Лабораторные работы по алгебре и началам анализа.

Система лабораторных работ по алгебре и началам анализа.

Задача учителя – организовать процесс обучения таким образом, чтобы каждое усилие по овладению знаниями протекало в условиях развития познавательных способностей учащихся, формирования у них таких основных приемов умственной деятельности, как анализ, синтез, абстрагирование, обобщение, сравнение. Школьников необходимо учить делать самостоятельные наблюдения, высказывать, проверять предположения и догадки, уметь делать обобщение изучаемых факторов, творчески применять знания в новых, изменяющихся ситуациях

Лабораторные работы по алгебре и началам анализа, также, как и практические работы по геометрии, проводятся для усиления практической направленности обучения, для развития творческой самостоятельности и интереса к математике, для активизации познавательной деятельности, способствуют прочному, неформальному усвоению изучаемого материала.

Предложенные лабораторные работы проводятся по порядку в соответствии с календарно-тематическим планированием.

Лабораторные работы проводятся с учетом индивидуальные особенности учащихся, в частности уровень их подготовки, способности, работоспособность. Поэтому некоторые учащиеся выполняют работу индивидуально, другие - группой, причем эти группы по возможности должны быть однородными по уровням обученности и обучаемости.

В большинстве лабораторных работ требуется изготовить шаблон, модель, карточки или инструмент. Эту часть лабораторной работы учащиеся, в целях экономии времени, выполняют дома, получив предварительно подробные и четкие рекомендации, сопровождаемые показом образцов.

ЛР10А.1.

Цель работы: развить и закрепить навыки определения углов, заданных в радианной мере.

Оборудование: плотная бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

Порядок проведения работ:

Изготовить из плотного картона транспортир с радианной шкалой (до 0,05 рад).

Пользуясь изготовленным транспортиром:

построить следующие углы: 2,5 рад; -1,8 рад; -3,25 рад; 5 рад; 10,3 рад; -6,5 рад;

8,45 рад;

найти радианные меры углов, изображенных на рисунках:

а) б) в)

Работа учащихся оценивается.

ЛР10А.2.

Ц ель работы: развить и закрепить навыки нахождения значений синуса и косинуса углов, заданных в градусной мере.

Оборудование: плотная бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

Порядок проведения работ:

На лист плотного картона наклеить круг радиуса R = 10 см, вырезанный из миллиметровой бумаги. На окружности этого круга нанести две шкалы: градусную (с делениями в 1°) и радианную (с делениями в 0,1 рад). В центре круга укрепить прочную нить.

Пользуясь изготовленным пособием, найти приближенные значения синуса и косинуса углов в 30°,120°, 135°,180°, 240°, 325°, -55°, -160°, -270°, -330°, 400°, 1000°, 2,5рад, 4,1 рад, 5,8 рад, π /3 рад,

-5π /4 рад.

3) Найти по модели: а) sinα, если cos α ≈ -0, 43, π < α <3π/2; б) cos α, если sin α ≈ -0,9, 3π /2 < α < 2π.

Работа учащихся оценивается.

ЛР10А.3.

Цель работы: развить и закрепить навыки исследования графиков функций.

Оборудование: карточки с графиками функций.

Порядок проведения работ:

Дана функция у = f(x), определенная на [-6; 6].

Найдите по графику: а) f(3);f(-1); f(5); б) те значения х, при которых значение функции равно 1.

Исследуйте функцию. Укажите:

а) множество значений функции;

б) координаты пересечения графика с осями координат;

в) промежутки знакопостоянства;

г) промежутки монотонности (промежутки убывания и возрастания);

д) точки экстремума, вид экстремума, экстремумы;

е) является ли функция четной или нечетной.

3) Для каждого а найдите число корней уравнения f(x) = a.

4) Найдите все такие b, при которых данная функция убывает на отрезке [b; b+1].

5) Работа учащихся оценивается.

ЛР10А.4.

Цель работы: развить и закрепить навыки построения и чтения графиков функций.

Оборудование: миллиметровая и плотная бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

Порядок проведения работ:

1) На листе миллиметровой бумаги построить прямоугольную систему координат и график некоторой функции.

2) Учитель собирает все карточки с графиками функций и, предварительно перемешав, раздает их всем присутствующим ученикам, сразу же учитывая уровень обученности каждого.

