Сечения многогранников

Сечение многогранников

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

Многогранник — это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называетсявыпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.

Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поскольку плоскость определяется:

Тремя точками;

Прямой и точкой;

Двумя параллельными прямыми;

Двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости.

Поверхность многогранника состоит из ребер – отрезков и граней – плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость могут пересекаться только в одной точке, а две плоскости – по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник. Вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки её пересечения с ребрами многогранника или прямыми, содержащими эти ребра. Затем, последовательно соединив отрезками прямых эти точки, необходимо выделить сплошными линиями видимые, и штриховыми – невидимые стороны полученного многоугольника-сечения.

Рассмотрим основные методы построений сечений:

1. Построение сечений многогранников на основе системы аксиом и теорем стереометрии. (Аксиоматический метод)

Примеры сечений, построенных аксиоматическим способом:

В качестве примера рассмотрим решение следующих задач:

Задача 1-4. Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками

2. Метод следов

Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая – в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Задача 1.Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P.

Задача 2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P.

Задача 3.

3. Метод внутреннего проектирования.

Метод внутреннего проекти­рования называют еще методом соответствий, или методом диагональных сечений.

При применении этого метода каждая заданная точка проектируется на плоскость основания. Существует два возможных вида проектирования: центральное и параллельное. Центральное проектирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, вершина пирамиды при этом является центром проекции. Параллельное проектирование используется при построении сечений призм.

При применении этого метода каждая заданная точка проектируется на плоскость основания. Существует два возможных вида проектирования: центральное и параллельное. Центральное проектирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, вершина пирамиды при этом является центром проекции. Параллельное проектирование используется при построении сечений призм.

Сущность метода внутреннего проектирования рассмотрим на примере построения сечения призмы.

Задача 1. Постройте сечение призмы ABCDE плоскостью α, заданной точками M є B,P є , Q є E (рис 10).

Рис. 10

Решение. Плоскость нижнего основания призмы обозначим β. Для построения искомого сечения построим точки пересечения плоскости α с ребрами призмы. Построим точку пересечения секущей плоскости α с ребром A

ПлоскостиAD и BE пересекают плоскость по прямым соответственно AD и BE, которые пересекаются в некоторой точке К: К = AD ^ BE. Эти плоскости проходят через параллельные ребра A и B призмы и имеют общую точку К. Поэтому прямая их пересечения проходит через точку К и параллельна ребру B. Точку пересечения этой прямой с прямойQM обозначим = K ^ QM,K llB.

ПрямаяP лежит в секущей плоскости α и пересекает ребро в некоторой точке R. Точка R служит точкой пересечения плоскости α и ребра : R = P ^ = α ^, т.е. точка R является вершиной искомого сечения.

Аналогично строим точку N пересечения плоскости α и ребра C.

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова : 1. : К = AD ^ BE; 2. = K ^ MQ, K ll B ; 3. R = P^ ; 4. H = EC ^ AD; 5. =H^ PR,Hll ; 6. N = Q^.

ПятиугольникMNPQR – искомое сечение.

Задача 2.

4.Метод вспомогательных сечений.

Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере

универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «искусственное». Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Задача.На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,аQ на грани DMC.

5. Координатный метод.

Суть координатного метода заключается в вычислении координат точек пересечения ребер или многогранника с секущей плоскостью, которая задается уравнением плоскости. Уравнение плоскости сечения вычисляется на основе условий задачи.

Любую плоскость можно задать уравнением первой степени вида

A x + B y + C z + D = 0 (общее уравнение плоскости), где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то можно записать уравнение плоскости в отрезках

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x₀, y₀, z₀), перпендикулярно вектору нормали n (A; B; C) имеет вид: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.

Если заданы координаты трех точек A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) и C(x₃, y₃, z₃), лежащих на плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой можно найти по следующей формуле:

Задача. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ все ребра которой равны, точка  К — середина В₁С₁.  Найти угол между плоскостью АВС и плоскостью В₁КР,  где Р — середина АА_1.

Решение.

Пусть ребро заданной призмы равно 2. Введем декартову систему координат. Выберем начало координат в точке О — середине ребра АВ. Ось   направим по ОС,  ось у — по ОВ,  ось   — по ОО₁; О₁ — середина А₁В₁.  При выбранной системе координат и длине ребра призмы найдем координаты нужных точек:

Ясно, что уравнение плоскости АВС будет иметь вид:   , а плоскость В₁КР пройдет через точку С₁ , т.е. совпадет с плоскостью В₁С₁Р.

Уравнение плоскости В₁С₁Р будем искать в виде  Пусть   Найдем значения   и   методом неопределенных коэффициентов.

 Искомое уравнение имеет вид:   или 

Угол между плоскостями АВС  и  В₁С₁Р  равен углу между их нормальными векторами   и   соответственно    Для отыскания угла   (так обозначим искомый угол) воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов:

Ответ: 30º.

