Красота в математике

Выступление на школьной конференции «Мои достижения - это шаг в будущее»

Содержание.

Роль математики в жизни каждого из нас.

Обаяние ИСТОРИИ – в великих людях, их открытиях, в том вдохновении, которое передается из поколения в поколение.

Красота в архитектуре, живописи, скульптуре.

Математическая красота. Золотое сечение.

Математика и живопись

Красота математических линий

Математика и музыка

Математические мотивы

в художественной литературе.

Роль математики в жизни каждого из нас.

Почему возникла эта тема?

По психологическому опросу учащихся многие недолюбливают математику. Причин очень много. Некоторым очень трудно даётся предмет, не понимают учителя, не знают, стоит ли изучать такие трудности, если в дальнейшем не пригодится. Чаще всего, в момент , когда я говорю, что это очень важно, звучит вопрос, где это в дальнейшем нам будет нужно? «А вот в школе изучают меньший объем, и при этом никто не страдает, так вообще, зачем изучать математику, да еще углубленно?»

Многие интуитивно понимают, что нужно изучать, чтобы удачно сдать экзамены, порадовать родителей. Некоторые ребята давно ответили на этот вопрос. Математика – это большой труд, но этот труд оправдан и в дальнейшем поможет получить образование не только среднее, но и высшее. Некоторым просто интересно. Ответы на опрос о том, зачем нужна математика многие ответили, что интересно решать трудные задачки, есть над чем подумать.

Я же хочу показать, что в математике есть своя красота. Но прежде чем перейти к теме я хочу, чтобы каждый для себя ответил на вопрос, кем я хочу быть в жизни – пользователем или создателем.

Если пользователем, то конечно, достаточно получить только опорные знания, без овладения которых дальнейшее изучение математики, да и других предметов, просто невозможно. Это касается изучения математики в старших классах, а в дальнейшем в университетах. Математика развивает логическое мышление, а без логики трудно изучать гуманитарные предметы.

А вот если создателем, то вы правильно делаете, что стремитесь получить больше знаний, изучая математику.

Сейчас очень часто по телевизору в разных передачах мы слышим одну фразу «Уровень образования падает». А как это влияет на нашу жизнь и при чем тут математика?

Нравится ли вам наш город и что можно сделать для того, чтобы он стал лучше и красивее. В нашем городе есть прекрасные здания, создатели которых - архитекторы, а архитектура невозможна без математики. Есть ли в нашем городе архитектурные произведения искусств? Будут ли наши потомки гордиться своим городом? Сможет ли наш город стать туристическим, в котором есть что посмотреть? На этот вопрос отвечать вам.

В организации современного производства и торговли, в биологии и медицине, в экономике и военном деле стало уже невозможно оставаться на позициях полуинтуитивных представлений, неполно определенных понятий и нечетко сформулированных вопросов. Если конструктор создает автомат для управления технологическим процессом, то для решения этой задачи недостаточно одних идей и представлений. Фразу «мешать тесто до готовности» машина не понимает. Нужны определенные и совершенно точные указания, когда остановить тот или иной процесс.

На каждом шагу своей деятельности человек сталкивается с необходимостью точных количественных методов описания разнообразных процессов. Поэтому представляется крайне важным с первых шагов овладения математическим знанием не только познавать формальные математические сведения, но и учиться умело их применять к исследованию явлений природы и различных процессов, с которыми человек сталкивается на практике. Математика должна стать для человека не просто системой знаний, а полноценным и необходимым методом исследований, которые связаны с задачами ежедневной практической жизни. Она должна стать мощным инструментом познания окружающего мира. «Многознание, как цель, уму не научает, учить же математику следует потому, что она ум в порядок приводит» (М. В. Ломоносов).

Математика нужна для изучения многих наук, но сама она не нуждается, ни в какой науке.

П. Каптерев.

Обаяние истории.

Мысли о математике

Математика - одна из древнейших наук. История математики тысячами нитей связана с историей других наук, историей техники, историей искусства. История математики – часть истории человеческой культуры, в ней ясно обозначен вклад в математику ученых – представителей народов Востока и Запада, древних и новых, больших и малых.

К эстетическому содержанию математики следует отнести ее связь с миром красоты окружающей действительности, под которым понимается красота в технике, искусстве, науке. Очень много талантливых людей любили математику, видели в ней смысл жизни и сделали открытия, доказали утверждения и даже создали свою математику, основами которой мы пользуемся сегодня.

На доску:

Портретная галерея ученых.

* Пифагор, Евклид, Архимед, Декарт, Виет, Ньютон, Л.Эйлер, К. Гаусс, Н.И.Лобачевский, С.В. Ковалевская.

