Самостоятельная работа: «Параллельность прямых и плоскостей»

1.1

№1.  В треугольнике АВС на стороне АВ выбрана точка D, такая, что BD : BA = 1 : 3. Плоскость, параллельная прямой АС и проходящая через точку D, пересекает отрезок ВС в точке D1.

а) Докажите, что треугольник DBD₁ подобен треугольнику АВС

б) Найдите АС, если DD1 = 4 см.

1.2

№1.  В треугольнике АВС на стороне АВ выбрана точка М, такая, что BМ : МA = 1 : 3. Плоскость, параллельная прямой АС и проходящая через точку М, пересекает отрезок ВС в точке Р.

а) Докажите, что треугольник РBМ подобен треугольнику АВС

б) Найдите АС, если РМ = 2 см.

1.3

№1.  В треугольнике АВС на стороне АВ выбрана точка М, такая, что BР : РA = 1 : 4. Плоскость, параллельная прямой АС и проходящая через точку Р, пересекает отрезок ВС в точке Е.

а) Докажите, что треугольник ЕBР подобен треугольнику АВС

б) Найдите ЕР, если АС = 10 см.

1.4

№1.  В треугольнике АВС на стороне АВ выбрана точка D, такая, что BD : BA = 2 : 5. Плоскость, параллельная прямой АС и проходящая через точку D, пересекает отрезок ВС в точке D1.

а) Докажите, что треугольник DBD₁ подобен треугольнику АВС

б) Найдите АС, если DD1 = 6 см.

1.5

№1.  Точка D лежит на отрезке АВ, причем BD : BA = 1 : 4. Через точку А проведена плоскость α, через точку D – отрезок DD₁, параллельный α. Прямая BD₁, пересекает плоскость α в точке С.

а) Докажите, что треугольник DBD₁ подобен треугольнику АВС

б) Найдите DD₁, если АС =12 см.

1.6

№1.  Точка М лежит на отрезке АВ, причем BМ : BA = 1 : 5. Через точку А проведена плоскость α, через точку М – отрезок ММ₁, параллельный α. Прямая BМ₁, пересекает плоскость α в точке С.

а) Докажите, что треугольник МBМ₁ подобен треугольнику АВС

б) Найдите ММ₁, если АС =10 см.

1.7

№1.  Точка М лежит на отрезке АВ, причем BМ : МA = 1 : 3. Через точку А проведена плоскость α, через точку М – отрезок ММ₁, параллельный α. Прямая BМ₁, пересекает плоскость α в точке С.

а) Докажите, что треугольник МBМ₁ подобен треугольнику АВС

б) Найдите АС, если ММ₁ = 3 см.

1.8

№1.  Точка D лежит на отрезке АВ, причем BD : BA = 1 : 5. Через точку А проведена плоскость α, через точку D – отрезок DD₁, параллельный α. Прямая BD₁, пересекает плоскость α в точке С.

а) Докажите, что треугольник DBD₁ подобен треугольнику АВС

б) Найдите АС, если  DD₁ =2 см.

1.9

№1.  На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка А₁, так, что DA₁ = 4 см. Плоскость, параллельная диагонали АС, проходит через точку А₁ и пересекает сторону CD в точке С₁.

а) Докажите, что треугольник C₁DA₁ подобен треугольнику АВС

б) Найдите АС, если BC = 10 см, A₁C₁ = 6 см

1.10

№1.  На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка М, так, что DМ = 2 см. Плоскость, параллельная диагонали АС, проходит через точку М и пересекает сторону CD в точке Р.

а) Докажите, что треугольник МDР подобен треугольнику АВС

б) Найдите АС, если BC = 10 см, МР = 3 см

1.11

№1.  На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка М, так, что DМ = 2 см. Плоскость, параллельная диагонали АС, проходит через точку М и пересекает сторону CD в точке Р.

а) Докажите, что треугольник МDР подобен треугольнику АВС

б) Найдите МР, если BC = 10 см, АС = 15 см

1.12

№1.  На стороне ВС параллелограмма ABCD выбрана точка С₁, так, что ВС₁ = 3 см. Плоскость, параллельная диагонали АС, проходит через точку С₁ и пересекает сторону АВ в точке А₁.

а) Докажите, что треугольник C₁ВA₁ подобен треугольнику АDС

б) Найдите АD, если AC = 12 см, A₁C₁ = 4 см

1.13

№1.  На стороне ВС параллелограмма ABCD выбрана точка С₁, так, что ВС₁ = 5 см. Плоскость, параллельная диагонали АС, проходит через точку С₁ и пересекает сторону АВ в точке А₁.

а) Докажите, что треугольник C₁ВA₁ подобен треугольнику АDС

б) Найдите АD, если AC = 15 см, A₁C₁ = 3 см

2.1

№2.  Докажите, что плоскость проведенная через середины ребер АВ, ВС и ВВ₁ куба АВСDА₁В₁С₁D₁ параллельна плоскости АСВ_1.

2.2

№2.  Докажите, что плоскость проведенная через середины ребер ВС, CD и CC₁ куба АВСDА₁В₁С₁D₁ параллельна плоскости BDC_1.

2.3

№2.  Докажите, что плоскость проведенная через середины ребер DС,AD и DD₁ куба АВСDА₁В₁С₁D₁ параллельна плоскости ACD_1.

2.4

№2.  Докажите, что плоскость проведенная через середины ребер AD,BA и AA₁ куба АВСDА₁В₁С₁D₁ параллельна плоскости BDA_1.

2.5

№2.  Докажите, что плоскость проведенная через середины ребер А₁В₁, В₁С₁ и ВВ₁ куба АВСDА₁В₁С₁D₁ параллельна плоскости А₁С₁В_.

2.6

№2.  Докажите, что плоскость проведенная через середины ребер В₁С₁,C₁D₁ и CC₁ куба АВСDА₁В₁С₁D₁ параллельна плоскости B₁D₁C_.

2.7

№2.  Докажите, что плоскость проведенная через середины ребер D₁С₁,A₁D₁ и DD₁ куба АВСDА₁В₁С₁D₁ параллельна плоскости A₁C₁D_.

2.8

№2.  Докажите, что плоскость проведенная через середины ребер A₁D₁,B₁A₁ и AA₁ куба АВСDА₁В₁С₁D₁ параллельна плоскости B₁D₁A_.