3) Учащиеся исследуют графики функций, записывая свойства в тетрадях.

4) Работа учащихся оценивается.

ЛР10А.5.

Цель работы: развить и закрепить навыки построения графиков тригонометрических функций, выполнения преобразований графиков, решения уравнений.

Оборудование: плотная и миллиметровая бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

Порядок проведения работ:

Из плотного картона изготовить шаблоны для вычерчивания графиков функций: а)у=sinx, б) у = 2sinx, в) у = 0,5sinx, г) у = sin 2x, д) у = sinx/2. За масштабную единицу в каждом случае принять отрезок, равный 1 см.

Пользуясь изготовленными шаблонами, построить графики функций:

a) у = sinx +1, b) у = sinx -2, c) у = -sinx, d) у = 1 - sinx,e) y = sin (x+π/2), f) y = sin (x - π/4), g)y = - sin 2x, j)y = 2(1 – sinx), i)y = 0,5 sin(x + π/2), q)y = 1 – sinx/2, k)y = 0,5sin(x + 1) -2.

3) а) Начертить на миллиметровой бумаге график функции у = sinx (за масштабную единицу взять отрезок, равный 5 см).

б) Наложить на чертеж линейку так, чтобы определяемая ей прямая соответствовала графику функции у = – 0,5х, и найти (с точностью до 0,01) корни уравнения sinx= – 0,5х.

в) При помощи построенного графика и линейки решить уравнения:

a) sin x = х, b) sin x = π – х, c) sin( x + π/2) =х, d) πх + sin(2x) = 0.

4) Работа учащихся оценивается.

ЛР10А.6.

Цель работы: развить и закрепить навыки построения графиков тригонометрических функций, выполнения преобразований графиков, решения уравнений.

Оборудование: плотная бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

Порядок проведения работ:

Пользуясь изготовленными ранее шаблонами, построить графики функций:

y = cos x - 1, b) y = 1 – cos x, c) y = cos x/2 + 1, d) y = (cos x)/2, e) y = 2 cos (x – π/4).

При помощи шаблонов найти с точностью до 0,01 корни следующих уравнений:

cos x = x², b) cos x = x/π, c) cos 2 x = ׀x ׀, d) x + 2 cos x = 1.

Работа учащихся оценивается.

ЛР10А.7.

Цель работы: развить и закрепить навыки построения графиков тригонометрических функций, выполнения преобразований графиков, решения уравнений.

Оборудование: плотная бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

Порядок проведения работ:

Из плотного картона изготовить шаблоны для вычерчивания графиков функций y = tgx (за масштабную единицу принять отрезок, равный 1 см).

При помощи шаблона вычертить графики следующих функций:

a)y = tg x + 1, b) y = tg (x – π/4), c) y = tg (x + π/2), d) y = - tg x, e) y = - tg (x + π/2).

3) Работа учащихся оценивается.

ЛР10А.8.

Цель работы: развить и закрепить навыки построения графиков тригонометрических функций, выполнения преобразований графиков, решения уравнений.

Оборудование: плотная бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

Порядок проведения работ:

1) При помощи шаблона для вычерчивания тангенсоиды, построить графики следующих функций:

a) y = сtgx, b) y = сtgx + 1, c) y = сtg (x + π/2), d)y = -сtgx, e)y = - сtg (x + π/2).

f) y = сtg (x – π/4 ).

2) Работа учащихся оценивается.

ЛР10А.9.

Цель работы: изучение механического смысла производной.

На рисунке 1 изображен график зависимости пути некоторого движения от времени.

а) Вычислите среднюю скорость движения на отрезках времени [0; 1], [-2; 1], [-3; 3], [-1; 3]

б) В каких точках скорость движения равна нулю?

в) Вычислите приблизительно скорость движения в начальный момент времени (t = - 3) и в конечный (t = 3).

г) Найдите точки, в которых скорость равна 1.

д) В какой момент времени скорость движения наибольшая?

е) Начертите примерный график скорости.

ж) Работа учащихся оценивается.

ЛР10А.10.

Цель работы: изучение геометрического смысла производной.

Оборудование: миллиметровая бумага.

