Разработка учебных материалов по разделу «Комбинаторика» 10-11 класс

Разработка раздела

«Комбинаторика (10 - 11 класс)»

Содержание:

Общая характеристика темы:

Историческая справка

Термин «комбинаторика» происходит от латинского combina – сочетать, соединять.

Скомбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.

К омбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности.

В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей и т.д.

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

К

Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1.07.1646 - 14.11.1716)

- строит таблицы сочетаний до n = k = 12, после чего рассуждает о приложениях комбинаторики к логике, арифметике, к проблемам стихосложения и др.

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.

Леонард Эйлер (4.04.1707 – 7.09.1783)

В1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли «Искусство предположений», в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. «Искусство предположений» появилось после смерти автора и не было автором завершено. Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержатся формулы:

• для числа перестановок из n элементов,

• для числа сочетаний (называемого Я. Бернулли классовым числом) без повторений и с повторениями,

• д

  Якоб Бернулли (27.12.1654 – 16.08.1705)

  ля числа размещений с повторениями и без повторений.

Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. Сочинение Я. Бернулли превзошло работы его предшественников и современников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания.

Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования. В XX веке комбинаторика подверглась мощному процессу алгебраизации благодаря работам
Дж.-К. Рота (1964), а затем Р. Стенли. Изучение ими частично упорядоченных множеств, свойств функции Мёбиуса, абстрактных свойств линейной зависимости, выявление их роли при решении комбинаторных задач способствовали обогащению комбинаторных методов исследования и дальнейшей интеграции комбинаторики в современную математику.

Особенности и роль темы в математике и в школьном курсе математики

Комбинаторика занимается различного рода соединениями, которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества. Главная задача комбинаторики состоит в том, чтобы учащиеся получили представление об изменчивости, о различных вариантах и их числе, которые могут возникнуть во многих жизненных ситуациях.

До сих пор в учебниках наблюдается тенденция сведения элементарной теории вероятностей к комбинаторике. Это явление восходит к XVII-XIX вв., когда теория вероятностей, прежде всего использовалась в задачах, связанных с азартными играми. Роль комбинаторики сейчас невелика, но это ни в коей мере не умаляет значения комбинаторных методов в современной математике и в важных технических приложениях.

Вероятностно-статистическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт учащихся, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности.

Знакомство школьников с этой своеобразной областью математики помогает учащимся увидеть непосредственную связь математики с окружающей действительностью, реальной жизнью.

5

Инвариантное содержание темы (из программы по математике)

Комбинаторика содержит основные формулы комбинаторики, применение знаний при выводе формул алгебры, вероятность и статистическая частота наступления события. Тема не насыщена теоретическими сведениями и доказательствами, она имеет, прежде всего, общекультурное и общеобразовательное значение.

Правило произведения. Размещения с повторениями.

Перестановки.

Размещения без повторений.

Сочетания без повторений и бином Ньютона.

Основная цель – ознакомление с основными формулами комбинаторики и их применением при решении задач, развивать комбинаторное мышление учащихся, ознакомить с теорией соединений, обосновать формулу бинома Ньютона. Основной при выводе формул числа перестановок и размещений является правило умножения, понимание которого формируется при решении различных прикладных задач. Свойства числа сочетаний доказываются и затем применяются при организации и исследовании треугольника Паскаля.

Учебная цель – овладение одним из основных средств подсчета числа различных соединений, знакомство учащихся с размещениями с повторениями; знакомство с первым видом соединений – перестановками; демонстрация применения правила произведения при выводе формулы числа перестановок изn элементов; введение понятия размещения без повторений из m элементов по  n; создание математической модели для решения комбинаторных задач, сводимых к подсчету числа размещений; знакомство с сочетаниями и их свойствами; решение комбинаторных задач, сводящихся к подсчету числа сочетаний из m элементов по n; обоснованное конструирование треугольника Паскаля; обучение возведению двучлена в натуральную степень с использованием формулы Ньютона; составление порядочных множеств (образование перестановок); составление порядочных подмножеств данного множества (образование размещений); доказательство справедливости формул для подсчета числа перестановок с повторениями и числа сочетаний с повторениями, усвоение применения метода математической индукции.

Требования к математической подготовке учащихся:

Умеет:

1. Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

2. Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчёта числа исходов;

3. Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;

• анализа информации статистического характера.

Знает:

• 1. понятие комбинаторной задачи и основных методов её решения (перестановки, размещения, сочетания без повторения и с повторением);

  2. понятие комбинаторной задачи;

  3. приёмы решения комбинаторных, логических задач;

Основные цели:

• формирование представлений о научных, логических, комбинаторных методах решения математических задач;

• формирование умения анализировать, находить различные способы решения одной и той же задачи, делать выводы;

развитие комбинаторно-логического мышления.

Обзор литературы по теме «Комбинаторика»

Обзор математической литературы

1. Бродский Я.С. Cтатистика, вероятность, комбинаторика 10-11 класс. – М.: Оникс, 2008.

Учебное пособие «Статистика. Вероятность. Комбинаторика» написано Бродским Я.С.. Учебное пособие выпущено издательством «Оникс. Мир образования» в 2008 году. Данное пособие разработано специально для учащихся старших классов, с углубленным уровнем изучения предмета, также студентов младших курсов различных высших учебных заведений, учащихся средних специальных учебных заведений математического профиля, а также абитуриентов. 