Мысли о математике.( Презентация)

* «Математик так же, как художник или поэт, создает узоры…. Узоры математики так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу.

Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики». Г.Х.Харди

* «Музыка – математика чувств, математика – музыка разума».

Д. Сильвестр, английский математик

* «Будь благословенно божественное число, породившее богов и людей».

Пифагор

Математика не только одна из древнейших и необходимых для прогресса естественных дисциплин, но и красивая наука.

Числа, формулы математики, внешне холодные и сухие,

полны внутренней красоты.

Увидеть эту красоту и передать ее другим, задача нелегкая.

Постараемся на примерах показать красоту математики в искусстве, доказать ее важность, необходимость и современность.

Математика в архитектуре и скульптуре

Очень давно, еще до начала нашей эры, люди строили прекрасные здания с весьма целесообразными пропорциями. Велика роль пропорций вАРХИТЕКТУРЕ.Пропорции в архитектуре – это ее внутренняя красота.

«Божественные пропорции» придают сооружению гармонию, благодаря которой, по словам Альберти, « тихим и вольным течением взор, точно скользя по карнизам, по простенкам и по всей наружной и внутренней сторонам здания, будет умножать наслаждение новым наслаждением от сходства и несходства».

Велика роль геометрии в архитектуре. Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создавать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида.

Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается «грамматикой архитектора». Появляются новые строительные материалы, поэтому и конструкции, тектоника становятся иными.

Силуэты каменных церквей, Старинных крепостей, замков,соборов, как правило, вписываются в форму пирамиды с вершиной, обращенной вверх.

В СКУЛЬПТУРЕ у древних основу составляла теория пропорций. Отношение размеров частей человеческого тела связывалось с формулой «золотого сечения». Скульпторы утверждают, что талия делит человеческое тело (образцом которого является Апполон Бельведерский) в отношении «золотого сечения». а:х=1,618.

Измерение нескольких тысяч человеческих тел обнаружило, что для взрослых мужчин это отношение равно 1,625, для взрослых женщин 1,6. Пропорции мужчины ближе к «золотому сечению», чем пропорции женщины. Для новорожденного это отношение равно 2, т.е. талия делит его рост на две равные части. О божественной пропорции писал Лука Пачоли, древнегреческий математик.

Математическая красота. Золотое сечение.

Золотое сечение используется и в пропорция человека.Толстые и стройные, с длинными ногами и коротышки, — все люди разные. А если прибавить к этому различные формы лица, то спектр возможных фигур и лиц станет просто огромным. И все они кому-то кажутся красавицами и красавцами.

Когда наступали войны, голод и болезни — красивыми считались пышнотелые женщины, приходило благоденствие и относительное изобилие еды — и мужчины предпочитали худых женщин.А тысячу лет назад фаворитами были мужчины, способные не столько спеть песню под балконом любимой, сколько проиграть траурный марш мясистому хищнику.

Формула красоты

Можно ли отыскать формулу универсальной красоты всех времен и народов? Пытаясь ответить на этот вопрос, американские ученые предъявляли людям рисунки 40 различных частей тела. Эти изображения были сделаны в трех видах — в первом случае это были формы, свойственные скорее первобытнообщинным людям, во втором — те, что мы видим у современного человека, и в третьем случае — промежуточные формы.

Оказалось, что люди различных рас и культуры, проживающие в разных географических регионах, наиболее высоко оценивали черты современного человека. В других экспериментах фотографии признанных красавиц (с точки зрения Западной культуры) показывали жителям других стран и обнаружили, что и у них они пользуются успехом. Более того, в самых разных странах с большим удовольствием и дольше разглядывали фотографии красивых людей, неважно к какой расе они принадлежали.

Получается, что, несмотря на различия культур и времен, существуют некие стандарты красоты, признаваемые всеми. И человек не был бы человеком, если бы он не попытался понять, откуда они взялись и что они из себя представляют.

Легче всего было найти ответ на первый вопрос. Все дело в эволюционной целесообразности — такого мнения придерживаются почти 100% исследователей. Привлекательным и красивым является то, что свидетельствуют о свойствах, дающих некое преимущество. Ну а что может быть более выгодным в природе, чем успешное продолжение рода? Отсюда вывод — красивы и привлекательны те женщины, которые здоровы и могут чаще и легче рожать. С достаточно широкими бедрами и большой грудью. Выглядит не слишком романтично, не правда ли? И все же, похоже, это так.

Американский ученый Девердра Синх из Техасского университета выяснила, что наиболее привлекательными являются женские фигуры, у которых объем талии разделенный на объем бедер составляет 0.70-0.75. Позже эти данные были повторены учеными еще не раз, обнаружилось даже, что среди победительниц конкурсов красоты подавляющее большинство попадает в этот диапазон независимо от остальных особенностей фигуры и лица. Дело в том, что соотношение 0.7-0.75 отражает распределение жира по телу и ширину бедер, наиболее благоприятные для деторождения. А вот у женщин с более высокими величинами, как выяснилось, чаще наблюдаются гипертония, инсульты и диабет, рожают они с большим трудом.