Перечертите (лучше всего на миллиметровку) график функции, изображенный на рисунке 2

а) } Выберите З точки графика, проведите в них касательные и вычислите при5лиженно их угловые коэффициенты.

б) В какой точке касательная параллельна оси Ох? Что можно сказать о скорости изменения функции в этой точке?

в) В какой точке касательная расположена круче всего? Что можно сказать о скорости изменения функции в этой точке?

г) Найдите точки, в которых касательная наклонена к оси под углом 45°.

д) В каких точках угловой коэффициент касательной отрицателен?

е) Нарисуйте примерный график изменения углового коэффициента касательной.

ж) Работа учащихся оценивается.

Рис. 1Рис. 2

ЛР11А.1.

Цель работы: ознакомить учащихся с одним из примеров применения показательной функции.

Оборудование: миллиметровая бумага

Порядок проведения работ:

Если при радиоактивном распаде количество вещества за сутки уменьшается вдвое, то по истечении х суток от массы М₀ останется масса . Пользуясь указанной формулой, определить:

Сколько радиоактивного вещества останется через 1,5 суток; через 3 суток?

Через сколько суток количество вещества уменьшится в 128 раз?

Положив в данной формуле значение массыМ₀ радиоактивного вещества равным единице, заполнить таблицу значений функции М(х) для следующих значений аргумента х: 0, 1/4, 1/2, 1, 2, 3, 4, 5.

Построить график функции .

Через сколько суток количество вещества уменьшится в 10 раз? Определить по графику.

6) Работа учащихся оценивается.

ЛР11А.2.

Цель работы: ознакомить учащихся с практическим приложением показательной функции.

Оборудование: миллиметровая бумага

Порядок проведения работ:

Сила трения железного троса, намотанного на железный барабан, дает возможность меньшей силе Р₀ уравновесить большую силу Р. Зависимость между уравновешенными силами выражается формулой Р=Р₀*3^п, где п – число витков торса на барабане.

Какой груз можно удержать силой Р₀ = 50Н, если трос обхватывает барабан 0,5 раза; 1 раз; 1,25 раза; 1,75 раза?

Найти удерживающую силу Р₀, если она уравновешивает силу Р = 270 Н с помощью троса, обмотанного вокруг барабана 1,5 раза; 3 раза?

Сколько раз трос намотан на барабан, если силой в 50 Н удерживается груз в 15 кг; в 45 кг?

Положив в формуле Р=Р₀*3^пзначение Р₀ равным единице, заполнить таблицу значений функции Р(п) для следующих значений аргумента п: 0, ¼, ½, 1, 2, 3.

Построить график функции Р=3^пи, пользуясь графиком, определить: а) какой груз может уравновесить единичная сила, если торс обхватывает барабан 0,75 раза; 1,5 раза; 2,5 раза? б)каково число витков троса на барабане, если удерживаемый груз равен 6; 8; 9 единицам силы?

6) Работа учащихся оценивается.

ЛР11А.3.

Цель работы: Построить график логарифмической функции, выяснить свойства.

Оборудование: миллиметровая бумага

Порядок проведения работ:

Дана логарифмическая функция у = log₂x.

Заполнить таблицу значений функции у, давая аргументу х следующие значения: 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8.

Построить ряд точек, соответствующих числовым значениям функции у = log₂x. Почему эти точки можно соединить плавной кривой?

Проектируя график функции на ось Ох, найти область определения функции; проектируя график на ось Оу, определить область изменения функции.

Установить с помощью таблицы и графика, что функция у = log₂x возрастает на всей области ее определения. Убедиться, что равным приращениям аргумента соответствуют неравные приращения функции. Где эта функция возрастает быстрее: ближе к прямой х=1 или дальше от нее; слева или справа?

Вычислением показать, что функция у = log₂x возрастает неограниченно.

Показать, что: а) при 0 < x < 1 функция у < 0; б) при х = 1 функция у = 1; в) при х > 1 функция у > 0.

Определить по графику значения функцииу для следующих значений аргументах: 1/3; 1; 1,5; 3; 5.

Найти значения аргумента х, при которых функция принимает значения, равные -2,5; 0; 1,5; 2,5.

Убедиться, что графики функций у = 2^хи у = log₂x симметричны относительно прямой у = х.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/438767-laboratornye-raboty-po-algebre-i-nachalam-ana