МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика» специальность: 21.02.14 Маркшейдерское дело

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение

Прокопьевский горнотехнический техникум им. В.П. Романова

Методические рекомендации

по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика»

специальность: 21.02.14 Маркшейдерское дело

Рассмотрено

на заседании методического совета

ГБПОУ ПГТ им. В.П. Романова

Методист _________________

«_____» _______________ 2019 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка

Настоящий сборник методических рекомендаций предназначен в качестве методического пособия при проведении самостоятельных работ по программе дисциплины «Математика».

Обучающийся должен выполнить самостоятельные работы в объеме 25 часов.

Самостоятельная работа является одним из видов учебных занятий обучающихся.

Основные цели самостоятельной работы:

систематизация и закрепление знаний и практических умений обучающихся;

углубление и расширение теоретических знаний, формирование умений использовать справочную документацию и дополнительную литературу;

развитие познавательных способностей и активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

формирование самостоятельного мышления;

развитие исследовательских умений.

Каждый обучающийся после выполнения работы должен представить отчет о проделанной работе.

Отчет о проделанной работе следует делать в тетради для самостоятельных работ.

Оценку по самостоятельной работе обучающийся получает, с учетом срока выполнения работы, если:

расчеты выполнены правильно и в полном объеме;

отчет выполнен в соответствии с требованиями к выполнению самостоятельной работы.

Самостоятельная работа обучающихся способствует формированию профессиональной компетентности, обеспечивает процесс развития навыков самоорганизации и самоконтроля собственной деятельности.

При выполнении данного вида работы знания, полученные обучающимися на занятиях, интегрируются через дополнительную проработку материала и развитие навыков самостоятельного поиска информации и принятия решений.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен освоить общие и профессиональные компетенции:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ПК 1.1. Определятьграницы землепользования горных и земельных отводов.

ПК 1.2. Строить маркшейдерскую опорную и съемочные сети.

ПК 1.4. Выбирать рациональные методы и способы измерений.

ПК 1.5. Составлять топографические карты, планы и разрезы местности.

ПК 2.1. Проводить плановые, высотные и ориентирно-соединительные инструментальные съемки горных выработок.

ПК 2.2. Обеспечивать контроль и соблюдение параметров технических сооружений ведения горных работ.

ПК 2.3. Проводить анализ точности маркшейдерских работ.

ПК 2.5. Контролировать параметры движения горных пород.

ПК 2.6. Планировать горные работы.

ПК 3.1. Определять параметры залежи полезного ископаемого.

ПК 3.2. Вычислять объемы запасов полезного ископаемого.

ПК 3.3. Вести учет качества и полноты извлечения полезного ископаемого.

ПК 4.1. Планировать и обеспечивать выполнение производственных заданий.

ПК 4.2. Определять оптимальные решения производственных задач в условиях нестандартных ситуаций.

ПК 4.3. Контролировать качество выполнения работ.

ПК 4.4. Участвовать в оценке экономической эффективности производственной деятельности.

Методические рекомендации разработаны на основе рабочей программы по дисциплине «Математика» для специальности 21.02.14 Маркшейдерское дело.

Раздел 1: Основные понятия и методы математического анализа

Тема 1.1: Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Самостоятельная работа №1: Дифференцирование функций.

Цель:закрепить формулы и правила дифференцирования функций.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, ПК 2.1-2.3, 2.5, 2.6, ПК 3.1-3.3, ПК 4.1-4.4

Уметь: находить производные функций.

Знать:основные понятия и методы математического анализа

Количество часов: 3

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задания для выполнения работы:

Задание 1. Найти производные 1-го порядка данных функций

₁₎

₂₎

₃₎

₄₎

₅₎

₆₎

Задание 2. Найти производные 1-го порядка данных функций

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 3.

Найти для функций:

у=sin3x y= y= ln5x

у=cos4x y=2ln

y= y=

y=

y= y=ln6x

у=cos6x-2x y=

Студенты по вариантам выполняют задания.

