Олимпиада по математике для обучающихся 11 класса

Олимпиада по математике 11 класс

1. Решите уравнение

2. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК = 14 см, а сторона АС в 2 раза больше стороны ВС.

3. Цифры четырехзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 3627. Приведите пример такого числа.

4. Прямая является касательной к графику функции . Найдите .

5. Восновании прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ лежит равнобедренный треугольник АВСс основанием АС. Точка К — середина ребра А₁В₁, а точка М делит ребро АСв отношении AM: МС= 1:3.

а) Докажите, что КМ перпендикулярно АС.

б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВВ₁, если АВ= 14, АС= 16 и АА₁ = 6.

Ответы и решения.

2. Пусть ВС = х, тогда АС = 2х.

Четырехугольник СРКВ вписан в окружность, поэтому С + К=180⁰ и В + Р=180⁰.

С=α,РКВ = 180⁰ - α, АКР+ РКВ = 180⁰ (смежные), АКР = 180⁰- РКВ =α= С. Аналогично В = АРК

Треугольники АСВ и АРК подобны по двум углам,

3.Ответ: 8925, 8815

4. . График функции - парабола. Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение имело только одно решение. D = 400 - 16а = 0, а = 25

5.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/392036-olimpiada-po-matematike-dlja-obuchajuschihsja