Практика по теме «Анализ и синтез при решении геометрических задач»

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ПРИ РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Лиходеева Лидия Анатольевна

МБОУ «Гимназия №1»

учитель математики

высшая категория

Известно, что основные трудности в освоении математики в школе возникают в ходе изучения геометрии. У большинства учеников решение задач по геометрии часто сводится к простому перебору формул в надежде, что какая-нибудь из них подойдёт. Затруднения вызывают задания, в которых для решения требуется выполнить дополнительные построения, применить свои знания в нестандартной ситуации. Некоторые скажут, что для положительного результата необходимо свободно владеть всем теоретическим материалом. Но и при хорошем знании теории ученики не всегда могут определить способ решения. Именно с такой проблемой сталкивается большинство выпускников. Поэтому подготовка обучающихся к экзамену – это большой труд, и кропотливая работа должна начинаться уже на первых уроках геометрии.

Когда мы только приступаем к решению задач, перед ребятами сразу встают вопросы: как найти решение и выбрать способ его оформления. Сам выбор удобного метода является увлекательным занятием для ребят. И наиболее интересны и эффективны аналитический и синтетический способы поиска решения задачи.

Как известно, анализ и синтез составляют единый аналитико-синтетический метод, так как тесно взаимосвязаны и дополняют друг друга. Например, при помощи анализа сложная задача расчленяется на ряд простых, а затем посредством синтеза происходит соединение решений этих простых задач в единое целое. В первоначальном понимании анализ рассматривался как путь (метод мышления) от целого к частям этого целого, а синтез - как путь (метод мышления) от частей к целому. Примером применения анализа и синтеза в этом смысле может служить обычная бытовая ситуация: ребенок, разбирающий игрушку, проводит своеобразный анализ (ему интересно, как она устроена); ребенок, собирающий игрушку из ее частей, проводит своеобразный синтез. Анализ и синтез в этом понимании встречаются и в экспериментальных науках, например, в химии (реакции разложения, реакции соединения химических элементов).

В дальнейшем анализ стали понимать как прием мышления, при котором от следствия переходят к причине, породившей это следствие, а синтез – как прием мышления, при котором от причины переходят к следствию, порожденному этой причиной. Рене Декарт (1596-1650гг.) в книге «Логика» детально исследовал этот смысл анализа и синтеза; при изложении сущности этих методов Р. Декарт весьма наглядно проиллюстрировал оба метода на следующем примере. «Поставим вопрос, - писал Р. Декарт, родственник ли я королю Карлу Великому? К ответу на этот вопрос можно прийти двумя путями. Можно «идти по родословному дереву» в прошлое: от меня до Карла Великого; также можно «идти по родословному дереву» из прошлого: от Карла Великого до меня, - говорит Р. Декарт. – Если мы окажемся на одном родословном дереве, то мы – родственники». Первый способ решения этой задачи иллюстрирует, что такое анализ, а второй – синтез.

Примером применения анализа и синтеза как приемом мышления могут служить арифметический и алгебраический методы решения текстовой задачи. Первый из них иллюстрирует синтез, второй – анализ. Рассмотрим пример такой задачи: сумма длин двух отрезков равна 20 м, первый – 3 м. Сколько метров второй? Решения могут выглядеть следующим образом: 1) 20 – 3 = 17 – решение основано на синтезе; 2) х + 3 = 20, х = 20 - 3, х = 17 - решение, основанное на анализе.

Анализ (аналитический метод) также понимают как способ исследования, основу которого составляет количественное изучение свойств объекта, опирающееся на понятие числа и меры, а синтез (синтетический) – как метод исследования, основу которого составляет изучение качественных свойств объекта.

Анализ и синтез выступают еще как особые формы процесса мышления, то есть как важнейшие психологические характеристики мыслительной деятельности. С точки зрения психологии «процесс мышления – это прежде всего анализированиеисинтезирование того, что выделяется анализом; это затемабстракцияиобобщение, являющиеся производными от них».[4] (Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. М. 1958, с.28.) Психологи утверждают, что закономерности, присущие этим процессам, в их взаимоотношении друг с другом представляют собой особую логику мышления. Многочисленные психологические исследования показали, что анализ выступает в различных формах: анализ типа «фильтр» и анализ через синтез.

