Статья «Преемственность по математике между начальной школой и 5 классом»

Преемственностьпо математике

между начальной школой и 5 классом

Преемственность между дошкольной подготовкой, начальной и средней школой в курсе реализуется на уровне технологии, содержания и методик, что обеспечивает непрерывность образовательного процесса между всеми ступенями.

Отбор содержания и последовательность изучения основных математических понятий осуществлялись на основе системного подхода. Построенная Н. Я. Виленкиным многоуровневая система начальных математических понятий позволила установить порядок введения фундаментальных понятий, обеспечивающий преемственные связи между ними и непрерывное развитие всех содержательно методических - линий курса математики с 1 по 9 класс.

Дошкольная подготовка по курсам «Игралочка» и «Раз — ступенька, два - ступенька...» программы «Школа 2000...» в рамках комплексной примерной образовательной программы дошкольной подготовки «Мир открытий» помогает развить у детей мышление и познавательную мотивацию, сформировать позитивный опыт общения и совместного решения задач на основе метода рефлексивной самоорганизации, то есть дает ту необходимую базу, которая обеспечивает быструю и успешную адаптацию к школьному обучению.

Материал учебника предусматривает возможность работы по нему детей самого разного уровня подготовки в школах и классах всех типов – от классов коррекции до гимназических и лицейских классов — на основе принципов минимакса и психологической комфортности. Отбор детей для работы по учебнику не предполагается, значение имеет не уровень подготовки детей, а уровень подготовки учителя.

Обучение ведется на высоком уровне трудности (уровне «максимума»), то есть в «зоне ближайшего развития» наиболее подготовленных детей, но при обязательном учете их индивидуальных особенностей и возможностей, формировании у каждого ребенка веры в себя, в свои силы. Практически это означает, что в учебниках предложен достаточно высокий уровень заданий и темп их изучения.

В курсе начальной школы, как и на всех остальных ступенях обучения, выделено семь содержательно-методических линий − числовая, алгебраическая, геометрическая, функциональная, логическая, анализ данных, моделирование (текстовые задачи).
Рассмотрим их.
Числовая линия строится на основе счета предметов (элементов множества) и измерения величин. Понятия множества и величины подводят учащихся с разных сторон к понятию числа: с одной стороны, натурального числа, а с другой – положительного действительного числа. В этом находит свое отражение двойственная природа числа, а в более глубоком аспекте – двойственная природа бесконечных систем, с которыми имеет дело математика: дискретной, счетной бесконечностью и континуальной бесконечностью. Измерение величин связывает натуральные числа с действительными, поэтому свое дальнейшее развитие при переходе из начальной школы в среднюю числовая линия получает как бесконечно уточняемый процесс измерения величин.
В начальной школе в рамках числовой линии учащиеся осваивают смысл понятия натурального числа и нуля, принципы записи и сравнения целых неотрицательных чисел, смысл и свойства арифметических действий, взаимосвязи между ними, приемы устных и письменных вычислений, прикидки, оценки и проверки результатов арифметических действий, зависимости между их компонентами и результатами, способы нахождения неизвестных компонентов. С другой стороны, они знакомятся с различными величинами и общим принципом их измерения, учатся выполнять действия со значениями величин (именованными числами).
Использование деятельностного метода обучения позволило не только сохранить в полном объеме содержание программы по математике традиционной начальной школы, но и обогатить его с учетом сенситивных периодов развития детей. Так, в 3 классе они с интересом изучают нумерацию и действия с целыми неотрицательными числами в пределах 12 разрядов, в 4 классе - дроби, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, смешанные числа, то есть темы, которые традиционно изучались в 5 классе, но интереса у детей не вызывали.
В 5 классе числовая линия продолжается изучением обыкновенных и десятичных дробей, а в 6 – рациональных чисел. В завершение, знания детей о числах систематизируются, дети знакомятся с историей развития понятия о числе и с методом расширения числовых множеств. Ставится проблема недостаточности изученных чисел для измерения величин (например, длины диагонали квадрата со стороной 1).
Числовая линия, имея свои задачи и специфику, тем не менее, тесно переплетается со всеми другими содержательно-методическими линиями курса. Так, при построении алгоритмов действий над числами и исследовании их свойств используются разнообразные графические модели. Активно включаются в учебный процесс как объект исследования и как средство обучения такие понятия, как множество (на первых порах –  «мешок», группа предметов), часть и целое, операция и алгоритм, которые становятся затем основой формирования у детей прочных вычислительных навыков и обучения их решению уравнений и текстовых задач.
Алгебраическая линия
Развитие алгебраической линии неразрывно связано с числовой, во многом дополняет ее и обеспечивает лучшее понимание и усвоение изучаемого материала, а также повышает уровень обобщенности усваиваемых детьми знаний. Учащиеся, начиная с 1 класса, записывают выражения и свойства чисел с помощью буквенной символики, что помогает им структурировать изучаемый материал, выявлять сходство и различие, аналогии объектов. Например, при решении уравнений из того, что А + Х = В следует, что Х = В – А (для множеств), а из того, что a + x = b следует, что x = b – a (для величин). И в том, и в другом случаях решение обосновывается тем, что мы ищем неизвестную часть, поэтому из целого вычитаем другую часть.
Как правило, запись общих свойств операций над множествами и величинами обгоняет соответствующие навыки учащихся в выполнении аналогичных операций над числами. Это позволяет создать для каждой из таких операций общую рамку, в которую потом, по мере введения новых классов чисел, укладываются операции над числами и свойства этих операций. Тем самым дается теоретически обобщенный способ ориентации в учениях о множествах, величинах и числах, позволяющий потом решать обширные классы конкретных задач.