Материал пособия разделен на пять глав: описательная статистика, случайные события, элементы комбинаторики, случайные величины, элементы математической статистики. В конце пособия приведены приложения: основные понятия, факты, формулы, вероятность для стандартного нормального распределения, случайные числа, распределение Стьюдента. Также в конце пособия вниманию школьника представлен предметный указатель, именной указатель и список используемой литературы. Учебник может использоваться преподавателями математике в классах с повышенным уровнем изучения предмета, а также общеобразовательных классах в качестве дополнительной литературы для изучения на дополнительных, внеклассных занятиях, спецкурсах, факультативах. 

В пособии в отличии от других учебников допускается различный уровень обоснования задач и упражнений: на уровне здравого смысла, «прикладной» уровень и формально-логичный уровень. В пособии авторы попытались избежать «рецептурного» стиля, основная идея автора, это донести до читателя основные идеи статистики, а не рецепты их применения. В пособии идеи статистики реализуются при использовании сравнительно небольшого математического аппарата. При составлении данного пособия, авторы соблюдали следующие принципы: внедрение идей математического моделирования и привитие школьникам навыков применения вероятности и статистики в реальной практики, формирования навыков обработки и анализа статистического материала, использование различных подходов при решении различных задач. 

К каждому параграфу приведены тематические задачи и контрольные вопросы, которые необходимы для лучшего усвоения материала темы, а также выявления белых пятен в обучении школьников. В пособии содержится дополнительный учебный материал, который направлен на расширения кругозора школьников, это исторические сведения, различные доказательства утверждений, материал, направленный на расширение знаний школьников по теме. В конце пособия приведены ответы и указания практически ко всем задачам пособия. Ответы, делают возможным использовать пособие самостоятельно для осуществления самоподготовки и, соответственно, самоконтроля за изучаемым материалом.

2. Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. – М.: Просвещение, 1976.

Предлагаемая вниманию читателя книга адресована учителям математики старших классов и посвящена двум разделам школьного курса математики, а именно методу математической индукции и комбинаторике. Материал книги излагается на более высоком научном уровне и в большом объеме, чем это предусмотрено школьной программой, что будет способствовать вооружению учителя достаточно глубоким знанием преподаваемых вопросов. Рассмотрена связь метода математической индукции с аксиоматикой множества натуральных чисел, роль индукции в математике и т.д. Изложение комбинаторики ведется на теоретико-множественной основе, что отвечает современному подходу к этой области математики.

1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика 11 класс. – М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1969.

Учебное пособие «Комбинаторика» написано Н.Я. Виленкиным. Учебное пособие выпущено издательством «Наука» в 1969 году. Учебное пособие разработано для школьников, преподавателей, студентов, а также всех тех, кто хочет разобраться в этой сложной и загадочной науке комбинаторике.

Материал учебного пособия разделен на семь глав: общие правила комбинаторики, размещения, перестановки и сочетания, комбинаторные задачи с ограничениями, комбинаторика разбиений, комбинаторика на шахматной доске, рекуррентные соотношения, комбинаторика и ряды. 

В начале пособия приведено предисловие, в котором автор дает подробные рекомендации по работе с ним, а также объясняет школьнику основные задачи пособия и цели его использования. В конце приведен список задач по комбинаторике для самостоятельного решения, а также ответы и комментарии к ним. Подробный разбор теоретического материала, а также решение и комментарии к задачам позволят всем желающим использовать пособие для самостоятельного изучение предмета. Теоретический материал в пособии излагается в простой и доступной форме, в виде монолога-рассуждения. Такой материал прост для прочтения и понимания. Задачи из данного пособия очень редко встречаются в школьном курсе математике. Но зато им отдают предпочтение на вступительных экзаменах, а также на различных олимпиадах, викторинах и конкурсах, поэтому умение решать данные задачи поможет школьнику прекрасно подготовится к нетривиальным формам проверки знаний.

Материал из пособия может с успехом использовать преподаватель на внеклассных занятиях, факультативах, спецкурсах, а способ изложения темы в пособии может оказаться полезным ему при объяснении темы. В пособии приведено большое количество схем, иллюстраций, графиков, которые помогают наглядно усвоить учебный материал. В пособии приведены также сведения из истории комбинаторики, которые необходимы для более полного понимания темы, её плавного усвоения и закрепления.

1. В иленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. – М.: Наука, 1975.

Пособие «Популярная комбинаторика» написана Н.Я. Виленкиным. Пособие входит в научно-популярную серию книг Академии наук СССР. Оно выпущено издательством «Наука» в 1975 году. Пособие адресовано школьникам, преподавателям математики, студентам педагогических и математических ВУЗов, оно применяется для более полного освоения тем курса и получения крепких базовых знаний по предмету.

Пособие состоит из шести глав: из истории комбинаторики и её приложений, возможное и невозможное в комбинаторике, комбинаторика кортежей и множества, комбинаторика раскладок и разбиений, комбинаторные задачи с ограничениями, комбинаторика орбит. Каждая глава книги разделена на отдельные подтемы, которые в простой и краткой форме излагают теоретический материал, в конце главы по материалам темы приведены задачи на повторение и закрепление материала.

В пособие приведено большое количество дополнительной информации из истории комбинаторики, которая поможет школьникам лучше разобраться в теме, понять её истоки и законы функционирования. Знания по комбинаторики, полученные из пособия, могут пригодиться представителям различных специальностей, таким как физикам, химикам, биологам, специалистам по кодам, лингвистам и другим. Эти знания могут пригодиться не только школьникам и студентам, но и взрослым людям, которые хотят лучше разобраться в предмете, понять законы его функционирования и истоки. Методы комбинаторики лежат в основе решения многих задач по теории вероятности и её практическому применению. 