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы № 1

Формулы дифференцирования

Во всех приведенных ниже формулах буквами U и V обозначены дифференцируемые функции независимой переменной х:, а буквами - постоянные.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Остальные формулы записаны как для функций независимой переменной х, так и для сложной, где .

7.;7а.;

8.;8а.;

9.;9а.;

10.;10а.;

11.11а.;

12.;12а.;

13.;13а.;

14.;14а.;

15.;15а.;

16.;16а.;

17.;17а..

При решении ниже приведенных примеров сделаны подробные записи.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Это алгебраическая сумма функций. Дифференцируем эту функцию, используя формулы 3, 1, 5, 7 и 8.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Применяя формулы 6, 11, 3, 1, 10, получим:

Пример 3. Найти производную функции и вычислить ее значение при х=0.

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом U=sinx, поэтому, применяя формулы 15а и 10, получим:

Вычислим значение производной при х=0

.

Пример 4. Найти производную функции .

Решение.-это сложная степенная функция с промежуточным аргументом . Применим формулу 7а, получим:

, получили сложную логарифмическую функцию с промежуточным аргументом . Применяя формулы 16а и 11, получим:

Контрольные вопросы:

Что называется производной функции в точке?

Какую функцию называют сложной?

Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции

Сформулируйте теорему о производной суммы двух функций.

Сформулируйте теорему о производной произведения двух функций.

Сформулируйте теорему о производной частного двух функций.

Литература:[1] глава 11 §11.1, 11.2, 11.3, 11.4

Критерии оценки выполнения задания:

- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение 1);

Самостоятельная работа №2: Исследование функций на экстремум.

Цель:закрепить умения применять производную к исследованию функций.

Проверяемые результаты обучения ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, ПК 2.1-2.3, 2.5, 2.6, ПК 3.1-3.3, ПК 4.1-4.4

Уметь: решать прикладные задачи.

Знать:основные понятия и методы математического анализа

Количество часов: 3

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задания для выполнения работы:

Исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной:

Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной:

.

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №2

Исследование функций с помощью производной

По знаку производной функции у=f(x) можно судить о поведении функции: если, то функция возрастает в точке х₀, если , то функция убывает в этой точке.

Построим график функции у=f(x)

Р
ис. 2

В точке х₁ функция имеет максимум, т.к. значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к х₁. В точке х₂ функция имеет минимум, т.к. значение функции в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к х₂.

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции.

Исследование функции на экстремум с помощью первой производной (первое правило)

Найти область определения функции.

Найти первую производную функции.

Найти критические точки, для этого производную приравнять к нулю и решить полученное уравнение.

Отметить на числовой прямой область определения функции и разбить ее критическими точками на интервалы монотонности.

Исследовать знак производной в каждом интервале.

Сделать вывод: если производная при переходе через критическую точку х₀ слева направо меняет знак с плюса на минус, то при х=х₀ функция имеет максимум, если с минуса на плюс, то – минимум, если производная не будет менять знака, то нет ни максимума, ни минимума.

Вычислить максимальные и минимальные значения функции, для этого критические значения аргумента нужно подставить в данную функцию y=f(x).

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Областью определения является множество всех действительных чисел, т.е. .

Найдем производную функции

.

Так как эта функция имеет производную всюду, то критические точки определим, решая уравнение: .

.

Отметим критические точки на числовой прямой (рис. 3)

Исследуем знак производной в каждом из полученных интервалов:

Делаем вывод: при переходе через точку х=0 производная меняет знает с плюса на минус, следовательно, при х=0 функция имеет максимум. При нет ни максимума, ни минимума, т.к. при переходе через эти точки производная сохраняет свой знак.

Исследование функции на экстремум с помощью второй производной

(второе правило)

Найти область определения функции.

Найти первую производную функции.

Найти стационарные точки, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль.

Найти вторую производную функции.

Исследовать знак второй производной в каждой критической точке.