Геометрическая линия
При изучении геометрической линии в начальной школе учащиеся знакомятся с такими геометрическими фигурами, как квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, простейшими пространственными образами: куб, параллелепипед, цилиндр, пирамида, шар, конус, а также с более абстрактными понятиями точки, прямой и кривой линии, луча, отрезка и ломаной линии, угла и многоугольника, области и границы, окружности и круга,  и др., которые используются для решения разнообразных практических задач. Например, схемы-отрезки служат графическими моделями текстовых задач, окружности используются для построения круговых диаграмм и т.д.
Разрезание фигур на части и составление новых фигур из полученных частей, черчение фигур, склеивание моделей по их разверткам развивает пространственные представления детей, воображение, речь, комбинаторные способности и одновременно формирует практические навыки работы с основными измерительными и чертежными инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).
Запас геометрических представлений и навыков, который накоплен у учащихся к 3–4 классам, позволяет поставить перед ними новую, значительно более глубокую и увлекательную цель: исследование и открытие свойств геометрических фигур. С помощью построений и измерений они выявляют различные геометрические закономерности (например, свойство углов треугольника, свойства смежных и вертикальных углов, вписанного и центрального углов и др.), которые они формулируют как предположение, гипотезу.

Функциональная линия
Функциональная линия строится вокруг понятия функциональной зависимости величин, которая является промежуточной моделью между реальной действительностью и общим понятием функции, и служит, таким образом, источником возникновения в старших классах понятия функций. Учащиеся наблюдают за взаимосвязанным изменением различных величин, знакомятся с понятием переменной величины, и к 4 классу приобретают значительный опыт фиксирования зависимостей между величинами с помощью таблиц, диаграмм, графиков (движения) и простейших формул. Так, учащиеся строят и используют для решения практических задач формулы: площади прямоугольника S = a • b, объема прямоугольного параллелепипеда V = a • b • c,  пути  s = = v • t, стоимости С = а • х, работы А = w • t и др. При исследовании различных зависимостей дети выявляют и фиксируют на математическом языке их общие свойства, что создает основу для построения в старших классах общего понятия функции, осознания целесообразности его введения и практической значимости.
Логическая линия
Достаточно серьезное внимание уделяется в курсе развитию логической линии при изучении арифметических, алгебраических и геометрических вопросов программы. Все задания курса математики требуют от учащихся выполнения логических операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия, классификация), способствуют развитию познавательных процессов: воображения, памяти, речи, логического мышления. В начальной школе в рамках изучения логической линии учащиеся осваивают математический язык, учатся читать математический текст, использовать математические термины для описания явлений окружающего мира. В процессе вычислений, решения задач, уравнений, геометрических построений они проверяют истинность высказываний, строят свои суждения на математическом языке и обосновывают их с опорой на согласованный способ действий (эталон). Уже в 3 классе учащиеся знакомятся с языком множеств, различными видами высказываний (частное, общее, о существовании), со сложными высказываниями с союзами «и» и «или», приобретают опыт их доказательства и опровержения.
На этой основе в 5–6 классах логическая линия разворачивается в цепочку взаимосвязанных вопросов: математический язык – высказывания – доказательство – методы доказательства – определения – равносильные предложения – отрицание – логическое следование – теорема и т.д. Таким образом, учащиеся получают возможность полноценно подготовиться к изучению математики в старших классах и к решению разнообразных жизненных проблем логического характера.
