Разработка урока «Отыскание наибольших и наименьших значений величин»

ТЕМА:Применение производной для отыскания

наибольших и наименьших значений величин.

Тип:полное учебное занятие (комбинированное: закрепление знаний и усвоение новых знаний).

Форма:урок-сабантуй.

Цели и задачи:

1) Актуализировать и закрепить знания обучающихся по теме «Производная»; научить обучающихся отыскивать наибольшие и наименьшие значения величин, используя производную; ознакомить обучающихся с этапами решения задач на оптимизацию; показать профессиональную значимость темы.

2) Способствовать развитию у обучающихся логического мышления, исследовательских навыков, творческих способностей, формированию математической грамотности.

3) Воспитывать любознательность, аккуратность, внимательность, чувство патриотизма.

Учебно-методическое обеспечение:учебник и задачник «Алгебра 10-11» под редакцией Мордковича А.Г., дидактический материал (карточки для индивидуальной работы, карточки для «борьбы КУРЕШ»), справочник обучающихся, формулы, таблица производных, алгоритм отыскания наибольших и наименьших значений, плакаты «Лазание по столбу», «Стрельба из лука», «Бэйге», сообщения обучающихся-«сэсэнов», кумыс, башкирские национальные костюмы.

Методы, приемы:объяснительно - иллюстративный, индивидуальный, дифференцированный, беседа, работа с учебником, письменная работа по карточкам, работа в парах, подготовка сообщений обучающимися, беседа о профессиональной значимости темы, задания на актуализацию и закрепление знаний в форме конкурсов сабантуя: «Куреш», «Стрельба из лука», «Лазание по столбу», «Бэйге».

План занятия:

Организационный момент.

Постановка целей и задач.

Вступительное слово преподавателя. Беседа о народных традициях.

Актуализация знаний обучающихся, необходимых для изучения темы.

Изучение нового материала.

Закрепление знаний.

Домашнее задание.

Подведение итогов. Комментирование результатов работы.

Заключительное слово преподавателя.

Ход занятия:

Организационный момент.

Постановка целей и задач.

Вступительное слово преподавателя. Беседа о народных традициях.

Сабантуй - башкирский праздник. Обычно он проводится после завершения посевных работ, до начала сенокоса. Сабантуй - значит «праздник плуга». Участники сабантуя на различных состязаниях показывают ловкость, силу, сноровку и мастерство.

Победители получают призы и подарки. По традиции призы иподарки готовили женщины и девушки. На нашем сегодняшнем сабантуе тоже будут призы.

Сабантуй обычно начинается с подведения итогов работы, награждения лучших работников. Следуя этой традиции, мы начнем урок с чествования победителей, участников различных конкурсов, прошедших в этом учебном году по математике. Группа №3 признана самой активной группой второго курса по итогам математической недели; самыми активными участниками признаны Зюзина Катя, Саушкина Валя и Митюкова Таня. В составе сборной команды второго курса наши девочки (Зюзина К., Саушкина В., Шакиржанова А., Хасанов Р. и Митюкова Т.) одержали победу в математическом конкурсе КВН, помогала в этом практически вся группа. Саушкина В. и Зюзина К. приняли участие в Республиканской технической олимпиаде.

Давайте же начнем наш сабантуй, выявим «батыров», то есть самых смекалистых, самых сообразительных и математически грамотных. Прошу всех быть активными участниками.

Актуализация знаний обучающихся, необходимых для изучения темы.

1. Индивидуальная работа отдельных обучающихся по карточкам с графиками функций.

2. ЛАЗАНИЕ ПО СТОЛБУ.

В этих соревнований участвуют, в основном, юноши. Они без всяких приспособлений должны забраться на 10-14-метровый гладкий столб.

Н а доске вывешивается плакат с изображением столба. Через каждые 2 метра на столбе даны задания по вычислению производных. Победителем считается тот, кто первым назовет правильный ответ. Вычисления производятся только устно. Правильный вариант ответа только один.

1)

10мm(a) =?

8мm(x)=2 – h '(x)

6мh(x)=cos x+g '(x)

4мg(x)=f '(x)+4

2 м f(x) = (cos x+sin x +1)'

0 а = 0

2) 3)

m(a) = ? m(a) = ?

m(x)= h '(x) + x m(x)= h '(x)+48

h(x)=g'(x) + 1 h(x)=g '(x)+3

g(x)=f '(x) - 2 g(x)=f '(x)

а = -6 а = -1

Изучение нового материала.

1.ВЫСТУПЛЕНИЕ «СЭСЭНОВ»

Преподаватель:Главным «сэсэном» на уроке стану я. Я расскажу вам о применении производной в различных областях знаний. Помогать мне будут молодые, менее опытные «сэсэны».

Объяснение преподавателя:

Беседа «Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке».

Выводы:

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.

2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него (рис.146-148).

3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Рассматриваются рисунки в учебнике (стр. 199).