В пособии приведено большое количество задач по предмету, к ним приведено подробное решение и комментарии, это позволит использовать пособие для более глубокого изучения, как школьникам с высоким уровнем знаний по предмету, так и с достаточно низким. Школьники, прорабатывая теоретический материал и закрепляя его практическими задачами, способны значительно улучшить свой уровень знаний по предмету. Задачи из пособия могут использоваться преподавателями математики для разработки материалов для самостоятельных, контрольных и проверочных работ. Преподаватель может позаимствовать из пособия объяснения отдельных тем курса, это пригодится ему для расширения своего педагогического арсенала и будет способствовать повышению успеваемости в классе по математике. Простой и доступный язык позволит использовать пособие даже тем читателям, которые уже давно изучали математику и плохо помнят теоретический материал.

1. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. – М., 2006.

В книге в популярной форме рассказывается о комбинаторике, методах решения комбинаторных задач, о рекуррентных соотношениях и производящих функциях. Материал частично захватывает области, выходящие за рамки элементарной математики, однако изложение доступно хорошему ученику средней школы. Книга содержит более 400 упражнений.

Книга будет полезна школьникам старших классов, интересующимся математикой, учителям, студентам первых курсов математических факультетов университетов и пединститутов, а также всем, сталкивающимся в своей практической работе с комбинаторными задачами.

Из предисловия:

Основой книги являются две книги Н. Я. Виленкина: «Комбинаторика» (М., 1969) и «Популярная комбинаторика» (М., 1975). В конце 80-х годов Наум Яковлевич начал работать над новой книгой, в которую должен был войти материал обеих книг и решения задач … Завершать эту работу пришлось потомкам.

В этой книге сохранен (а где-то восстановлен) неформальный стиль изложения первой книги. Большинство понятий введено в связи с конкретными задачами. Однако эти задачи подобраны так, чтобы они оставляли ясной математическую суть дела. Для некоторых вопросов найдены новые, более простые решения. Задачи для самостоятельного решения собраны изобеих книг, распределены по главам и почти все снабжены ответами или указаниями

6 . Лысенко Ф.Ф. Математика. ЕГЭ-2012. Тематические тесты. Элементы теории вероятностей и статистики. – М.: Легион, 2011

Пособие содержит необходимый материал для самостоятельной подготовки к единому государственному экзамену по математике по разделам «Теория вероятностей», «Комбинаторика», «Статистика»: демонстрационный вариант с решениями заданий; 8 новых тематических авторских учебно-тренировочных тестов по упомянутым выше разделам, составленных с учётом спецификации ЕГЭ-2012; задачник, предназначенный для более детальной отработки разных видов тестовых заданий.

Книга предназначена выпускникам общеобразовательных учреждений, учителям и методистам.

7 .  Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. — М., 2008.

Книга адресована учащимся старших классов, желающим расширить и углубить знания по математике. Изложение новых математических понятий опирается на школьный курс и сопровождается интересными историческими фактами и иллюстрациями. Книге погружает читателя в мир современной математики, рассказывает о роли ученых математиков в развитии мировой науки. Теоретические сведения дополнены разнообразными задачами, к которым даны ответы. Разделы «Математический анализ», «Теория вероятностей» состоят из глав, которые разбиты на пункты. В конце каждого раздела даны упражнения, многие из которых сформированы классиками математической науки.

Обзор методической литературы:

1. В асилевский А.Б. Устные  упражнения  по алгебре и началам анализа. - М., 1989.

Пособие содержит устные упражнения различной степени трудности, преимущественно нестандартные как по содержанию, так и по методам решения. Их можно использовать при изучении нового материала, при повторении основных тем, а также во внеклассной работе с учащимися VI—XI классов. Особый интерес представляют те устные упражнения, которые позволяют достаточно просто организовать программированный курс за их решением.

Школьные учебники содержат недостаточное количество конструктивных задач по алгебре и началам анализа. Обучающее же значение им очень велико, поэтому им отведен специальный параграф

В сборнике значительное место занимают нестандартные устные упражнения (задания по комбинаторике). Ценность таких упражнений в том, что в них необычно сочетаются вопросы из различных тем курса и математического анализа. Устное решение их способствует пониманию и глубокому усвоению данного материала.

2 . Ковалева Г. И., Бузулина Т. И., Безрукова О. Л., Розка Ю. А. Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов. – М.: Учитель, 2011.

Настоящее пособие предназначено для учащихся 11 классов средних учебных заведений, абитуриентов, преподавателей и методистов, использующих тренировочные задания для подготовки к выпускным и вступительным экзаменам по математике, в том числе к единому государственному экзамену.

Пособие содержит тематические подборки тренировочных заданий. Задания подобраны согласно перечню вопросов содержания школьного курса математики, усвоение которых проверяется при сдаче единого государственного экзамена и вступительных экзаменов в вузы.

Цель данного сборника заключается в том, чтобы дать возможность учащимся выпускных классов потренироваться в выполнении таких видов заданий, которые включаются в ЕГЭ по математике, проверить себя по темам школьного курса и тем самым подготовиться к предстоящим экзаменам по предмету и к вступительным экзаменам в вузы.

Данное пособие не просто сборник задач. Это обучающий сборник, так как задачи сгруппированы в системы, и для каждой из них указан алгоритм решения или дан образец рассуждения. Основная цель курса математики – научить учащихся методам решения задач. В пособии даны системы задач по методам решения, что помогает достичь поставленной цели. Поэтому данное пособие может служить справочником по методам решений задач школьной алгебры и начал анализа.