Линия анализа данных
Линия анализа данныхцеленаправленно формирует у учащихся информационную грамотность, умение самостоятельно получать информацию – из наблюдений, справочников, энциклопедий, Интернет-источников, бесед; работать с полученной информацией: анализировать, систематизировать и представлять в форме схем, таблиц, конспектов, диаграмм и графиков; делать выводы; выявлять закономерности и существенные признаки; проводить классификацию; осуществлять систематический перебор вариантов; строить и исполнять алгоритмы. Уже в начальной школе учащиеся знакомятся с деревом возможностей, с различными видами программ: линейными, разветвленными, циклическими. Систематическое построение и использование алгоритмов для обоснования своих действий и самопроверки результатов помогает успешнее изучить многие традиционно трудные вопросы программы (например, порядок действий в выражениях, действия с многозначными числами и др.).

Линия моделирования
В рамках линии моделирования (линии текстовых задач) учащиеся овладевают всеми видами математической деятельности, осознают практическое значение математических знаний, у них формируются универсальные учебные действия, развивается мышление, воображение, речь.
Знания, полученные детьми при изучении различных разделов курса, находят практическое применение при решении текстовых задач. В начальной школе учащиеся знакомятся с решением простых и составных текстовых задач на смысл арифметических действий, разностное и кратное сравнение (содержащих отношения «больше на…, в …», «меньше на…, в …»), на зависимости величин вида a = bc (путь, скорость, время; стоимость, цена, количество товара; работа, производительность, время работы и др.). Особенностью курса является то, что после системной отработки небольшого числа базовых типов задач учащимся предлагается широкий спектр разнообразных структур, состоящих из базовых элементов, но содержащих некоторую новизну, что развивает у них умение действовать в нестандартной ситуации.
Система подбора и расположения задач создает возможность для их сравнения, выявления сходства и различия, взаимосвязей между ними (взаимно обратные задачи, задачи, имеющие одинаковую математическую модель и др.). Особое внимание уделяется обучению самостоятельному анализу текстовых задач. Учащиеся выявляют величины, о которых идет речь в задаче, устанавливают взаимосвязи между ними, составляют модели условия с помощью схем и таблицы, составляют и реализуют план решения, обосновывая каждый свой шаг. Они учатся давать полный ответ на вопрос задачи, находить различные способы их решения и выбирать наиболее рациональные, самостоятельно составлять задачи по заданной модели (выражению, схеме, таблице), используя при этом тот язык и инструментарий, который принят в средней школе.
Линия моделирования строится таким образом, чтобы, с одной стороны, обеспечить прочное усвоение учащимися изучаемых способов действий по всем остальным линиям, а с другой, создать условия для их систематизации, и на этой основе раскрыть роль и значение математики в развитии культуры. Этому способствуют специально разработанные методики, а также буквенная запись выражений к задачам и свойств операций над числами, которые уже в начальной школе позволяют выявить общность текстовых задач с внешне различными фабулами, но единым математическим содержанием. А решение любой составной задачи представляется как программа действий, каждая операция в которой является решением одного из этих четырех хорошо освоенных учащимися видов простых задач. С самых первых уроков все дети помещаются в ситуацию, требующую от них интеллектуальных усилий, продуктивных действий.

Но в обучающих заданиях и самостоятельных работах оценивается только успех ребенка и его движение вперед относительно себя. Ошибка же рассматривается как рабочая ситуация требующая коррекции, выявления ее причины и исправления.