Подводя итог сказанному, нетрудно составить

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений.

Плакат с алгоритмом вывешивается на доске.

АЛГОРИТМ ОТЫСКАНИЯ НАИМЕНЬШЕГО

И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ

НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ у= f(x)

НА ОТРЕЗКЕ [а; b]

1. Найти производную f ' (x).

2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [а; b].

3. Вычислить значения функции у = f(x)в точках, ото­бранных на втором шаге и в точках аи b;вы­брать среди этих значений наименьшее (это будету_наим..)и наибольшее (это будет у_наиб.).

Помощники читают алгоритм в стихах:

Алгоритм ты этот нужный

Навсегда запомни, друг!

Наименьшее значенье

Мне понадобилось вдруг.

Производную найду я

И найду ее нули.

Точки эти - не простые,

Стационарными зовутся они.

Среди этих важных точек

Выберу я только те,

Что лежат внутри отрезка,

Даже в полной темноте.

После – игрека значенья

В этих точках я найду,

Наименьшее значенье

Выбирая на ходу.

И уже ответ задачи

Я готовлюсь записать –

Это игрек наименьший, -

Так легко его искать!

Теорема.Пусть функция у= f(x)непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку х=х₀. Тогда:

а) если х = х₀ – точка максимума, то у_наиб.=f(x₀);

б) если х = х₀ – точка минимума, то у_наим.=f(x₀);

Геометрические иллюстрации на рисунках 149 и 150 (стр.203)

2.«БЭЙГЕ» (СКАЧКИ)

Бэйге - состязание скаковых лошадей по пересеченной местности на различные дистанции. Бэйге непременно входит в программу сабантуев.

Перед «скачками» проводится физкультминутка (спину выпрямили, прогнули - как настоящие всадники)

Вывешивается плакат с заданиями для проведения «скачек» и объявляется условие:от старта до финиша «на скаку» обучающиеся должны пройти несколько «препятствий», т. е. выполнить несколько заданий. Победитель определяется по времени «прохождения дистанции» (учитывается и правильность выполнения заданий). Все работают в тетрадях.

Задания.

1) Найти критические и стационарные точки функции

f(x)=х³-3х²-45х+1.

2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x ) на отрезке [0; 6 ].

3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x ) на отрезке [- 4; 6 ].

4) Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х²+ 3 на отрезке [-1; 1].

5) Найти критические и стационарные точки функции , принадлежащие промежутку [0; ].

6) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [0; ].

В процессе решения преподаватель предлагает вспомнить теорему Виета для решения квадратного уравнения. Помощница напоминает ее в стихотворной форме с иллюстрацией на плакате.

Теорема Виета

Я. Герцейштейн

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни — и дробь уж готова:

В числителе «с», в знаменателе «а»,

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда —

В числителе «в», в знаменателе «а».

3. СЛОВО «СЭСЭНОВ»

Сообщение обучающихся «Задачи на оптимизацию».

Беседа о профессиональной значимости темы.

Работа с учебником (рассмотрение примера решения задачи на оптимизацию). Пример 5 (стр.206 – 207).

Закрепление знаний.

1.КУРЭШ (БОРЬБА)

Курэш - национальная борьба на стойке с обоюдным захватом двумя руками за кушак соперника. Правила разрешают броски с прогибом, с наклоном, с подсадом. Поединки длятся 5 минут чистого времени и проходят по 9 весовым категориям.

Перед «борьбой» проводится «разминка» - физкультминутка (наклоны).

Сейчас вам тоже в течение 5 минут придется бороться с 9 «противниками» - 9 задачами на оптимизацию. Но бороться разрешается не в одиночку, а парами или даже «тройками». (Каждой мини-группе раздается по одной задаче)

Задачи.

1. Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

2. Произведение двух положительных чисел равно 484. найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наибольшее значение.

3. Разность двух чисел равна 98. найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

4. Закрытый короб с квадратным дном должен иметь объем 343 м³. При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала?

5. Для перевозки товара требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как 2 : 3, а объем составлял 576 м³. каковы должны быть размеры всех его сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

6. Огораживают площадку под строительство склада прямоугольной формы площадью 2500 м². Каковы должны быть ее размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»?

7. Нужно огородить участок (под строительство киоска) прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

8. Огораживают площадку перед магазином прямоугольной формы площадью 64 м². каковы должны быть длина и ширина площадки, чтобы на ограждение ушло наименьшее количество штакетника?

9. Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшее количество материала?

2.СТРЕЛЬБА ИЗ ЛУКА.

Чтобы стать батыром, юношам, наряду с умением скакать на коне, бороться на полотенцах, лазить по гладкому деревянному столбу, необходимо было метко стрелять из лука. Это испытание считалось пройденным, когда юноша уходил в горы и подстреливал парящего орла, который нападал на пасущийся скот башкир- кочевников.

Чтобы окончательно закрепить полученные знания, предлагаю вам тоже немного «пострелять».

