Методические рекомендации: ЕГЭ,профиль

Шарифуллина Татьяна Николаевна,

учитель математики

Задания №13 – профиль: нестандартные методы решения тригонометрических уравнений.

При решении тригонометрических уравнений (№13-профиль) учащиеся обычно справляются с первой частью. В большинстве уравнение путем несложных преобразований сводится или к квадратному (сделать замену переменной) или раскладывается на множители. Часть уравнений содержит ограничения: знаменатель, содержащий переменную или радикал. Тогда дополняем решение уравнения данными условиями и обеспечиваем равносильность.

Единственное «больное место» - это разложение на множители, если одна из функций находится в левой части уравнения, а вторая – в правой. Есть соблазн сократить на общий множитель и потерять корни. Поэтому нужно учащихся всегда предупреждать о том, что сократить можно лишь в том случае, если сокращаемое выражение заведомо не равно нулю (так мы поступаем при решении однородных уравнений второй степени). Если выражение может обращаться в нуль, как, например, sinx или cosx, то необходимо перенести всё в одну часть, разложить на множители и решить совокупность двух или нескольких уравнений (произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, а остальные при этом имеют смысл).

Гораздо хуже дело обстоит со второй частью задания: найти корни, принадлежащие заданному промежутку. Сразу замечу, что если уравнение не является тригонометрическим, то эта проблема решается труднее. Корней всего два или три. Но необходимо сравнивать иррациональные числа разной природы: радикал и логарифм, например.

Корней уравнения тригонометрического бесконечно много. И для отбора корней, принадлежащих заданному промежутку, предлагается несколько методов. Рассмотрим их недостатки.

1. С помощью единичной окружности. Метод хорош, если промежуток взят из первого круга, в пределах [0;2π]. Но если хотя бы один из концов отрезка – отрицательное число, то возникает трудность правильно назвать выбранную точку (корень уравнения).

2. С помощью двойного неравенства a≤x≤b находим n – целое, подставляем его значения в строку корней и определяем собственно нужные результаты. Но часто приходится решать не одно, а несколько таких двойных неравенств, это становится процессом трудоемким.

3. С помощью графиков тригонометрических функций. Честно говоря, этот метод мне всегда казался предпочтительным. Но есть ряд проблем, по причине которых данный метод не популярен. Во-первых, нельзя перепутать график синуса с графиком косинуса! А в некоторых заданиях необходимо построение не одного, а даже двух графиков. Но главная трудность, если решение уравнения свелось, например, к sin 2x=a. То есть требуется еще и выполнить сжатие графика вдоль оси ординат. Это и толкнуло меня к предлагаемому методу.

Я не строю графики функций, но использую ось абсцисс. Поскольку числовую окружность мы «вытягиваем» в виде числовой прямой для построения синусоиды, то почему бы не воспользоваться ею как самостоятельным элементом? Единичный отрезок выбираем по принципу 1 клетка тетради – это π/6. Тогда 3 клетки – это π/2, 6 клеток – это π, а 12 клеток - 2π. Необходимо нарисовать часть «прямой», где есть начало отсчета и «помещается» заданный отрезок. Сначала отмечаем ближайшее к нулю значение х, а потом отсчитываем по 3, 6, 12 клеток соответственно вправо или влево. Отмечаем те точки, которые входят в указанный промежуток и легко находим их значения. И даже если корни уравнения имеют в записи символы arcsin,arccos,arctg, найти их на данном промежутке и записать верно значения не вызовет затруднение.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/398044-metodicheskie-rekomendacii-egjeprofil