О некоторых подходах к решению задачи № 19 ЕГЭ по математике профильного уровня

О некоторых подходах к решению задачи № 19 ЕГЭ по математике профильного уровня

19 задача ЕГЭ по математике традиционно считается одной из самых сложных заданий второй части. Между тем с первым, а часто и даже со вторым пунктом этого задания под силу справиться большинству выпускников. Для начала уместно вспомнить признаки делимости на целые степени числа 2:

• На 2: число кратно 2, если оно оканчивается чётной цифрой, т.е. любой из цифр: 0;2;4;6;8.

• На 4: число кратно 4, если две его последние цифры составляют число, кратное 4. Например, число 12345678916 кратно 4, т.к. две его последние цифры 1и 6 составляют число 16, которое делится на 4.

• На 8: число кратно 8, если три последние цифры этого числа образуют число, кратное 8. Например, число 13456789200 кратно 8, т.к. 200 делится на 8 без остатка.

Обратите внимание на похожесть этих признаков, все они касаются последних цифр числа: на 2- одной последней, на 4- двух последних, на 8- трёх последних цифр числа.

Признаки делимости на 5 и 25:

• На5: число кратно 5, если оно заканчивается на 0 или 5.

• На 25: число делится на 25, если двумя его последними цифрами являются 00, или 25, или 50, или 75.

Признаки делимости на 3 и на 9:

• На3: число кратно 3, если сумма цифр этого числа делится на 3.

• На9: число кратно 9, если сумма цифр этого числа делится на 9.

Признак делимости на 11:

• Число кратно 11, если сумма цифр числа, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, либо разность этих сумм делится на 11.

Например, число 2354 делится на 11, поскольку сумма цифр на чётных местах: 3+4=7 равна сумме цифр на нечётных местах: 2+5=7. Число 92989292 тоже кратно 11, поскольку сумма цифр на нечетных местах 9+9+9+9=36, сумма цифр, стоящих на чётных местах, составляет 2+8+2+2=14. Разность этих сумм 36-14=22 кратна 11.

Из этих признаков делимости можно получить и другие, представив, к примеру, число 6 как произведение двух множителей: 3 и 2. Итак, число кратно 6, если оно чётное (обеспечивает делимость на 2) и сумма цифр числа делится на 3 (что соответствует признаку делимости на 3).

Число кратно 99, если выполнены признаки делимости и на 9, и на 11.

Число кратно 45, если оно кратно 5 и кратно 9. Число кратно 24, если оно делится на 8 и на 3.

Проиллюстрируем применение этих признаков при разборе 19 задачи последней в прошлом году диагностической контрольной работы.

Задача 19 (ЕГЭ профильного уровня):

Юля любит все натуральные числа, которые делятся на 22, но не делятся на 6. А Гоше нравятся только те натуральные числа, цифры в десятичной записи которого не повторяются.

а) Существует ли число, которое нравится и Юле, и Гоше, и десятичная запись которого состоит из двух цифр?

б) Существует ли число, которое нравится и Юле, и Гоше, и десятичная запись которого состоит из пяти цифр?

в) Из какого наибольшего количества цифр может состоять десятичная запись числа, которое нравится и Юле, и Гоше?

Решение: Чтобы число делилось на 22, необходимо и достаточно, чтобы оно было чётным и делилось на 11. Для того, чтобы число не делилось на 6,при условии, что на 2 оно делится, нужно потребовать, чтобы оно не делилось на 3, т.е. сумма цифр числа не кратна 3.

а) Выпишем все двузначные числа, кратные 22: 22;44;66;88. Из этих чисел Юле нравятся только 22;44;88. Ни одно из этих чисел не устраивает Гошу, поскольку они все состоят из одинаковых цифр.

Ответ: нет.

б) Годится, к примеру, число 43120. В нём равны суммы цифр на чётных и нечётных местах (обе равны 5), это чётное число, которое на 3 не делится, поэтому устраивает Юлю. Все цифры разные, значит, и Гоше подходит.

Ответ: да.

в) Если предположить, что в число входят все десять цифр, то их сумма 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, это число будет кратно 3, что категорически не удовлетворяет Юлиному требованию «не делится на 6». Предположим, число будет состоять из девяти цифр. Исключить из них 9, к примеру, нельзя, поскольку полученная сумма цифр оказывается равной 36, и, стало быть, кратна 6. А вот 8 убрать можно, при этом сумма оставшихся цифр оказывается равной 37. Эта сумма вполне подходит, поскольку она на 3 не делится, а также может быть разбита на две суммы цифр по 13 и 24, разность которых кратна 11. Можно записать число 403125976, которое удовлетворяет всем требованиям: кратно 22, не делится на 6, состоит из различных цифр.

Ответ: 9.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/464532-o-nekotoryh-podhodah-k-resheniju-zadachi19-e