И последнее: данное пособие состоит из двух частей – сборника задач и сборника ответов. Такая организация материала позволит учителю использовать данное пособие как раздаточный дидактический материал с целью проверки знаний учащихся и формированию у них навыков решения задач.

1. М атематика: 10-11 классы: Элективный курс «В мире закономерных случайностей». – М.: ООО «Учитель», 2007.

Пособие содержит программу разработки занятий элективного курса «В мире закономерных случайностей» для учащихся 10-11 классов. Содержание курса направлено на удовлетворение познавательных интересов старшеклассников в различных областях деятельности человека.

До настоящего времени в школьном курсе математики и других естественных наук господствовала только одна идея – о существовании однозначных связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме законов физики, химии, математики. Но окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъемы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и т. д.

Поэтому возникает необходимость формирования у школьников современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления и о жестких связях, и о случайном. Без знания понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффективного конкурентоспособного производства, внедрения новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение обоснованной социальной политики. При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления. Предлагаемый курс «В мире закономерных случайностей» дает возможность учащимся, занимающимся в классах различного профиля, получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер. Познавательный материал курса будет способствовать формированию функциональной грамотности – умению воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты.

Особенностью курса является возможность использовать компьютер в качестве универсального средства, позволяющего в считанные секунды провести миллионы случайных экспериментов и получить достаточно точные статистические оценки вероятности. К курсу прилагаются программы, используя которые, учащиеся могут контролировать решение задачи из курса комбинаторики и статистики, проводить виртуальные эксперименты. Курс рассчитан на 34 учебных часа. Итогом курса является выполнение учениками проектных работ и их защита.

1. Р урукин А.Н., Масленникова И.А., Мишина Т.Г. Поурочные разработки по алгебре и началам анализа 11 класс. – М.: ВАКО, 2011.

Цели данного пособия: изучить материал по алгебре и началам математического анализа, подготовиться по этим разделам к успешной сдаче ЕГЭ и быть готовым использовать полученные знания при обучении в вузе.

В пособии подробно рассмотрено содержание каждого урока. Несколько расширен изучаемый материал. Изложение материала вполне доступно для одиннадцатиклассников, развивает у них интерес к изучению предмета и дает более цельное представление об изучаемых темах. Кроме того, приведенные дополнения подготавливают к успешной сдаче ЕГЭ и дальнейшему эффективному обучению в вузе.

Предусмотрены следующие виды фронтального контроля успеваемости: самостоятельные работы, письменные опросы, тесты, контрольные работы, зачетные работы. Все контрольные работы приведены вместе с ответами. Для более сложных заданий дано их полное решение.

В целом пособие составлено таким образом, чтобы оптимизировать подготовку учителя к уроку и сэкономить его время. Приведены поурочные планы, методические советы и рекомендации, творческие задания.

1. Ш абунин М.И., Ткачева М.В. Алгебра и начала математического анализа (дидактические материалы). – М.: Просвещение, 2009.

Книга имеет материалы к любой теме курса алгебры и начал математического анализа для 11 класса профильного значения и дополняет систему процедур учебника.

Каждая глава пособия содержит:

1) дидактические материалы к каждому параграфу учебника Ю.М. Колягина и др.;

2) контрольную работу по тематике главы в двух вариантах.

Каждый параграф пособия включает:

1) примеры типовых задач с подробными решениями;

2) разноуровневые задания для самостоятельной работы (в двух вариантах), снабженная ответами в конце книги.

Не смотря на то, что содержание и структура данной книги соответствует учебнику “Алгебра и начала анализа” автор Ю.М. Колягина и др., ее можно с успехом использовать при работе с другими учебниками.

Сравнительный анализ содержания темы в различных школьных учебниках:

Анализируемыеучебники:

1. Колягин М. Ю. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровень) . 11 класс. – М.: Просвещение, 2010.

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 – 11 класс. – М.: Мнемозина, 2009.

3 Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. (под редакцией Теляковского С.А.) Алгебра. 7класс; 8 класс; 9 класс (базовый уровень).

Логико-дидактический анализ темы

Анализ теоретического материала

Анализ проводится по учебнику: Алгебра и начала анализа. 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2007.

§ 27. Комбинаторные задачи. Правило умножения.

1. Правило умножения: Пусть некоторое множество состоит из m различных элементов одного вида и n разных элементов другого вида. Тогда число различных пар, состоящих из одного элемента первого вида и одного элемента второго вида, равно mn.

Вводится с помощью двух ключевых задач, решение которых разобрано в параграфе, т.е. строгого доказательства нет

2) Понятие комбинаторной задачи: Задачи, в которых рассматриваются некоторые соединения, и находится число различных соединений, называются комбинаторными.

Понятие комбинаторной задачи основано на понятии соединения. Чтобы проиллюстрировать понятие соединения, учащимся приводится пример из жизни: «Часто приходится соединять предметы (элементы) в разные наборы (комбинации). Таковы, например, парфюмерные наборы, конфеты ассорти, набор инструментов, делегации, спортивные команды».

1. Понятие комбинаторики: Раздел математики, в котором изучаются комбинаторные задачи и методы их решения, называют комбинаторикой.

§ 28. Перестановки.

1. Определение перестановки: Перестановками из n элементов называют соединения, которые состоят из n элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Вид определения – через род и видовые отличия (род – сочетания, видовые отличия – состоят из n элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения), определение имеет конъюнктивную структуру.