Сделать вывод: если вторая производная в точке х₀ положительна , то х=х₀ – точка минимума, если вторая производная в этой точке отрицательна , то х=х₀ – точка максимума.

Найти максимальные и минимальные значения функции.

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е. .

Находим первую производную функции

.

Функция имеет производную всюду, поэтому критические точки находим, решая уравнение

.

Находим вторую производную функции

.

Исследуем знак второй производной в каждой критической точке:

Делаем вывод: т.к. , то х=0 – точка минимума; т.к. , то х=-2 – точка максимума.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте физический смысл производной.

Сформулируйте признак возрастания и убывания функции.

Какие точки называются точками экстремума функции?

Сформулируйте достаточное условие существования экстремума с помощью производной первого порядка.

Сформулируйте достаточное условие существования экстремума с помощью производной второго порядка.

Сформулируйте правило отыскания экстремума функции с помощью производной первого порядка.

Сформулируйте правило отыскания экстремума функции с помощью производной второго порядка.

Литература:[1] глава 12 §12.3, 12.4

Критерии оценки выполнения задания:

- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение 1).

Тема 1.2: Дифференциальное исчисление функций нескольких действительных переменных.

Самостоятельная работа №3: Вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, ПК 2.1-2.3, 2.5, 2.6, ПК 3.1-3.3, ПК 4.1-4.4

Уметь: находить частные производные.

Знать:основные понятия и методы математического анализа

Количество часов: 3

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задания для выполнения работы:

1. Найти частные производные

2. Найти полный дифференциал

1)

2)

₃₎

4)

5)

6)

7)

₈₎

9)

10)

3. Найти полную производную

4. Найти для

1)

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №3

Функция многих переменных. Частные производные.

Определение: Переменная величина z называется функцией двух переменных величин x и y, если каждой паре допустимых значенийx и y соответствует единственное значение переменной z.

Обозначение:z=f(x,y)

Определение: Частной производной функции z=f(x,y)

по переменной x называется производная этой функции по x при постоянном значении переменой y.

Обозначение:

Определение: Частной производной функции z=f(x,y)

по переменной y называется производная этой функции по y при постоянном значении переменой x

Обозначение:

Определение: Частная производная функции нескольких переменных u=f(x,y,z,…..)

по одной переменной определяется как производная этой функции по соответствующей переменной при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

Замечание:

Количество частных производных первого порядка равно числу переменных.

Частные производные находят по формулам дифференцирования функции одной независимой переменной.

Пример 1: найти частные производные функции

Пример 2:

Дифференциал функции многих переменных.

Определение: Произведение частной производной функции по некоторой переменной на дифференциал этой переменной называется частным дифференциалом.

Определение:Полный дифференциал функции равен сумме частных дифференциалов.

Пример 3:Найти полный дифференциал функции

Дифференцирование сложных функций.

Пустьz=f(x,y)-функция двух переменных xиy, аxиy в свою очередь являются функциями переменной t:x=. Подставим значения xиyв выражение функции: - получим сложную функцию, где t–независимая переменная, xиy - промежуточные переменные.

Пример 4: Найти производную сложной функции

Частные производные второго порядка обозначаются и вычисляются по следующим формулам:

Вторая производная по переменной  :  = = .

Вторая производная по переменной  :  = = .

Вторая производная по переменным  ,  :  = = .

Порядок дифференцирования по x и по y безразличен:

Пример 5: Найти все частные производные второго порядка для функции

Контрольные вопросы:

Дать определение функции двух переменных.

Дать определение частных производных.

Дать определение полного дифференциала.

Дать определение функции двух переменных.

Чему равна производная сложной функции?

Дать определение частной производной второго порядка.

Литература:[3] глава 12 §1, §4(1,2), §6

[4] с. 194-202

Критерии оценки выполнения задания:

- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение 1);

Тема 1.3Основы интегрального исчисления.

Самостоятельная работа №4: Применение определенного интеграла в прикладных задачах.