Текущий и итоговый контроль проводится на уровне более низком, чем шла работа в классе, что приводит практически к полному исчезновению двоек. Итоговые отметки выставляются в зависимости от количества «достижений» (которые оцениваются только четверками и пятерками) и отметок за контрольные работы. Тройки и двойки могут появляться очень редко – лишь тогда, когда ребенок проявил необязательность, не выполнил согласованное задание, которое однозначно посильно для него. При этом лучше, если отрицательную отметку он

поставит себе сам в соответствии с принятыми в классе нормами.

Объем заданий в учебнике задает уровень индивидуальной образовательной траектории для наиболее подготовленных детей. В силу этого не предполагается выполнения каждым ребенком всех заданий из учебника. Обязательными для всех являются лишь 3—4 ключевые задания по новой теме и задачи на повторение, в которых отрабатываются обязательные результаты обучения (ФГОС). Для более подготовленных детей спектр задач может быть расширен. Однако нельзя допускать перегрузки детей, в том числе и в домашней работе.

Отработка и закрепление знаний основных содержательно-методических линий курса (числовой, линии текстовых задач) ведется параллельно с исследованием новых математических идей дополнительных линий (геометрической, алгебраической, анализа данных и др.). Поэтому тренировочные упражнения не утомляют детей, тем более что им придается, как правило, игровая форма (кодирование и расшифровка, отгадывание загадок и т. д.). Каждый ребенок с невысоким уровнем подготовки имеет возможность не спеша отработать необходимый навык из обязательных результатов обучения, а более подготовленные дети постоянно получают «пищу для ума», что делает уроки математики привлекательными для всех детей — и сильных, и менее подготовленных.

Принципиально важно, чтобы каждый ребенок на каждом уроке переживал радость открытия, чтобы у него формировались вера в свои силы и познавательный интерес. Интерес и успешность обучения — вот те основные параметры, которые определяют полноценное нравственное, интеллектуальное и физиологическое развитие ребенка, а значит, и качество работы с детьми.

Некоторые из вопросов, вошедших в программу 4 класса, традиционно изучались в 5 классе. Перенос их на более раннюю ступень обусловлен несколькими причинами. Одной из наиболее значимых является необходимость учета сензетивных периодов, то есть периодов, наиболее благоприятных с психологической точки зрения для усвоения того или иного содержания. Так, в 3 классе изучение многозначных чисел в пределах 12 разрядов проходит легче, чем в 5 классе, за счет того, что детям нравится работать с «длинными» числами.

К 4 классу у них накапливается усталость от громоздких вычислений, и они не только логически, но и эмоционально готовы к следующему шагу – введению дробей. Новые числа, их свойства, алгоритмы действий, которые ученики сами строят на предметной основе, вызывают у них удивление, радость, а иногда и восторг от самостоятельных побед (чего не наблюдают учителя средней школы при изучении дробей в 5—6 классах). С помощью этого эмоционального подкрепления параллельно с изучением дробей осуществляется необходимый тренинг действий с натуральными числами и доведение соответствующих приемов устных и письменных вычислений до уровня автоматизированного навыка.

Указанное перемещение материала из 5 класса в начальную школу стало возможным благодаря предложенным в курсе новым методикам, таким как графическое моделирование текстовых задач, ассоциативная методика решения уравнений и др., которые позволили существенно сократить время изучения многих вопросов программы.

В 4 классе таких удачных методических нововведений достаточно много. К ним можно отнести методику решения задач на дроби (проценты), задач на одновременное движение, решение неравенств на множестве натуральных чисел, исследование свойств геометрических фигур с помощью построений и измерений, чтение и построение графиков движения и др. Например, своевременное введение в 4 классе символа % как одного из обозначений сотой доли величины позволяет устранить причину затруднения, которое испытывают учащиеся средней школы при изучении процентов, и повысить в дальнейшем качество решения простых задач на дроби и проценты (для изученных случаев действий с числами).

