Уравнения высших степеней

Методы решения уравнений высших степеней

1.Решение уравнений с помощью деления в столбик

2.Возвратные уравнения и к ним сводящиеся

Возвратные уравнения четной степени

Возвратные уравнения нечетной степени

3.Уравнения вида,где

4.Замена переменных по явным признакам

5.В следующих уравнениях используется «идея однородности»

Пример №1

Пример №2

Пример №3

6.Уравнения (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=k,гдеa+b=c+d

7.В уравнениях видаи в уравнениях к ним сводящимся

8.В уравнениях вида

9.Выделение полного квадрата

10.Решение уравнений с помощью формулы

11.Уравнения вида и к ним сводящиеся

12.Решение уравнений относительно коэффициента

13.Метод разложения на простейшие дроби

Решение уравнений с помощью деления в столбик

Очевидно х=2-корень уравнения

Очевидноx=3-корень уравнения

(x-4)(x+5)(x-3)(x-2)=0

Ответ:-5;2;3;4

2)Возвратные уравнения и к ним сводящиеся

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е.

1)Возвратные уравнения четной степени

2х⁴+9х³-х²+9х²+2=0

т.к х=0-не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на х²0.

2х²+ 9х -1 += 0

2(х²+ ) + 9(х + ) – 1 = 0

Введем замену.

Пусть х + =у, х²+ =y²- 2, получим

2y²+9y-5=0 y₁=-5;y₂=

Вернёмся к замене

х + = -5 или х +=

=0 =0

х_{1,2 =} корней нет

Ответ: х_{1,2 = .}

Возвратные уравнения нечетной степени

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного уравнения нечетной степени один из корней всегда равен -1

х⁷+2х⁶-5х⁵-13х⁴-13х³-5х²+2х+1= 0

Очевидно х=-1 –корень уравнения.

(х+1)(х⁶+х⁵-6х⁴-7х³-6х²+х+1)=0

х= -1 или х⁶+х⁵-6х⁴-7х³-6х²+х+1=0

т.к х=0 – не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на х³ 0

х³+ х²- 6х -7 ++ + = 0

(х³+)+(х²+ ) - 6(х + ) -7 = 0

Введем замену.

Пусть х + = y, х²+ =y²- 2, х³+ =y³- 3y,получим

y³+y²- 9y – 9 = 0

(у+1)(у-3)(у+3)=0

у= - 1 или у=3 или у= - 3

х + = - 1 х + = 3 х + = -3

корней нет х_{1,2 =} х_{3,4 =}

Ответ: х=-1, х_{1,2 = ,} х_{3,4 = .}

Уравнения вида ах⁴+bх³+сх²+dх+l =0, где = решаются как возвратные.

Замена переменных по явным признакам

В следующих уравнениях используется «идея однородности»

Пример№1

5( )²- 44( )²+ 12

Пусть =V,тогда

5U²-44U²+12UV=0

1)еслиV=0,тогдаU=0,тогда

решений нет

2) Разделим обе части уравнения наV²≠0, получим

5² + 12 - 44 = 0

Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим

U= 2V, 5U = - 22V

Вернемся к замене.

= или = -

х²+9х+2 = 0 9х²+17х+18 = 0 корней нет

х_{1,2 =}

_{Ответ :} х_{1,2 =}

_{Пример№2}

х( ( х + ) = 6

х-1

Пусть х , х + =V, тогда UV=6

НайдемU+V= х + х + = 5

Составим систему:

Решая систему подстановкой, получим

корней нет

или

х₁=2; х=1

Ответ: х₁=2; х=1.

Пример №3

2(х²+х+1)² – 7(х-1)² = 13(х³-1)

х=1 – не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на (х - 1)² 0, получим

2(

Введем замену.

Пусть у, тогда

2у²-13у -7=0

у₁= 7; у₂= -

7 или -

х²-6х+8=0 2х²+3х+1=0

х₁= 4; х₂= 2 х₃= -1; х₄= -

Ответ: х₁= 4; х₂= 2; х₃= -1; х₄= -

Уравнения вида (х - а)(х - b)(х - с)(х - d) = к, где а+b = c+d

эффективно решать перемножением (х - а)(х - b) и (х - с)(х - d), затем делать замену.

В уравненияхвида

и в уравнениях к ним сводящимся

в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

+ (1) х ;

= (2)

При переходе (1)

+ =

Введем замену.

Пусть 2 х + 5 + =y, 2х+11+=y+6, тогда

+

у₁= 9; y₂ = - 3

2х+5+=9или2х+11+ =-3

+5+ +8х+2=0
- 4х + 2 = 0 х_2,3= - 2

х₁=1

Ответ х₁=1; х_2,3=-2

8) В уравнениях вида _{( )( )}=кх²

обе части уравнения делятся на

(2х²-3х+1)(2х²+5х+1) = 9х²

х = 0 – не является корнем уравнения. Разделим на х²

(2х - 3 + )(2х + 5 + ) = 9

Введем замену.

Пусть 2х - 3+= y; 2х + 5 += y + 8,тогда

у²+ 8у – 9 = 0

у₁= - 9; у₂=1

2х – 3 + = - 9 или 2х – 3 + =1

х_{1,2 =} х_{3,4 = .}

Выделение полного квадрата

х²+ х

(х - +

Введем замену.

Пусть

у²+18у – 40 =0

у₁= 2; у₂= - 20

Вернемся к замене.

или - 20

х²-2х-18=0 х²+2х+180=0

х_1,2= -1 корней нет

10) Решение уравнений с помощью формулы(а²-b²)=(а - b)(a + b)

х⁴ + 4х³+3х²+2х -1 = 0

х⁴ + 4х³+4х²-х²+2х -1 = 0

(х²+2х)² – (х-1)²=0

(х²+ 2х + х - 1)² –( х²+ 2х - х-1)=0

х²+ 3х – 1=0 или х²+ х +1=0

х_{1,2 =} корней нет

Уравнения вида (х - а)ⁿ+( х - b)ⁿ= к и к ним сводящиеся

Решаются при помощи замены у = х –

(х +3)⁴ + (х+5)⁴ =16

Введем замену.

Пусть у=х+4, тогда

(у -1)⁴ +(у+1)⁴ =16

(у²- 2у +1)² +(у²+2у+1)² =16

у⁴ +4у²+1-4у³+2у²-4у +у⁴+4у²+1+4у³+4у+2у²=16

у⁴+6у²-7=0

у²=1 или у²= -7корней нет

у₁=1; у₂= -1

Вернемся к замене.

х+4=1 или х + 4= -1

х₁= -3 х₂ = -5

Ответ: х₁= -3, х₂ = -5

Решение уравнений относительно коэффициентов

х⁶-7х²+

х⁶-((²+1)х²+

х⁶- х² (²- х²+

х²(²-х²- х⁶- = 0

а=х² b= -1 с = х²-х⁶

D=1-4х²(х²-х⁶)= 1- 4х⁴+4х⁸=(2х⁴- 1)²

или

2 6х²= 2 6х²=

2 6х²= 2 6х²=

х⁴+ 6х²- 1= 0х⁴- 6х²= 0

х₁= ; х₂= ; х = 0 – посторонний корень

корней нет х_1,2= х²=

х_3,4

Ответ: х_1,2;х_3,4=

Метод разложения на простейшие дроби.

++ += 4 х

+ + + =4

1+ +1 - +1 -+1+ =4

- - + =0

– = 0

- = 0

5х²+5х-16 = 0

х_1,2=

Ответ: х_{1,2 =}

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/397962-uravnenija-vysshih-stepenej