Цель:закрепить умения решать задачи с применением определенного интеграла, выбирать типовые способы и методы выполнения поставленных задач.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, ПК 2.1-2.3, 2.5, 2.6, ПК 3.1-3.3, ПК 4.1-4.4

Уметь: решать прикладные задачи с применением определенного интеграла.

Знать:основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности, основные понятия и методы математического анализа

Количество часов: 4

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задание для выполнения: Решить задачи

Вариант 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х²+2,x=-1,x=1,y=0 (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у²= 4х и прямой у = х (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х³, х=1, у=8 (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х²-2х+4, х=-1, у=3 (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х²-4х+4, у=4-х² (сделать чертеж).

Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у = 4 - х² и у = 0 (сделать чертеж).

Вариант 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² и у²=х (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, х=1 , х=3, у = 0 (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , у=0, х=-1, х=2 (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х²-4х+8, х=0, х=2, у=0 (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х², у=2x-х² (сделать чертеж).

Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у = 9 - х² и у = 0 (сделать чертеж).

Методические рекомендации к выполнению практической работы № 4

Теоретический материал

Понятие определенного интеграла широко используется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Площади плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции аАВв (рис.3), ограниченной графиком непрерывной функции , отрезком ав оси ох и прямымих=а и х=в, вычисляется по формуле:

.

Еслиf(x)<0, то .

Рис.3.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми х=-1 и х=2 и осью абсцисс (рис.4).

Рис.4

Решение. Сделаем чертеж, для этого построим каждую из заданных линий. Применим формулу:

.

Получим:

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим каждую из заданных линий (рис.5).

Рис.5

Так как f(x)<0, то применим формулу , получим:

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у²=4х и у=х.

Решение. Сделаем чертеж (рис.6), для этого построим каждую из заданных линий:

Рис. 6

Так как y>0, то используем формулу .

Найдем пределы интегрирования, для этого найдем абсциссы точек пересечения заданных линий, решив систему уравнений:

х²= 4х, х²- 4х = 0; х (х - 4) = 0 или х = 0 или х – 4 = 0, х = 4.

а = 0, в = 4.

Площадь искомой фигуры найдем как разность площадей двух плоских фигур:

Вычисление объемов тел вращения

Рис.7

Объем тела, образованного вращением вокруг осиОх криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией у=f(x), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=в вычисляется по формуле:

.

Пример 4. Вычислить объем шара радиуса R.

Решение. Шар образован вращением вокруг оси Ох полукруга, ограниченного дугой окружности с центром в начале координат и радиусом R.

Выразиму²;.

Рис.8

Применяя формулу , получим:

Если плоская фигура вращается вокруг оси Оу, то объем полученного тела вычисляют по формуле: , где а и в – пределы изменения переменной у.

Пример 5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой и прямой у=2.

Решение. Сделаем чертеж.

Рис.9

Полученное тело называется параболоидом и объем его вычислим по формуле:

, где х²= у – 1.

Путь, пройденный точкой

Если точка движется прямолинейно и ее скорость V=V(t) – функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени , вычисляется по формуле:

.

Пример 6. Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = 0,1t³ (V – в м/с). Вычислить путь, пройденный телом за 10 секунд.

Решение. Применяя формулу , находим:

Контрольные вопросы

1. Какая плоская фигура называется криволинейной трапецией?

2. Какой формуле вычисляется площадь криволинейной трапеции?

3.Какой формуле вычисляется площадь криволинейной трапеции?

По какой формуле вычисляется площадь криволинейной трапеции?

По какой формуле вычисляется объем тела вращения?

Литература:[1] глава 14 §14.5, 14.6

Критерии оценки выполнения задания:

- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение 1)

Раздел 2: Элементы линейной алгебры и теории комплексных чисел.

Тема 2.1: Элементы линейной алгебры

Самостоятельная работа №5: Выполнение действий над матрицами.