А перед этим проведем еще одну физкультминутку: разомнем плечевые и локтевые суставы – отводим одну руку назад («натягиваем лук»), другую – вперед.

По плакату объявляются условия. «Меткость» заключается в правильном угадывании «числа-мишени» во второй строке, построенной по правилу первой строки.

Домашнее задание:

1) §36;

2) № 941(б), 942(б), 954;

3) придумать и решить задачу на оптимизацию, связанную с профессией;

4) доп.: № 972.

Подведение итогов. Комментирование результатов работы.

Заключительное слово преподавателя.

Хотелось бы отметить, что математическое образование и развитие математических способностей необходимы не только тому, кто впоследствии займется научными исследованиями в области математики, физики, астрономии или инженерного дела, но и тому, кто станет экономистом, коммерсантом, организатором производства, агрономом, квалифицированным рабочим. Математический стиль мышления, умение рассуждать строго, без логических скачков нужны также будущим юристам и историкам, биологам и лингвистам, врачам.

Жизнь – изумительный дар природы, но, чтобы она приносила радость, нужно научиться трудиться с увлечением, стремиться облегчить свой труд и усовершенствовать его привычные формы. Миллионы людей в нашей стране и за рубежом принимают участие в изобретательстве, совершенствовании орудий труда и методов их использования. Такая привычка мыслить, открывать новое в обыденном окажет вам огромную помощь в вашей профессиональной деятельности и позволит превратить труд во внутреннюю потребность.

Продолжая традиции гостеприимства башкирского народа, девушки в национальных костюмах угощают гостей кумысом.

Звучит национальная музыка.

Сообщение

Задачи на оптимизацию

Российский математик XIX в. П. Л. Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности че­ловека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». С такими задачами в наше время прихо­дится иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; конструкто­ры пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей; экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т. д.

Задачи подобного рода носят общее название — задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum— «наилучший»). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с дву­мя величинами, одна из которых зависит от другой, причем на­до найти такое значение второй величины, при котором первая принимает свое наименьшее или наибольшее (наилучшее в дан­ных условиях) значение.

Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме из трех этапов математического моделирования: 1) составление матема­тической модели; 2) работа с моделью; 3) ответ на вопрос зада­чи.

Первый этап.Составление математической модели.

1) Проанализировав условия задачи, необходимо выделить оптимизируемую величину (сокращенно: О. В.), т. е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначим ее буквой у(или S,V,R,t— в зависимости от фабулы).

2) Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, че­рез которую сравнительно нетрудно выразить О. В., примем за независимую переменную (сокращенно: Н. П.) и обозначим ее буквой х(или какой-либо иной буквой). Установим реальные границы изменения Н. П. (в соответствии с условиями задачи), т. е. область определения для искомой О. В.

3) Исходя из условий задачи, выразим у черезх. Математи­ческая модель задачи представляет собой функциюу = f{x)с областью определенияX,которую нашли на втором шаге.

Второй этап.Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функцииу = f{x),x Xнайдите у_наим.или у_наиб. в зависимости от того, что требуется в условии задачи.

Третий этап.Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

КАРТОЧКИ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЫ

Карточка №1

Определите, какой знак имеет производная функции у=f(x)в точках с абсциссамиа, b, с, d,если график функции изоб­ражен на заданном рисунке:

Карточка №2

О пределите, какой знак имеет производная функцииу=f(x)в точках с абсциссамиа, b, с, d,если график функции изоб­ражен на заданном рисунке:

Карточка №3

О пределите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображен на заданном рисунке: а) рис.1; б) рис.2.

Рис. 1Рис. 2

Карточка №4

По графику производной, изображенному на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функцияу = f(x)возрастает, а на каких убывает:

Карточка №5

По графику производной, изображенному на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функцияу = f(x)возрастает, а на каких убывает:

Карточка №6

Определите, для какой из функций у = f(x), y = g(x),

у = h(x)отрезок [-1, 1] является промежутком возрастания, если на рис. 1, 2, 3 изображены графики производных этих функ­ций.

Рис.1

Рис.2

Рис.3

ЛИТЕРАТУРА

1) Акимова С. Занимательная математика. - С.-П.: Тригон, 1997.

2) Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М.:

Просвещение, 1985.

3) Депман И. Я. Мир чисел. Л.: Детская литература, 1982.

4)Журналы «Учитель Башкортостана», 2001. №2; 2002.№4.

5)Кузбеков Т.Т., Саитгарева Ф.А. Математика: Учебное пособие для подготовки к тестированию. –

Уфа, 2003.

6)Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл./: в двух частях (учебник и задачник)

М.:Мнемозина, 2005.

7) Энциклопедический словарь юного математика. Составитель Савин А.П. - М.: Педагогика,

1985.

8) Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. Под общей редакцией Хинн О.Г.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/432392-razrabotka-uroka-otyskanie-naibolshih-i-naime