Разработка урока по геометрии на тему: «Объем конуса»

11 класс Геометрия

Тема урока: «Объем конуса»

Цель:вывести формулу объема конуса, усеченного конуса.

Задачи:

Образовательная: добиться усвоения формулы для вычисления объема конуса, усеченного конуса при решении типовых задач.

Развивающая: развивать пространственное воображение, логику.

Воспитательная: воспитывать ответственное отношение к учебе.

Оборудование: модель конуса, таблица с изображением конуса, его элементов, сечений.

Ход урока.

Актуализация опорных знаний.

Сегодня на уроке особое внимание уделим такой пространственной фигуре, как конус, вспомнив:

единицы измерения объемов (куб, ребро которого равно единицы длины, баррель – англо-американская единица – 159 л, амфора ≈ 25,5 л, ведро – 12 л – Россия…)

свойства объемов (стр.157-158, учебник)

определение конуса, его элементов, формулы боковой и полной поверхности конуса, усеченного конуса (стр. 136-137)

Мотивация учебной деятельности

Учащимся предлагается раздаточный материал с изображением

конуса, усеченного конуса, условием типовых задач. Учитель предлагает решить задачи на ранее изученный материал. Учащийся должны прийти к выводу о том, что на уроке должны изучить формулу вычисления объема конуса.

Слово учителя.

- Сегодня на уроке мы должны научиться находить объем конуса, объем усеченного конуса.

III. Сообщение темы и цели урока:

IV.Изучение нового материала.

Двое учащихся по заранее заготовленному чертежу доказывают формулу вычисления объема конуса.

Доказательство:

Построим два многоугольника в плоскости основания конуса многоугольник Р, содержащийся в основании конуса и многоугольник Р', содержащийся в основании конуса. Построим две пирамиды с основаниями Р и Р' и вершиной в вершине конуса. Первая пирамида содержит конус, а вторая содержится в конусе. При неограниченном увеличении числа

сторонn площади этих многоугольников приближаются к площади круга в основании конуса. Для таких многоугольников объемы построенных пирамид неограниченно приближаются к S^.H, где S – площадь основания конуса, а Н – его высота. Следовательно V конуса =S^.H = R. Итак объем конуса равен произведения площади основания на высоту.

После записи в тетрадь формулы V конуса =R²H находят учащиеся объемы конусов в задачах №1, №2, №3, №4. После проверки правильности решения этих задач переходим к доказательству следствия (стр.170).

Задача.

Найти объем усеченного конуса, где

R и r (R > r) – радиусы его оснований,

h – высота.

Решение:

Пусть х – высота полного конуса.

V усеч.кон. = V конуса – V отсечен.кон.

_∆SO₁A₁~_∆SOA по двум углам ( _О₁SA – общий, _ SО₁A₁= _ SOA = 90°).

SО₁ = x-h; тогда:

=;

rx = R (x-h);

rx - Rx = - Rh;

Rx - rx = Rh;

x (R – r) = Rh;

x =

Следовательно (2 часть доказательства):

V усеч. кон. = R²х - R²(x-h) = x (R² – r²) + r²h = (R² - r²) . + r²h = + r²h = R+r)Rh + r²h = h (R²+rR + r²) = h (R²+ + r²) = h (S + S₁ + ), где S и S₁ - площади оснований усеченного конуса.

В тетрадь записать: V усеч. кон. = h (R²+r² + Rr) и

V усеч. кон. = h(S + S₁ + )

(2 часть доказательства, а именно алгебраические преобразования предложить на дом).

Перейти к решению задачи №5.

Предложить одному учащемуся тестовую задачу, другому выполнить необходимые измерения.

Для работы с классом:

№1 Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см и образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10 литровые воронки.

Решение:

2.1. Из _∆SOA (_ SOA = 90°) найдем радиус ОА.

ОА = = = = 12 см

2.V кон = h ·12 · 5² = 4 · 25 = 100 см

3. 314 см³ = 0,314 дм³

4. 10 л = 10 дм³

5. 10 : 0,314 ≈ 32 (воронки)

№2 (Если позволит время)

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра 22 . Найти боковую поверхность конуса и его объем.

Решение:

Так как по условию R = h,

тоSбок. цил. = 2 rh = R² = 22 ;

R²= 11 ;

R²= ;

R =

2. Образующая конуса l будет равна: l = R =

3.Sбок. кон. =Rl = = = 22.

4.V кон = R²h, так как по условию h = R,

V кон = =

5. Итог урока: 1. Ответы учащихся, решающих индивидуальные задачи, указание основной формулы на основании которой решались задачи.

Рефлексия:

- Чему научились на уроке?

- Какие затруднения у вас возникли на уроке?

- Как вы считаете, изученный материал по этой теме пригодится вам на экзамене?

6. Домашнее задание: п.81 (рассмотреть доказательство теоремы о вычислении объема конуса через интеграл, выполнить алгебраические преобразования, которые приводят к формуле

Vусеч.кон. = h(S + S₁ + )

№ 701, №705, №711.

Приложение.

Ответы:

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/442820-razrabotka-uroka-po-geometrii-na-temu-obem-ko