Другими кандидатом на универсальный признак красоты является симметрия черт фигуры и лица. Десятки, если не сотни исследований, вновь и вновь показывают, что чем симметричнее тело и лицо, тем более красивыми они выглядят в глазах людей. Причина в том, что симметрия формы тела напрямую зависит от синхронной активности генов, определяющих развитие человека. Если эти гены «успешно» работают несмотря на все неблагоприятные воздействия окружающей среды, значит, и весь геном человека можно назвать «хорошим», и наоборот. Похоже, что эта закономерность универсальна — по крайней мере, в животном мире она также прослеживается — например, птицы выбирают себе партнеров с более симметричным расположением перьев в хвосте, а у особей с симметричными формами обнаруживается более сильная иммунная система.

Оценивать привлекательность человеческого лица или фигуры с помощью формул, как вы поняли, вполне возможно.

Маска красоты

Универсальность золотого сечения в природе была использована американским ученым Стивеном Марквардтом для создания маски самого привлекательного лица. Он утверждает, что черты красивого лица могут быть описаны с использованием линий и точек, выбранных из набора разных по форме пятиугольников, чьи параметры отвечают золотому сечению. При этом для описания любого лица требуется всего 22 точки.

По мнению исследователя, обнаруженная им геометрия лица отражает не столько «красоту» как таковую, сколько базовый принцип распознавания лиц у человека как вида. Марквардт считает, что в любом человеке уже «встроено» представление о неком идеальном лице. Автоматическое сравнение всех увиденных лиц с этим идеалом позволяет человеку сразу же «сортировать» их обладателей с точки зрения здоровья и репродуктивной ценности. Отсюда вывод — красивы те лица, черты которых наиболее близки идеальным.

Золотое сечение человека

Одним из самых известных математических методов описания строения живых тел является так называемое «золотое сечение». Этим термином называют такое деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей. Если весь отрезок принять за единицу, то отрезки золотой пропорции выражаются бесконечными иррациональными величинами 0,618… и 0,382…, хотя в реальности часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38.

Внимание, которого удостоилось золотое сечение, связано с тем, что оно постоянно присутствует в природе. Формы тел животных, расположение листьев на ветвях, спирали улиток и даже сама спираль ДНК — везде мы сталкиваемся с числовыми проявлениями золотого сечения. Деление тела точкой пупа — важнейший показатель золотого сечения.

Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13:8=1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8:5=1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются в отношении разных частей тела — роста, длины плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев, ширины плеч. Все отрезки для измерений тела образуют между собой соотношения золотого сечения.

Математика и живопись

Красота математических линий

В искусстве существует математическая теория живописи. Это теория перспективы, по словам Леонардо до Винчи, «тончайшее исследование и изобретение, основанное на изучении математики, которое силою линий заставляло казаться отдаленным то, что близко, и большим то, что невелико».

Теория живописной перспективы на геометрической основе возникла и получила сильное развитие в трудах итальянских художников в первой половине ХV века. Художники эпохи Возрождения верили в существование некоей математической формулы красоты.

Стремление к красоте было свойственно всем народам еще с давних времен. Передавая навыки своего ремесла из поколения в поколение, люди донесли до наших дней образцы, формы, конструкции костюмов одежды. Создание костюмов одежды неразрывно связано с математикой. Инженер- конструктор (модельер) при создании любого вида одежды, обуви, головных уборов, шляп пользуется различными «линиями красоты», многообразием дуг, парабол, гипербол, спиралей, о которых в своих работах писали известные ученые ХХ века.

Эстетика геометрической формы, в частности эстетика линии, привлекала к себе внимание не только математиков. При этом красоту линии авторы обычно ставят в зависимость от сложности закона, по которому она строится или который она выражает. Так, по мнению популяризатора А. Студничка, «самая простая красивая форма – круг; она производит на нас приятное впечатление. Удовольствие, испытываемое нами при виде кривой линии, бывает тем сильнее, чем сложнее ее принцип; в эллипсе есть нечто более привлекательное, чем в круге, а овал, спираль и волнистая линия более приятны, чем эллипсы».

Каллиграфически написанная буква S или знак интеграла Хогарт называет «сходной с подвижностью пламени и змеи», а также «точной змеевидной линией или линией привлекательности». Интересен пример Гете, видевшего в спирали математический символ жизни. Его мысль о том, что «природа стремится к спирали», подтверждается действительностью: спиральные туманности, устройство раковины, шляпки подсолнечника, еловой шишки, козьего рога и т.д. Даже вспугнутое стадо северных оленей разбегается по спирали.