В случае анализа типа «фильтр» человек, решающий задачу, действует без всякой видимой системы; он просто наугад хаотически ищет способы решения данной задачи, пробует применить один способ за другим и отсеивает не оправдавшие себя пробы. Такие пробные действия обычно рассматриваются как проявление «слепого», бессмысленного поведения. Было сделано предположение о том, что такие пробные действия есть своеобразная форма анализа. Иными словами, любая проба, даже та, которая не приводит непосредственно к успеху, тем не менее подготавливает представление о верном пути решения. Это предположение нашло подтверждение в исследованиях других психологов. Особенно ярко полезность пробных действий проявилась при исследовании процесса решения задач-головоломок, которые требовали от человека способности проявлять догадку. Догадка сама по себе является своеобразным звеном единого процесса мышления. Исследования показали, что домысел опирается на анализ, с помощью которого и преодолеваются трудности, искусственно созданные условием задачи. Мы с ребятами решаем такие задачи на внеклассных мероприятиях и во время подготовки к олимпиадам различных уровней. Например, требуется из 6 спичек сложить 4 равносторонних треугольника. Головоломкой эта задача является потому, что условие ее наталкивает ученика на мысль о том, что искомая фигура должна быть построена на плоскости, в то время как правильное направление поиска решения этой задачи состоит в том, чтобы построить треугольники в пространстве (построить тетраэдр). Верная догадка возникает не только в случае решения задачи путем проб, но и в результате применения других методов.

Вторая форма анализа – через синтез. Эта особая форма является ведущим звеном всей и всякой мыслительной деятельности. С.Л. Рубинштейн писал: «Основная форма анализа заключается в следующем: объект в процессе мышления включается во все новые связи и в силу этого выступает во всех новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях; из объекта, как бы вычерпывается все новое содержание; он как бы поворачивается каждый раз другой своей стороной, в нем выявляются все новые свойства». Когда решаем задачи по геометрии, мы учимся оформлять поиск доказательства в виде таблицы. Рассмотрим следующие примеры.

Задача №1. Доказать, что периметр равностороннего треугольника, описанного около окружности, вдвое больше периметра равностороннего треугольника, вписанного в эту же окружность.

Решение (поиск доказательства):

В ходе решения задачи школьники анализируют свойства прямой (например, А С ) , данной в условии задачи (сторонаА В С ), и выделяют одно из них: АС || А С . Затем эту же сторону (уже отрезок) они рассматривают как среднюю линию и выделяют новое свойство. Далее А Свыступает уже не как прямая, параллельная АС, и не как средняя линия _{АОС , а в качестве стороны} А В С . Таким образом, каждый раз одна и та же сторона треугольника включается в новую систему связей, и в ней каждый раз выступает, вычленяется новое свойство данного отрезка прямой (то как средней линии, то как стороны треугольника). Все эти свойства А С , выделенные таким образом, соотносятся друг с другом и только это соотнесение дает решение задачи.

Анализ через синтез – это познание новых сторон, качеств и свойств изучаемых объектов путем включения этих объектов в систему связей и отношений, в которых эти новые свойства могут быть обнаружены. Иногда включение объекта в систему связей кажется весьма удивительным. В жизненных ситуациях это явление часто выражается в форме острот, парадоксов, шуток. Процесс анализа через синтез удалось обнаружить и в различных видах мыслительной деятельности: решении задач, чтении любого текста.

Поделюсь примером, который иллюстрирует разное понимание одного и того же текста. Обучающимся предлагаю заполнить пропуски в предложении «О-ел, ле-ал среди ---ных -уч». Варианты ответов: «Орел летал среди черных туч», «Осел лежал среди темных куч». Сравнив решение этой лингвистической задачи с решением описанной выше геометрической задачи, нетрудно усмотреть удивительную аналогию в способах их решения: и там и здесь применяется один и тот же способ мыслительной деятельности – анализ через синтез.