Цель:закрепить умения и навыки выполнения операций над матрицами, нахождения обратной матрицы.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, ПК 2.1-2.3, 2.5, 2.6, ПК 3.1-3.3, ПК 4.1-4.4

Уметь: выполнять действия над матрицами.

Знать:основные понятия линейной алгебры.

Количество часов: 3

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задания для выполнения работы:

Задание 1

Задание 2

Выполнить действия над матрицами.

1.1. , . Найти .

1.2. , . Найти .

1.3. , . Найти .

1.4. , . Найти .

1.5. , . Найти .

1. 6. , . Найти .

1. 7. , . Найти .

1. 8. , . Найти .

1. 9. , . Найти .

1.10. , . Найти .

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №5

1. Вычислить определитель второго порядка

Определителем второго порядка называется число, которое поставлено в соответствие таблицы коэффициентов

по следующему правилу: произведение по главной диагонали берется со знаком плюс, по другой диагонали со знаком минус.

=a₁b₂ –a₂b₁

Пример: вычислить определитель второго порядка

1)

2)

2.Вычислить определитель третьего порядка

Определителем третьего порядка называется число, которое поставлено в соответствие таблицы коэффициентов по следующему правилу:

Это определение определителя наглядно можно представить следующим образом:

Это правила называют еще «Правило треугольника»

Пример: Вычислить определитель третьего порядка

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, в которой расположен элемент, четная и с обратным знаком, если нечетная.

- алгебраическое дополнение

Действия над матрицами

Нахождение обратной матрицы.

Определение: Если матрица А – квадратная, то обратной для нее матрицей называется матрица , удовлетворяющая условию

Правило нахождения обратной матрицы.

Найти определитель Dи убедиться в том, что он не равен 0.

Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы А и записать новую матрицу .

Поменять местами столбцы и строки, полученной матрицы( транспонировать)

Умножить полученную матрицу на ,

Сделать проверку:

Пример: Найти матрицу обратную матрице А=

Решение:

Контрольные вопросы

Как осуществляется операция умножения матрицы на число?

По какому правилу производится умножение матриц?

Что называется обратной матрицей?

Какая матрица называется единичной?

Какая матрица называется диагональной?

Какая матрица называется матрица- столбец, матрица-строка ?

Как найти определитель второго и третьего порядка?

Что называется минором элемента определителя?

Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?

Перечислить свойства определителя.

Литература: [3] гл.1 §5, гл. 4 §1

Критерии оценки выполнения задания:

- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение 1);

Самостоятельная работа №6: Решение систем линейных уравнений с использованием формул Крамера и методом Гаусса.

Цель:закрепить умения и навыки решать системы линейных уравнений методом Крамера, матричным способом и методом Гаусса.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, ПК 2.1-2.3, 2.5, 2.6, ПК 3.1-3.3, ПК 4.1-4.4

Уметь: решать системы линейных уравнений методом Крамера, матричным методом, методом Гаусса.

Знать:основные понятия линейной алгебры.

Количество часов: 4

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет .

Задание для выполнения:

Решить систему уравнений по формулам Крамера, матричным способом и методом Гаусса:

В - 1

1) Используя метод Крамера решить систему 2-х линейных уравнений:

2) Используя метод Крамера решить систему линейных уравнений:

3) Используя матричный метод решить систему линейных уравнений:

4) Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

а)

в)

В – 2

1) Используя метод Крамера решить систему 2-х линейных уравнений:

2) Используя метод Крамера решить систему линейных уравнений:

3) Используя матричный метод решить систему линейных уравнений:

4) Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

а)

б)

В – 3

1) Используя метод Крамера решить систему 2-х линейных уравнений:

2) Используя метод Крамера решить систему линейных уравнений:

3) Используя матричный метод решить систему линейных уравнений:

4) Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

а)

б)

В – 4

1) Используя метод Крамера решить систему 2-х линейных уравнений:

2) Используя метод Крамера решить систему линейных уравнений:

3) Используя матричный метод решить систему линейных уравнений:

4) Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

а)

б)

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №6

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Пример: Решить по формулам Крамера систему уравнений:

2 х + 3у = 1

х – у = 0

Вычислим все определители:

Отсюда

Ответ:,

Пример: Решить по формулам Крамера систему уравнений:

Вычислим:

Тогда:

Ответ: х₁=2/3, х₂=1, х₃=0.