Создать красивый танец невозможно без графиков математических функций. Красивый танец - это красивый график. Все движения танцоров подчиняются строгой гармонической линии, которую можно записать математической формулой и изобразить графически, т.е. создать график танца. «Там, где красота, там действуют законы математики». (Г.Х.Харди).

Математика и музыка

Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики. Начиная с Пифагора, математики проявляли интерес к музыке. Впервые в школе Пифагора была создана математическая теория музыки. Оказывается, длины трех струн, дающих ноты ДО, МИ, СОЛЬ, которые составляют один из наиболее благозвучных аккордов – мажорный, удовлетворяют гармонической пропорции. Длины струн относятся, как 4:5:6, причем 6-5=5-4, т.е. получается непрерывная арифметическая пропорция.

Таким образом, приятные для слуха созвучия подчиняются простым математическим законам, и нам становятся понятны слова пушкинского Сальери:

….. Поверил

Я алгеброй гармонию…

Заметим, что математическая теория музыки пифагорейцев явилась вообще первой теорией у греков. И хотя Пифагор видел в музыке могучее средство нравственного воспитания, однако только позже, в трудах величайшего греческого музыкального теоретика Аристоксена Тарентского (ок. 350 г. до н.э.), музыка переносится из области математики и физики в область эстетики.

В ХVIII веке начинает создаваться музыкальная акустика.

Музыкальные звуки – это гармоническое колебание воздуха, в математике соответствует колебаниям синусоиды.

Звуки музыкальных инструментов дают основному тону специфическую окраску – тембр. Была создана математическая теория струны, в результате которой музыка стала неотделимой от математики.

Математическому анализу подлежат и звук, и тембр, и лад, и гармония.

Позднее началось вмешательство математики в самый процесс музыкального творчества. Уже проводятся успешные опыты по

алгоритмизации и моделированию на ЭВМ функций композитора и музыковеда. Бесспорно, семь нот в музыке, семь цветов в спектре, семь струн гитары объединяет одно – математика.

Семь нот в музыкальной гамме соответствуют семи цветам радуги. Цветомузыка предполагает, что на экране вспыхивают те цвета, которые соответствуют нотам музыкальной мелодии.

И здесь можно рассказать о богатстве поэтической фантазии. Марина Цветаева в очерке «Мать и дитя» пишет, что у каждого человека – свои резоны на звуки и краски. Музыкальные ноты Марина Цветаева сравнивает с различными красками:

До – белое,

Ре – голубое,

Ми – желтое,

Фа – коричневое…

Математические мотивы

в художественной литературе

Что любят, то находят повсюду, и было бы странно не встретиться с математикой в художественной литературе. Почему странно? Потому что, как верно заметил А.Блок, сама истинная поэзия, сами настоящие стихи – это «математика слова». Потому что в жизни нет ничего такого, чего

не было в романах, рассказах и стихах, а математика – слишком заметная тема жизни, чтобы не стать темой литературы. Без математических фрагментов не получилось бы ни «Скифов» Блока, ни «Автобиографии Нушича, ни «Персидских писем» Монтескье, ни сотен других прекрасных вещей.

«Вдохновение есть расположение души к живейшему принятию впечатлений и соображению понятий, следственно, и объяснению оных. Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии». А.С. Пушкин

…Поверил

Я алгеброй гармонию. Тогда

Уже дерзнул, в науке искушенный,

Предаться неге творческой мечты,

Я стал творить… Пушкин А.С. «Моцарт и Сальери».

«Человек есть дробь. Числитель – это сравнительно с другими – достоинства человека; знаменатель – это оценка человеком самого себя. Увеличить своего числителя – свои достоинства – не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя – свое мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к совершенству». Л.Н. Толстой.

… Да так любить, как любит наша кровь,

Никто из вас давно не любит!

Забыли вы, что в мире есть любовь,

Которая и жжет, и губит!

Мы любим все – и жар холодных чисел,

И дар божественных видений,

Нам внятно все – и острый галльский смысл,

И сумрачный германский гений… Блок А. «Скифы».

…Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!

Свободные, бесплотные, как тени,

Вы радугой связующей повисли

К раздумьям с вершины вдохновенья! Брюсов В. «Числа».

«…И физика, и математика, и все прочие науки и искусства…по своему содержанию составляют достояние специалистов; но если кто хочет представить их в художественном изложении, тому приходится прибегнуть к искусству оратора». Цицерон «Об ораторе».

И закончить свой доклад хочу словами Платона:

Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само госу­дарство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/391321-krasota-v-matematike