Число перестановок из n элементов обозначается . Формула числа перестановок из n элементов: n! Данная формула получается путем последовательного применения правила умножения: .

После чего учащимся говорится, что произведениеобозначают n! (читается «эн факториал»), тем самым вводится понятие факториала. Поэтому формулу можно записать .

§ 29. Размещения.

1. Определение размещения: Размещениями из m элементов по n элементов ( ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементом, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Вид определения – через род и видовые отличия (род – соединения, видовые отличия – каждое из которых содержитn элементов, взятых из данных m разных элементом, отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения), определение имеет конъюнктивно-дизъюнктивную структуру.

Число всех возможных размещений из m элементов по n элементов обозначают . Формула числа всех возможных размещений из m элементов по n элементов: (1).

Данная формула получается путем применения несколько раз правила умножения. В учебнике приводится рассуждение получения этой формулы.

Учащимся говорится, что если m=n, то число размещений из n элементов по n элементов равно числу перестановок из этих элементов, то есть .

Далее в параграфе приводится преобразование формулы (1):

формулу записывают так . Затем обе части умножают обе части данного равенства на , получают , откуда . А затем выражают число размещений:

.

В учебнике делается замечание: формула справедлива при , а для того, чтобы формула была справедлива и для , определяют

§ 30. Сочетания и их свойства.

1. Определение сочетаний: Сочетаниями из m элементов по n элементов ( ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются друг от друга, по крайней мере, одним элементом.

Вид определения – через род и видовые отличия (род – соединения, видовые отличия – каждое из которых содержитn элементов, взятых из данных m разных элементом, отличаются друг от друга, по крайней мере, одним элементом), определение имеет конъюнктивную структуру.

Число всех возможных сочетаний из m элементов по n элементов обозначают _{число сочетаний можно посчитать по формуле: .}

_{Формула выводится на основе рассуждений, применения правило умножения. Затем формулу преобразуют, подставляя уже известные формулы для подсчета числа перестановок и размещений:}

₍₃₎

2) свойства сочетаний:

а) _{, где}

• выводится на основе формулы (3):

b)рекуррентное свойство числа сочетаний:

• выводится с помощью формулы (3):

§ 31. Биномиальная формула Ньютона.

1) понятие бинома: Бином - это формула представления n-степени двучлена _{в виде многочлена}.

2) Понятие треугольника Паскаля: Коэффициенты разложения степени бинома можно найти по схеме, которая называется треугольником Паскаля:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

…

В каждой строке этой схемы коэффициенты разложения степени бинома, кроме первого и последнего, получаются попарным сложением коэффициентов предыдущей строки.

1. Формула Ньютона:

• Формула непосредственно выводится из зависимости того, как получаются коэффициенты разложения степени бинома. Учащимся говорят, что в основе построения треугольника Паскаля лежит свойство сочетаний _.

Поэтому коэффициенты разложения степени бинома можно записать с помощью числа сочетаний:

И уже после того, как видна зависимость степеней, вводится формула Ньютона.

В конце главы приведена краткая историческая справка.

Выводы из анализа теоретического материала

Основные дидактические единицы темы: правило умножения, определения понятий перестановка, размещение и сочетание, формулы подсчёта их числа, формула Ньютона.

Следует отметить, что в данном учебнике, авторы вводят только правило умножения, правило сложения в главе отсутствует. Правило сложения: Если элемент A можно выбрать n способами, а элемент B можно выбрать m способами, то выбрать A или B можно n + m способами.

Так же нет четкого определения понятию «множества», как это, например, делается в учебниках других авторов, например, у таких авторов Мордкович А. Г., Макарычев Ю.Н.

Все главные понятия рассмотрены в качестве соединений. Выделяют несколько способов соединений: перестановка, размещение и сочетание. Всем этим понятиям дается точное определение через род и видовые отличия. Тема «Кобинаторика» для учащихся является совершенно новой, поэтому для мотивации нужно привести историческую справку (хотя она и приводится, но следовало бы, наверное, с нее начать) или пример из жизни, чтобы заинтересовать учащихся. Кроме словесной формулировки необходимо рассматривать и формульную запись определений, , , _{и т.д.}

В рассматриваемом учебнике формульные записи определений имеются.

Кроме определений в главе вводятся свойства сочетаний, доказательство некоторых из них автор приводит.Строгое доказательство формулы Ньютона отсутствует в учебнике, поскольку оно является трудным для восприятия учениками. У Ю.М. Колягина она вводится интуитивно, сначала ученики «знакомятся» с понятием треугольник Паскаля, узнают, что в основе его построения лежит рекуррентное свойство сочетаний, , которое учащимся уже знакомо. Затем автор приводит разложение степеней бинома с помощью сочетаний, лишь потом говорится, что «вообще справедлива следующая биномиальная формула Ньютона…».

Переконструировать тему нет необходимости, все последовательно выводится из предыдущего параграфа и на основе имеющихся уже знаний учащихся.

Анализ задачного материала

По учебнику: Алгебра и начала анализа. 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2007.

параграфы §§27-31. Задачный материал присутствует как в параграфах, так и в упражнения в главе. Представлены задачи на отработку основных дидактических единиц темы «Комбинаторика».

Основные дидактические единицы темы: правило умножения, определения понятий перестановка, размещение и сочетание, формулы подсчёта их числа, формула Ньютона.