Решение систем линейных уравнений в матричной форме.

AX=B – это равенство называется простейшим матричным уравнением.

X=

Пример: Решить систему в матричной форме

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы и преобразуемее. Для удобства вычислений отделим вертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов: .

Последовательно переставим местами строки: 31, 23. Получим матрицу, эквивалентную исходной матрице.

Умножим первую строку матрицы последовательно на (2) и (1) и сложим соответственно со второй и третьей строками. Получим матрицу, эквивалентную исходной матрице.

Умножим вторую строку на (3) и сложим ее с третьей строкой матрицы. Получим матрицу, эквивалентную исходной матрице.

Умножим вторую строку на (1), а третью строку умножим на . Получим матрицу, эквивалентную исходной матрице.

  

  .

Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:

Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому. Из третьего уравнения. Подставив значение во второе уравнение, найдем . Подставив значения в первое уравнение, найдем .

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте правило Крамера.

2.Как решить систему матричным способом?

3.В чем заключается метод исключения неизвестных – метод Гаусса?

Литература:[5] глава 10 §3, §4, §6

Критерии оценки выполнения задания:

- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение1);

Тема 2.2 Комплексные числа

Самостоятельная работа №7: Доклад на тему «История развития комплексных чисел».

Цель: расширить знания по теме «История развития комплексных чисел», формирование умений и навыков осуществлять поиск и отбор необходимой информации.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, ПК 2.1-2.3, 2.5, 2.6, ПК 3.1-3.3, ПК 4.1-4.4

Уметь:пользоваться понятиями теории комплексных чисел.

Знать:основы теории комплексных чисел.

Количество часов: 3

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности, интернет ресурсы.

Форма контроля: письменный отчет.

Задание для выполнения работы:

Подготовить доклад на тему «История развития комплексного числа»

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №7.

Выполнить доклад (см.«Общие требования к выполнению доклада» приложение 2).

Критерии оценки выполнения задания:

Масштаб и глубина проработки материала, полнота раскрытия темы, сумма обобщенного материала, степень критического осмысления (Приложение 1).

Раздел 3: Элементы теории вероятностей, математической статистики и дискретной математики.

Самостоятельная работа №8: Доклад на тему «История развития теории вероятностей».

Цель:расширить знания по теме «История развития теории вероятностей», формирование умений и навыков осуществлять поиск и отбор необходимой информации.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, ПК 2.1-2.3, 2.5, 2.6, ПК 3.1-3.3, ПК 4.1-4.4

Уметь:пользоваться понятиями теории вероятностей.

Знать:основные понятия теории вероятностей.

Количество часов: 2

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности, интернет ресурсы.

Форма контроля: письменный отчет.

Задание для выполнения работы:

Подготовить доклад на тему «История развития теории вероятностей»

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №8.

Выполнить доклад (см. «Общие требования к выполнению доклада» приложение 2).

Критерии оценки выполнения задания:

Масштаб и глубина проработки материала, полнота раскрытия темы, сумма обобщенного материала, степень критического осмысления ( Приложение 1).

Приложение 1

Требования к выполнению расчетного задания

Выполнению расчетных заданий должно предшествовать изучение всех вопросов темы по дисциплине в соответствии с рекомендациями методических указаний. Защита работ производится в форме письменного отчета с учетом срока выполнения работы.

Расчетные задачи выполняются в тетрадях для самостоятельных работ, в том порядке, в котором они даны. Обязательно пишется тема, цель самостоятельной работы, условие задачи, что дано, решение и ответ в полной форме.

Приступая к выполнению индивидуального задания, внимательноизучите теоретический материал данной темы по конспекту лекцийи по рекомендованному учебнику математики.