Благодаря описанным перемещениям материала из средней школы в начальную в 5—6 классах освобождается время для изучения вопросов, значимых для детей 11—12 лет как с психологической точки зрения, так и с позиций их подготовки к дальнейшему изучению курса математики 7—9 классов: логика, моделирование, развитие геометрических представлений, вариативного и функционального мышления и др. При этом качество изучения курса математики средней школы существенно повышается за счет того, что предложенные в учебниках начальной школы методики снимают необходимость перевода полученных выводов на язык, принятый в средней школе.

Содержание учебников предоставляет возможность для организации проектной и кружковой работы и углубленного изучения отдельных линий во второй половине дня (геометрической, логической, комбинаторной и др.). Рекомендуется предлагать учащимся двухуровневые домашние задания, состоящие из обязательной и необязательной (дополнительной) части.

Обязательная часть должна быть посильна для самостоятельного выполнения ребенком и не может по объему превышать 15—20 мин его самостоятельной работы. При этом рекомендуется давать задания по собственному выбору самих детей, например: «Выбрать и выполнить из № 4—7 одно задание, которое понравится».

В необязательную часть, которая выполняется по желанию, могут войти дополнительные задания, отмеченные в учебнике светлым кружком, задания со звездочкой и т. д.

В курсе предусмотрена многоуровневая система контроля знаний: самоконтроль — при введении нового материала, взаимоконтроль — в процессе его отработки, обучающий контроль — в системе обучающих самостоятельных работ, текущий контроль — при проведении контрольных работ в течение учебного года, итоговый контроль, включающий 2 этапа — переводную контрольную работу («минимум») и итоговую контрольную работу (контроль и самоконтроль уровня

освоения программы).

Обучающие самостоятельные работы проводятся на высоком уровне трудности, поэтому оценивается только успех. А именно, если вся самостоятельная работа выполнена без ошибок (обычно это 3—5 детей в классе), то за нее выставляется 5. После каждой самостоятельной работы дети, допустившие ошибки, выполняют работу над ошибками.

Если работа над ошибками выполнена успешно и учитель видит, что ребенок разобрался в изучаемом материале, то за эту работу может быть выставлена отметка 4 или даже 5. Тройки и двойки в обучающих самостоятельных работах не выставляются: «отсутствие отметки» (не за что ставить, «не заработано») является для ребенка гораздо более значимым сигналом для активности и коррекции собственной деятельности, чем плохие отметки. Задача учителя — побудить каждого ребенка разобраться в своих ошибках и исправить их.

Уровень контрольных работ должен быть ниже уровня обучающих самостоятельных работ (но выше административного контроля), при этом оцениваются все дети. Задания для контрольных работ рекомендуется подбирать так, чтобы с ней могли справиться на 4 и 5 примерно три четверти класса.

Варианты обучающего, текущего и итогового контроля знаний для 4 класса в двух вариантах предложены в пособии «Самостоятельные и контрольные работы». Пособие «Электронные приложения к учебникам математики Л. Г. Петерсон» поможет проанализировать уровень подготовки каждого учащегося и класса в целом в сравнении с возрастной группой, выявить причины затруднений и эффективно провести коррекцию.

Практически в каждый урок должны включаться достаточно интенсивные упражнения на отработку вычислительных навыков. Вычислительным упражнениям целесообразно придавать развивающий характер, подбирая числа-ответы так, чтобы полученные ряды дети могли анализировать, классифицировать, выявлять в них закономерности. Это поможет не только закреплять навыки счета, но и вести подготовку детей к работе деятельностным методом.Освоение общих методов построения плана решения составных задач (аналитического, синтетического, аналитико-синтетического) «наводит порядок» в мышлении детей и тем самым сокращает время на их изучение. В освободившееся время дети знакомятся с новыми типами задач – задачами на дроби (три типа) и на одновременное равномерное движение двух объектов (четыре типа), у них формируется представление о проценте, что создает прочную базу для успешного освоения ими данных традиционно трудных разделов программы 5–6 классов, и в целом, для освоения общего метода математического моделирования. Итак, мы рассмотрели как курс математики по УМК Дорофеева, Петерсона с 1-6 класс непрерывно взаимосвязан и видна преемственность в преподавании математики в начальной и основной школе.