Следует отметить, что в данном учебнике, авторы вводят только правило умножения, правило сложения в главе отсутствует. Правило сложения: Если элемент A можно выбрать n способами, а элемент B можно выбрать m способами, то выбрать A или B можно n + m способами.

Так же нет четкого определения понятию «множества», как это, например, делается в учебниках других авторов, например, у таких авторов Мордкович А. Г., Макарычев Ю.Н.

Все главные понятия рассмотрены в качестве соединений. Выделяют несколько способов соединений: перестановка, размещение и сочетание. Всем этим понятиям дается точное определение через род и видовые отличия. Тема «Кобинаторика» для учащихся является совершенно новой, поэтому для мотивации нужно привести историческую справку (хотя она и приводится, но следовало бы, наверное, с нее начать) или пример из жизни, чтобы заинтересовать учащихся. Кроме словесной формулировки необходимо рассматривать и формульную запись определений, , , _{и т.д..}

В рассматриваемом учебнике формульные записи определений имеются.

§

Постановка учебных задач, диагностируемых целей

Учебные задачи темы:

1. Формирование представления о комбинаторных задачах и способах их решения.

2. Изучить основные виды соединений: перестановки, размещения и сочетания, выявить их сходства и различия, рассмотреть свойства сочетания, биномиальную формулу Ньютона и нахождение коэффициентов разложения.

3. Выявление группы взаимосвязанных задач по теме.

4. Развитие навыков комбинаторного мышления учащихся, их использование при решении практических задач.

Диагностируемые цели темы:

В результате изучения темы ученик:

-знает: понятие комбинаторики, комбинаторной задачи; историю возникновения комбинаторных задач; о возможностях использования комбинаторных знаний и умений в практической деятельности; правило умножения; понятие факториала; определение перестановки, размещения, сочетания; формулы подсчета числа перестановок, размещений, сочетаний; свойства сочетаний; понятие бинома; биномиальную формулу Ньютона; принцип построения треугольника Паскаля; доказательство свойств сочетаний;

-умеет: различать, о чём идёт речь в задача: перестановках, размещениях или сочетаниях; считать число размещений, сочетаний; применять треугольник Паскаля и формулу Ньютона для нахождения биноминальных коэффициентов; доказывать и применять рекуррентное свойство числа сочетаний; применять правило умножения при решении задач; решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора; использовать изученные понятия и их свойства для решения практических задач,для анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, анализа информации статистического характера.

-понимает: необходимость изучения комбинаторики; что изучает комбинаторика; что комбинаторные задачи могут встречаться как «в чистом виде», так и задачах, которые возникают в алгебре, геометрии, теории вероятностей и других разделах математики; отличие друг от друга перестановок, размещений и сочетаний; комбинаторная задача может быть решена не единственным образом; практическое значение комбинаторных задач.

Тематическое планирование изучения темы (12 ч.)

Подробный конспект урока

Урок-практикум по теме «Сочетания и их свойства» (урок № 7 в тематическом планировании)

Учебник:Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачеваи др. — М.: Мнемозина, 2007, глава V, параграф §30.

Учебная задача:

Формирование навыков решения комбинаторных задач, используя формулу подсчета сочетания, а также ее применение при решении различного рода комбинаторных задач, в совокупности с раннее известными способами и методами.

Диагностируемые цели:

В результате урока ученик:

-знает: о существовании комбинаторных задач; об использовании комбинаторных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни; правило умножения, формулы подсчета сочетаний; о решении задачи несколькими способами;

-умеет:

формулировать определение сочетания; распознавать задачи и выполнять соответствующие вычисления; применять формулу факториала при подсчете сочетаний; формулировать и применять правило умножения; решать задачи, сводимые к подсчёту числа сочетаний; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизнидля анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, анализа информации статистического характера.

-понимает: что комбинаторные задачи могут встречаться как «в чистом виде», так и задачах, которые возникают в алгебре, геометрии, теории вероятностей и других разделах математики; отличие перестановок, размещений и сочетаний при выборе решения задачи; комбинаторная задача может быть решена не единственным образом; практическое значение комбинаторных задач в повседневной жизни.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые, УДЕ.

Средства обучения: мел, доска, учебник, карточки, канва-таблица с домашним заданием, презентация.

Форма работы: фронтальная, групповая.

Структура урока:

1. Мотивационно-ориентировочный этап – 8 мин

2. Содержательный этап – 34 мин

3. Рефлексивно-оценочный этап – 3 мин

Ход урока:

1. Мотивационно-ориентировочный этап

Актуализация:

Учитель: В русских сказках повествуется, как доехав до распутья, богатырь читает на камне: «Прямо поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься». А далее уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в разнообразные комбинации. И раздел математики, который мы с вами изучаем, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: «Сколько комбинаций существует в том или ином случае? Как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую?»

На предыдущем уроке вы изучили понятие сочетания, свойства сочетаний. Вспомним, изученную теорию. По ходу урока мы с вами будем заполнять канву – таблицу, которая лежит у каждого на парте. Итак, начнем с первого задания.

1. Вычислите:

1 )

2)

2. Установите соответствие

3.Решите задачу:

На плоскости проведены n прямых, среди которых нет ни одной пары параллельных прямых и ни одной тройки прямых, пересекающихся в одной точке, найти:

1. Число точек пересечения этих прямых;

2. Число треугольников, образованных этими прямыми;

Ответ:

1. Число точек пересечения прямых равно числу способов выбора неупорядоченной пары прямых, то есть .