Комбинированный метод.

Сущность комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в том, что искомое сечение строится с помощью метода следов или метода внутреннего проектирования или метода вспомогательных сечений, при этом дополнительно используются свойства данного многогранника.

Для иллюстрации применения этого метода рассмотрим задачи:

Задача 1. Постройте сечение куба, проходящее через точки P,R,Q.

Задача 2.

Задачи с решениями по теме

«Сечения многогранников»

(Задание 8 № 324451)

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны оснований равны 2, боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC, A₁B₁ и A₁C₁.

Решение.

Противоположные стороны сечения являются соответственно средними треугольников, лежащих в основании, и прямоугольников, являющихся боковыми гранями призмы. Тем самым, сечение представляет собой прямоугольник со сторонами 1 и 5, площадь которого равна 5.

Ответ: 5.

(Задание 8 № 513339)

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB = 16, AD = 21, AA₁ = 28. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C₁.

Решение.

Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому сечение   — параллелограмм. Кроме того, ребро   перпендикулярно граням   и   Поэтому углы   и   — прямые. Поэтому сечение   — прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника   найдем 

Тогда площадь прямоугольника   равна:

Ответ: 560

3. (Задание 8 № 76613)

Ребра тет­ра­эд­ра равны 38. Най­ди­те площадь сечения, про­хо­дя­ще­го через се­ре­ди­ны четырех его ребер.

Решение.

В правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Каждая сторона сечения является средней линией соответствующей грани, и поэтому вдвое меньше параллельного ей ребра. Значит, сечением является квадрат со стороной 19. Тогда площадь сечения равна 361.

Ответ: 361.

(Задание 8 № 524067)

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 70. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение.

Каждая из сторон сечения является средней линией боковой грани. Поэтому стороны сечения образуют квадрат со стороной 35, площадь которого равна 1225.

Ответ: 1225.

(Задание 8 № 505383)

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро BC = 4, ребро   ребро BB₁ = 4. Точка K — середина ребра CC₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки B₁, A₁ и K.

Решение.

Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому четырехугольник   — параллелограмм. Кроме того, ребро   перпендикулярно граням   и  , поэтому углы   и   — прямые. Следовательно, сечение   — прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника   по теореме Пифагора найдем 

Тогда площадь прямоугольника   равна:

Ответ:20.

(Задание 8 № 508229)

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны оснований равны   боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, и A₁B₁и точку С.

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Треугольник  правильный, следовательно, медиана   является биссектрисой и высотой. Из прямоугольного треугольника   по теореме Пифагора найдём 

Площадь искомого сечения — это площадь прямоугольника   найдём её:

Ответ: 15.

7. Задание 14 № 507887

В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A₁C₁.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

Решение.

а) Проведём через точку N прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой B₁C₁ в точке K. Трапеция ABKN — искомое сечение.

б) Имеем A₁N= 3, так как точка N — середина ребра A₁C₁. Значит,   Аналогично BK = 5.

Далее NK = 3, как средняя линия треугольника A₁B₁C₁. Следовательно, искомый периметр сечения равен 6 + 5 + 5 + 3 = 19.

Ответ: 19.

(Задание 14 № 508233)

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

Решение.

а) В плоскости ABP через точку K проведем прямую, параллельную прямой PB до пересечения ее с прямой AB в точке L— середине AB. В основании ABCD через точку L проведем прямую, параллельную прямой BC до пересечения ее с ребром СDв точке M — его середине. По признаку параллельности прямой и плоскости плоскость KLM параллельна прямым PB и BC. Прямая LM параллельна прямой AD, следовательно, она параллельна плоскости APD, а, значит, плоскость KLM пересекает плоскость APD по прямой, параллельной LM и пересекает ребро PD в его середине N.

Таким образом, искомое сечение ― трапеция KLMN.

б) Отрезки KL и MN равны, как средние линии равных правильных треугольников ABP и DCP, а отрезок LM ― средняя линия квадрата ABCD, следовательно, построенное сечение ― равнобедренная трапеция, в которой LM = 4, KL = KN = MN = 2. Проведем высоту KFэтой трапеции. Тогда   и из прямоугольного треугольника KLF находим 

Окончательно получаем 

Ответ: 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.

Потоскуев Е.В. Изображение пространственных фигур на плоскости. Построение сечений многогранников. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педвуза. — Тольятти: ТГУ, 2004.

Научно-практический журнал для старшеклассников «Математика для школьников»,-2009,№2/№3,1-64.

Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия: пособ. для подготовки к ЕГЭ / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2009. — 272 с. 

https://ege.sdamgia.ru/

ege.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/index.php?theme_guid=f6ec29149541e311bacb001fc68344c9&proj_guid=AC437B34557F88EA4115D2F374B0A07B

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/407220-sechenija-mnogogrannikov