Каждый учитель, освоивший технологии образовательной системы "Школа-2100” и преподающий свой предмет по учебникам и пособиям, разработанным в соответствии с этими технологиями, несомненно скажет: "Работать по-другому, вернуться к традиционным программам и учебникам уже не могу!”. Возникает вопрос: "Почему возвращение к прошлому становится для учителя невозможным?” Ответ очевиден. Традиционная направленность на воспитание послушного и исполнительного ученика вынуждает учителя работать методами тренировки и натаскивания, которые в итоге укладываются в отточенный годами порядок действий. Это сводит вероятность педагогического творчества к минимуму и создает ощущение рутинности собственного труда. Профессия перестает дарить радость. Программы и методы, требующие гибкости и креативности, начинают казаться ненужными и затрудняющими учебный процесс. Учитель постепенно приходит в состояние "профессиональной деформации”. Как избавится от доминирования ощущений рутины и негатива к себе в профессии? Этому может помочь только четко выстроенная образовательная система, в которой уже на начальном этапе будут вводится технологии обучения, способствующие созданию творческой атмосферы учебного процесса и предполагающие преемственность во всех элементах этой системы на последующих ступенях школы.

Однако, это создает особые трудности для учителя, который должен научиться не мешать детям осуществлять поиск, а лишь направлять их, помогать им. Это не совсем просто для человека, который привык быть носителем знания, "истиной в последней инстанции". Нелегко не давать знания в готовом виде, нелегко слушать зачастую абсурдные предположения детей о том,  что стоит предпринять для выхода из затруднения. Трудно не вмешиваться, когда, работая в группах или парах, дети никак не могут договориться. 
Но надо понимать, что такая работа необходима не только детям, но и тем, кто с ними работает. 
Во-первых, потому, что значительно интереснее, приходя на урок к детям, каждый раз слышать разные, порой неожиданные, гипотезы, чем каждый год рассказывать ученикам одно и тоже. Это творческая работа, а значит – интересная, от которой можно получать удовольствие.
Во-вторых, работая в такой парадигме, взрослые поневоле меняются сами, меняется их взгляд на жизнь, их отношение к проблемам на работе, в семье.
Если учитель не одинок в подобном творчестве, если рядом единомышленники, то любая сложная профессиональная задача становится вполне решаемой, общие цели и собственный вклад в совместно достигаемый результат обязательно принесут ощущение значимости собственного труда.

Литература

Л. Г. Петерсон. Деятельностный метод обучения: образовательная система

«Школа 2000...». — М.: АПК и ППРО, УМЦ «Школа 2000...», 2007

Как перейти к реализации ФГОС второго поколения по образовательной

системе деятельностного метода обучения «Школа 2000...»: Методическое пособие / Под ред. Л.Г. Петерсон. — М.: АПК и ППРО, УМЦ «Школа 2000...», 2010

Л. Г. Петерсон. Математика: Программы для 1–4 класса. — М.:

Л. Г. Петерсон. Математика, 4 класс, части 1—3: Учебник для начальной

Л. Г. Петерсон, Э. Р. Барзунова, А. А. Невретдинова. Самостоятельные и

контрольные работы. Вып. 2/1 и 2/2. — М.: Ювента, 2011.

В. А. Петерсон, М. А. Кубышева. Электронные приложения к учебнику

математики, 4 класс: мониторинг уровня математической подготовки по курсу

«Учусь учиться». — М.: УМЦ «Школа 2000...», 2007

Л. Г. Петерсон, М. А. Кубышева. Построй свою математику: блок-тетрадь

эталонов, 4 класс. — М.: УМЦ «Школа 2000...», 2007

Сценарии уроков к курсу математики «Учусь учиться», 4 класс (с презен-

тациями, дидактическими и раздаточными материалами). DVD. — М.: УМЦ

Л. Г. Петерсон, М. А. Кубышева. «Мир деятельности»: надпредметный курс по формированию УУД. — М.: Ювента, 2012

Л. Г. Петерсон, М. А. Кубышева, С. Е. Мазурина, И. В. Зайцева. Учусь учиться: набор смайликов к курсу «Мир деятельности». — М.: УМЦ «Школа 2000...», 2009

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/411781-statja-preemstvennost-po-matematike-mezhdu-na