2. Аналогично, каждый треугольник определяется тройкой прямых, поэтому общее число треугольников равно

.

4.Решите задачу:

Из 21 студента 341 группы, нужно выделить 3 человека для уборки аудиторий.

• 1. Сколько способов выбора существует?

  2. Сколько способов выбора существует, чтобы среди них обязательно был Пеплин?

  3. Сколько способов выбора существует, чтобы среди них обязательно были Пеплин и Гаранин?

Ответы:

1. Так как порядок выбора не важен, то имеем сочетания - .

2. Так как нам необходимо выбрать 3 человека, и среди них должен быть Пеплин, то есть остаётся выбрать 2 человека из 20, а это сочетания .

3. Аналогично рассуждая, как в пункте b)приходим к ответу: .

Мотивация

Учитель: Итак, на протяжении нескольких уроков мы рассматривали основные понятия, свойства, формулы, приемы решения комбинаторных задач. В условиях современной жизни, мы часто сталкиваемся с такого рода задачами.

Например:

• В футбольной команде 11 человек, нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

• Сколькими способами можно расставить на 13 черных полях шахматной доски 3 белых и 3 черных шашки?

• Из двух математиков и десяти физиков надо составить комитет из десяти человек. В комитет должен входить хотя бы один математик. Сколькими способами это можно сделать?

• Таких задач можно привести из жизни огромное количество.

Постановка учебной задачи

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения комбинаторных задач. Рассмотрим различные задачи по комбинаторике, которые можно решить разными способами. Основная цель нашего сегодняшнего урока: учиться применять понятие сочетания, свойства сочетаний при решении различного рода комбинаторных задач.

1. Содержательный этап

Учитель: Сейчас вы будете работать по группам. Разбейтесь, пожалуйста, на группы по 5-6 человек. (получиться примерно 6 групп студентов в аудитории)

В каждой группе выберите старосту. Сейчас каждая группа получит карточки с заданиями. (Учитель раздает карточки каждой группе.)

На решение всех задач даётся максимум 15 минут. По истечении этого времени представители от каждой группы по очереди показывают у доски решение задач в порядке возрастания их номеров. Староста группы назначает выступающего, каждый раз нового. А все остальные, в ходе обсуждения задач каждой группы, заносят решение в представленную канву – таблицу, задачи уже в нее занесены по уровню сложности.

1 карточка

№1. Сколькими способами можно 15 человек разделить на две группы в одной 4 человека, а в другой 11 человек?

№2Сколько существует способов вынуть 10 карт из колоды, содержащей 52 карты, так, чтобы среди этих карт

1. был хотя бы один туз;

2. ровно один туз;

2 карточка

№1. Сколькими способами можно расставить на 13 черных полях шахматной доски 3 белых и 3 черных шашки?

№2.Сколько существует способов вынуть 10 карт из колоды, содержащей 52 карты, так, чтобы среди этих карт

1. было не менее двух тузов;

2. ровно 2 туза;

3 карточка

№1.В футбольной команде 11 человек, нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

№2.Из 9 теннисисток и 6 теннисистов составляют три смешанных пары. Сколькими способами это можно сделать?

4 карточка

№1. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?

№2.Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинам, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

5 карточка

№1.Из двух математиков и десяти физиков надо составить комитет из десяти человек. В комитет должен входить хотя бы один математик. Сколькими способами это можно сделать?

№2.На одной из двух параллельных прямых лежат 15 точек, на другой — 9 точек. Сколько можно построить различных треугольников с вершинами в этих точках?

6 карточка

№1. У Кати есть семь разных книг по математике, у Коли 9 книг по физике. Сколькими способами они могут обменяться пятью книгами?

№2.Сколькими способами можно выписать в один ряд 9 троек и 6 пятерок, чтобы никакие две пятерки не стояли рядом?

Решения задач представленных в карточках.

1 карточка

№1. Сколькими способами можно 15 человек разделить на две группы в одной 4 человека, а в другой 11 человек?

Решение:

Если выбрали 4 человека, то остальные 11 образуют другую группу автоматически.

Т.е способов.

№2Сколько существует способов вынуть 10 карт из колоды, содержащей 52 карты, так, чтобы среди этих карт

1. был хотя бы один туз;

2. ровно один туз;

Решение:

1. Всего выбора 10 карт из колоды возможно способами, выбор карты не содержащей туз возможно , тогда выбор 10 карт, содержащей хотя бы один туз возможно .

2. Выбор карты содержащей туз, возможно , выбор оставшихся 9 карт из 48 карт – ( карт не содержащих туз)возможно .,тогда по правилу произведения получаем

2 карточка

№1. Сколькими способами можно расставить на 13 черных полях шахматной доски 3 белых и 3 черных шашки?

Решение:

Поля для белых шашек можно выбрать способами. После этого остается 7 полей, на которых можно выбрать поля для черных шашек. Используя правило произведения получаем, что искомое количество способов расстановки равно способов.

№2.Сколько существует способов вынуть 10 карт из колоды, содержащей 52 карты, так, чтобы среди этих карт

1. было не менее двух тузов;

2. ровно 2 туза;

Решение:

1. .(рассуждения аналогичные в карточке 1-№2,а)

2. .( рассуждения аналогичные в карточке 1-№2,б)

3 карточка

№1.В футбольной команде 11 человек, нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Каждый из 11 человек команды может стать капитаном. С₁₁¹=11. Каждый из

оставшихся 10 членов команды может стать заместителем капитана. С₁₀¹=10.