Критерии оценки выполнения самостоятельной работы

Максимальное количество баллов за каждое расчетное задание 100 баллов. Связь рейтинга студента с итоговой оценкой по дисциплине представлена в таблице.

Таблица – Шкала оценок

Любая контрольная точка, выполненная после срока без уважительной причины, оценивается на 10 % ниже.

– Оценки видов работ

Приложение 2

Общие требования к выполнению доклада

Доклад - это исследование на заданную тему, сделанный на основе критического обзора литературы и других ис­точников.

Доклад, как вид самостоятельной работы, используется в учебных и внеаудиторных занятиях, способствует формированию умений исследовательской работы, расширяет познавательные интересы, приучает критически мыслить. При написании док­лада по заданной теме составляется план, подбираются основ­ные источники. В процессе работы с источниками системати­зируются полученные сведения, делаются выводы и обобще­ния.

Цель написания доклада состоит в том, чтобы научить обучающихся связывать тео­рию с практикой, пользоваться литературой, статистическими данными, привить умение популярно излагать сложные вопросы.

Этапы работы над докладом:

подбор и изучение источников по теме;

обработка и систематизация материала;

разработка плана доклада.

подготовка выводов и обобщений;

написание доклада.

публичное выступление с результатами исследования.

В докладе соединяются три качества исследователя: умение провести исследование, умение преподнести результаты слушателям и квалифицированно ответить на вопросы.

Структура доклада:

содержание;

краткое введение;

изложе­ние основного содержания темы;

заключение;

список использованной литературы;

приложения (если таковы имеются).

Требования к письменному оформлению доклада:

доклад необходимо оформить в текстовом редакторе MicrosoftOfficeWord;

размер страницы – А4;

поля – обычные (левое – 3 см, правое – 1,5 см, нижнее – 2 см, верхнее – 2 см);

шрифт – times new roman, размер – 14 пт;

межстрочный интервал – 1,5;

объем: 3 – 4 страницы;

доклад сдается на проверку на листах белой бумаги формата А4.

Продолжительность выступления – 5-7 минут. Текст доклада должен быть существенным и лаконичным. Выступление начинается с представления темы доклады, завершается словами «Спасибо за внимание! Слушаю ваши вопросы».

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Прокопьевский горнотехнический техникум им. В.П. Романова

Доклад

по дисциплине «Математика»

История возникновения чисел

Работу выполнил студент

Миронов Д.А.

II курс, группа МД-17

Руководитель:

преподаватель Жигалова С.В.

Прокопьевск, 20 г.

Список источников

Основные источники:

Данилов, Ю.М. Математика [Электронный ресурс] / Данилов Ю. М., Никонова Н. В., Нуриева С. Н. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2016. - (ЭБС Знаниум)

2. Дадаян, А.А.Математика  [Электронный ресурс] / А.А. Дадаян. — М. : ИНФРА-М, 2018.  - (ЭБС Знаниум)

Дополнительные источники:

5. Колягин, Ю.М. Математика [Текст]: Учебное пособие: В 2 кн. Кн.1. / Ю.М.Колягин, Г.Л. Луканкин, Г.Н.Яковлев. - М.: ООО «Издательство Новая Волна», 2008.-656 с.: ил.

6. Колягин, Ю.М. Математика [Текст]: Учебное пособие: В 2 кн. Кн.2. / Ю.М.Колягин, Г.Л. Луканкин, Г.Н.Яковлев. - М.: ООО «Издательство Новая Волна», 2008.-592 с.: ил.

7. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: В 2ч. Ч.1 Учебное пособие для вузов / П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. - М.: Издательский дом « ОНИКС 21 век»: Мир и образование,2012.-304 с.: ил.

8. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: В 2ч. Ч.2 Учебное пособие для вузов / П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. - М.: ООО «Издательский дом ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и образование»,2012.-416 с.: ил.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/412106-metodicheskie-rekomendacii-po-vypolneniju-vne