I,3);

«Какое из доказательств лучше и почему?» (Часть I,4);

«Как ввести понятие величины угла между векторами?» (Часть I,5);

«Многообразие метода подстановки» (Часть I,6);

«Сохранится ли соотношение между средними величинами (арифметическим, геометрическим, гармоническим и квадратическим), если позволить входящим в них параметрам принимать произвольные действительные значения?» (Часть II,7);

«Три доказательства неравенства Коши Буняковского. Сходства и различия» (Часть II,9);

Система форм контроля уровня достижений обучающихся

Уровень достижений учащихся определяется в результате:

- наблюдения активности на практикумах;

- беседы с учащимися;

- анализа творческих, исследовательских работ;

- проверки домашнего задания;

- выполнения письменных самостоятельных работ;

-самостоятельно созданных слайдов, мини-задачников, выполненных проектов, которые могут быть индивидуальными и коллективными.

Критерии и нормы оценки знаний обучающихся

Знания, умения и навыки учащихся оцениваются по результатам устного опроса, текущих и итоговых письменных работ, тестов.

Оценка письменных работ обучающихся

В основе данного оценивания лежат следующие показатели: правильность выполнения и объем выполненного задания.

Работа оценивается оценкой «5», если:

работа выполнена полностью;

в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

оценка «4» ставится в следующих случаях:

работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

допущены одна – две ошибки и один – два недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

оценка «3» ставится, если:

допущено более двух ошибок и более двух недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

оценка «2» ставится, если:

допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Оценка устных ответов обучающихся

ответ оценивается оценкой «5», если ученик:

полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;

изложил материал грамотным языком, точно используя математическую терминологию и символику, в определенной логической последовательности;

правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

показал умение иллюстрировать теорию конкретными примерами, применять ее в новой ситуации при выполнении практического задания;

продемонстрировал знание теории ранее изученных сопутствующих тем, сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков;

отвечал самостоятельно, без наводящих вопросов учителя;

возможны одна – две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил после замечания учителя.

Ответ оценивается оценкой «4», если удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:

в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившее математическое содержание ответа;

допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные после замечания учителя;

допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные после замечания учителя.

оценка «3» ставится в следующих случаях:

неполно раскрыто содержание материала (содержание изложено фрагментарно, не всегда последовательно), но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для усвоения программного материала (определены «Требованиями к математической подготовке обучающихся» в настоящей программе по математике);

имелись затруднения или допущены ошибки в определении математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

при достаточном знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

оценка «2» ставится в следующих случаях:

не раскрыто основное содержание учебного материала;

обнаружено незнание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;

допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Общая классификация ошибок.

При оценке знаний, умений и навыков обучающихся следует учитывать все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.
Грубыми считаются ошибки:

незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;

незнание наименований единиц измерения;

неумение выделить в ответе главное;

неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;

неумение делать выводы и обобщения;

неумение читать и строить графики;

неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;

потеря корня или сохранение постороннего корня;

отбрасывание без объяснений одного из них;

равнозначные им ошибки;

вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

логические ошибки.

К негрубым ошибкам следует отнести:

неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного - двух из этих признаков второстепенными;

неточность графика;

нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);

нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;

неумение выполнять задания в общем виде.

Недочетами являются:

нерациональные приемы вычислений и преобразований;

неправильное списывание данных (чисел, знаков, обозначений, величин);

ошибки в записях математических терминов, символов при оформлении математических выкладок;

небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков;

отсутствие ответа к заданию или ошибки в записи ответа.

Тематическое планирование

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/376493-rabochaja-programma-po-kursuzamechatelnye-ne