Поэтому всего способов будет 10

Ответ: 110 способов

№2.Из 9 теннисисток и 6 теннисистов составляют три смешанных пары. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:Трех теннисисток из девяти можно выбрать способами, а трех теннисистов из шести — способами. Из выбранных трех теннисисток и трех теннисистов пары можно составить способами. Таким образом, искомое число способов есть:

или

4 карточка

№1. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?

Решение:

Вратаря можно выбрать способами; Защитников - способами;

Нападающих -

Всего по правилу произведения способов выбора стартовой шестерки.

№2.Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинам, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Решение:

Имеем 14 претендентов и 13 рабочих мест. Сначала выберем работников на первую специальность, то есть 4 женщин из 6:

Далее независимо аналогичным образом выберем мужчин на вторую специальность:

Осталось 2 женщины, 2 мужчин и 3 вакантных места, которые по условию, могут занять любые из четырех оставшихся человек. Это может быть сделано 2 вариантами:

1. 1 женщина и 2 мужчин (выбираем женщину способами);

2. 1 мужчина и 2 женщины (выбираем мужчину способами);

В итоге получаем способов.

Ответ:способов.

5 карточка

№1.Из двух математиков и десяти физиков надо составить комитет из десяти человек. В комитет должен входить хотя бы один математик. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:Одного математика из двух можно выбрать: способами. Семь физиков из десяти способами, тогда состав комитета можно выбрать способами.

№2.На одной из двух параллельных прямых лежат 15 точек, на другой — 9 точек. Сколько можно построить различных треугольников с вершинами в этих точках?

Решение:

Треугольник можно получить, выбрав две точки на первой прямой способами; одну точку на второй прямой способами или выбрав одну точку на первой прямой способами и две точки на второй прямойспособами. Общее число треугольников можно записать в виде .

6 карточка

№1. У Кати есть семь разных книг по математике, у Коли 9 книг по физике. Сколькими способами они могут обменяться пятью книгами?

Решение: Катя может выбрать пять книг из семи, то есть способом, а Коля – пять книг из 10, то есть способов. Итого возможных вариантов обмена:

№2.Сколькими способами можно выписать в один ряд 9 троек и 6 пятерок, чтобы никакие две пятерки не стояли рядом? Ответ: 210

Решение :Если пятерки не стоят рядом, пару 53 можно считать единым элементом. Тогда всего спсобов (пятерка может стоять и не стоять на последнем месте).

III. Рефлексивно-оценочный этап

- Какова была цель урока?

(учиться применять понятие сочетания, свойства сочетаний при решении различного рода комбинаторных задач)

- Достигли мы её?

(Да).

- Как мы её достигли?

(Решали задачи разного вида, в которых использовалось определения сочетания и перемещения, свойства сочетания, правила умножения и сложения).

- Домашнее задание:

Представлено таблицей, решение ученики должны записать в таблицу.

Домашнее задание.

Решенное домашнее задание.

1 вариант

1.Сколькими способами можно распределить уроки в шести классах между тремя учителями, если каждый учитель будет преподавать в двух классах?

Решение:

=90 способов.

2.Для проведения письменного экзамена нужно составить 3 варианта по 5 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 15 задач на 3 варианта?

Решение:

Задачи первого варианта можно выбрать способами. После этого останется 10 задач, следовательно, второй вариант можно составить способами. Для третьего варианта задачи можно выбрать способом. По правилу произведения получаем, что число способов равно . Однако нам всё равно, какой вариант будет первым, какой – вторым, а какой – третьим. Потому найденное число нужно разделить на число перестановок из трёх элементов, то есть на Окончательно получаем, что число способов равно способов.

2 вариант

1. Сколькими способами можно расставитьна 32 черных полях шахматной доски 12 белых и 12 черных шашек?

Ответ:(рассуждения аналогичные 1 варианту №1)

2. Для проведения письменного экзамена по математике надо составить 4 варианта по 7 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 28 задач на 4 варианта?

Ответ: (рассуждения аналогичные 1 варианту №2)

1 карточка

№1. Сколькими способами можно 15 человек разделить на две группы в одной 4 человека, а в другой 11 человек?

№2Сколько существует способов вынуть 10 карт из колоды, содержащей 52 карты, так, чтобы среди этих карт

1. был хотя бы один туз;

2. ровно один туз;

2 карточка

№1. Сколькими способами можно расставить на 13 черных полях шахматной доски 3 белых и 3 черных шашки?

№2.Сколько существует способов вынуть 10 карт из колоды, содержащей 52 карты, так, чтобы среди этих карт

1. было не менее двух тузов;

2. ровно 2 туза;

3 карточка

№1.В футбольной команде 11 человек, нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

№2.Из 9 теннисисток и 6 теннисистов составляют три смешанных пары. Сколькими способами это можно сделать?

4 карточка

№1. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?

№2.Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинам, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

5 карточка

№1.Из двух математиков и десяти физиков надо составить комитет из десяти человек. В комитет должен входить хотя бы один математик. Сколькими способами это можно сделать?

№2.На одной из двух параллельных прямых лежат 15 точек, на другой — 9 точек. Сколько можно построить различных треугольников с вершинами в этих точках?

6 карточка

№1. У Кати есть семь разных книг по математике, у Коли 9 книг по физике. Сколькими способами они могут обменяться пятью книгами?

№2.Сколькими способами можно выписать в один ряд 9 троек и 6 пятерок, чтобы никакие две пятерки не стояли рядом?

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/462461-razrabotka-uchebnyh-materialov-po-razdelu-kom