Анализ и синтез являются важнейшими методами изучения математики. Проиллюстрирую их применение при доказательстве теорем.

Задача №2. Доказать, что сумма внутренних углов треугольника равна 180⁰.

Доказательство:

Способ доказательства аналитическим путем.

Заполняем с ребятами таблицу сверху вниз (поиск доказательства)

Способ доказательства синтетическим путем.

Предлагаю ученикам провести рассуждение в обратном направлении (само доказательство). Двустороннее движение мысли, обучение анализу, немедленно перерастающему в синтез, – вот одно из направлений совершенствования дидактики. Анализ ведет к более глубокому и сознательному усвоению учебного материала и способствует активному и творческому развитию логического мышления учащихся, нежели синтез, но анализ полезен только тогда, когда он ведет к созидательной работе, т.е. анализ и синтез неотделимы друг от друга. Предлагаемая методика является хорошим инструментом для воспитания у обучающихся потребностей обосновывать каждый шаг.

Решения задач на вычисления (через синтез) я предлагаю оформлять, используя следующую форму. Продемонстрируем это на примере оформления следующей задачи:прямая, параллельная основаниям AD и BC трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Необходимо найти длину отрезка EF, если AD = 10 см,BC = 15 см.

Решение:

Использую различные приемы работы с такими таблицами:

1) таблица с пропусками; задание обучающимся: заполнить пропуски (приложение 1);

2) таблица с лишними данными; задание: в правом столбце убрать «лишние» утверждения или выбрать «нужные шаги» решения, при этом левый столбец, кроме первой строки, заполняется после выбора верного «шага» справа (приложение 2);

3

Когда навык оформления поиска решения отработан, то учащиеся эти действия (анализ) уже проделывают устно, для простых задач отпадает необходимость расписывать все подробно. Для более сложных задач на доказательство и на вычисления необходима, считаю, подробная запись. Но в итоге, когда ученик оказывается один на один с задачей при написании контрольной или выполнения экзаменационной работы, он не паникует, а спокойно анализирует условие, выполняет чертеж, соотносит данные и вопрос задачи, определяет ход ее решения.

Несмотря на то, что первоначальное знакомство с таким обучением и требует значительной затраты времени, в дальнейшем все окупается.

В итоге использования продуктивных подходов мои выпускники демонстрируют неплохие умения решения геометрических задач, что позволяет им достигать высоких результатов по математике в целом (1 ученик – 100 % ОГЭ, 1 – 82 балла на профильном уровне). А самое главное, учащиеся овладевают аналитическими навыками, которые им помогают в разных направлениях образовательной деятельности. Поэтому, чтобы уроки давали положительный эффект, учителю необходимо продумывать каждый шаг, предвосхищать возможные ответы, открытия и заблуждения учеников, то есть создавать такую образовательную среду, чтобы не ускользало от их внимания главное, и даже самые слабые ученики принимали участие в открытии нового.

Список литературы:

Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе. - М: Просвещение, 1975г.

Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. – М: Просвещение, 1985 г.

Мордкович А. В. Семинар для молодых учителей. "Математика" – приложение к газете "Первое сентября", №1-30. – 1993 г. 

Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. М., 1958.

Руденев Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М: Педагогика, 1992г.   

http://www.metodmat.narod.ru/

https://math-oge.sdamgia.ru/

https://scienceforum.ru/

https://urok.1sept.ru/

Приложение 1.

Задача.

Найдите величину угла АОЕ, если ОЕ- биссектриса угла АОС, ОD –биссектриса угла СОВ.

Решение (основано на синтезе):

Мой вариант таблицы с пропусками.

Приложение 2.

Задача.

В окружности с центромО проведены две равные хорды KLиMN. На эти хорды опущены перпендикуляры ОНи ОS. Докажите, чтоOHиOSравны.

Решение (поиск доказательства основан на анализе):

Мой вариант таблицы с лишними данными.

Приложение 3.

Задача.

Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

Решение:

М

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/440727-praktika-po-temeanaliz-i-sintez-pri-reshenii